Учебное пособие 501
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Кафедра прикладной математики и механики
МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим работам для студентов направления подготовки
15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Технологии, оборудование и автоматизация
машиностроительных производств») заочной формы обучения
Воронеж 2021
УДК 51(07) ББК 22.1я7
Составители:
канд. физ.-мат. наук В. В. Горбунов, канд. техн. наук О. А. Соколова
Математика: методические указания к практическим работам для студентов направления подготовки 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Технологии, оборудование и автоматизация машиностроительных производств») заочной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; cост.: В. В. Горбунов, О. А. Соколова. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. 40 с.
Приводится последовательность проведения практических занятий по дисциплине «Математика», разбираются опорные задачи, усвоение материала контролируется задачами для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов направления подготовки 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Технологии, оборудование и автоматизация машиностроительных производств») заочной формы обучения.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ_ПР_математика_15.03.01.pdf.
Ил. 3. Табл. 1. Библиогр.: 2 назв.
УДК 51(07) ББК 22.1я7
Рецензент – А. В. Келлер, д-р физ.-мат. наук, доц. кафедры прикладной математики и механики ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
2
I СЕМЕСТР
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
Пример 1. Найти матричный многочлен AB 3C-2E , где
1 |
5 |
|
|
7 |
1 3 6 |
, В = |
4 |
1 |
|
, |
4 |
2 |
|||||
А = |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
. |
||
|
9 |
4 7 7 |
|
|
0 -8 |
|
|
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу B . По формуле перемножения матриц находим:
c11 a11b11 a12b21 a13b31 a14b41 7 1 1 4 3 0 6 2 23; c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 7 5 1 1 3 ( 8) 6 4 36; c21 a21b11 a22b21 a23b31 a24b41 9 1 4 4 7 0 7 2 39;
c22 9 5 4 1 7 ( 8) 7 4 21;
23 36
Следовательно: АВ = .
39 21
|
4 2 |
|
|
|
12 |
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
||
Матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 2E 2 |
|
|
||||
3C 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|||
Получаем матричный многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
23 36 |
|
12 6 |
|
2 |
|
0 |
|
9 |
42 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB 3C-2E |
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
39 |
21 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
42 13 |
|
||||||
Задача для самостоятельного решения. Найти матричный |
|||||||||||||||||
многочлен 3AB C-3E , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 0 |
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
, В = |
|
3 1 |
, |
|
C |
|
|
|
|||||||||
А = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
8 4 |
6 - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка
3
4 1 3
1 2 1 , используя правило треугольников.
1 1 3
Решение.
|
4 |
1 |
3 |
|
|
1 |
2 |
1 |
a11a22a33 a31a12a23 a13a21a32 (a31a22a13 a11a23a32 |
|
1 |
1 |
3 |
|
a33a12a21) 4 2 3 1 1 1 3 1 1 (1 2 3 4 1 1 3 1 1) 24 1 3 (6 4 3) 15.
Задача для самостоятельного решения. Вычислить опреде-
|
2 |
3 |
7 |
|
литель третьего порядка |
1 |
2 |
3 |
. |
|
2 |
1 |
4 |
|
Ответ: –73.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример 3. Дана матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А 4 |
2 . Вычислить обрат- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ную матрицу А 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Решение: Вычислим определитель матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 10 3 14 0 22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем алгебраические дополнения матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
А11 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
10; |
А12 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
14; |
А13 |
|
3 |
|
|
0 |
|
6; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
6 |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
А21 |
|
3 |
|
|
0 |
|
18; |
А22 |
|
|
2 |
0 |
|
12; |
А23 |
|
|
2 |
|
0 |
|
4; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
6 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
А31 |
|
3 |
0 |
|
|
6; |
А32 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
4; |
А33 |
|
2 |
|
3 |
|
14. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
9 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
18 |
6 |
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
А |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
14 12 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
4 |
14 |
|
|
|
|
|
11 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
7 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
11 |
|
11 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 4. Решить системы уравнений |
методом обратной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2y 3z 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
матрицы 4x y 4z 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5y 2z 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение: Вычислим определитель системы : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
1 |
4 |
|
=1 |
|
2 |
|
3 |
== -18 + 8 + 51 = 41. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
2 |
3 |
2 |
|
3 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку определитель системы отличен от нуля, то можно
вычислить обратную матрицу A 1 . Для этого находим алгебраиче- ские дополнения:
A ( 1)1 1 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
18, |
A |
( 1)2 1 |
2 |
3 |
|
11, |
||||||||||||||||||
11 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A ( 1)3 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
15, |
A |
( 1)1 2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
4, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A ( 1)2 2 |
|
|
1 3 |
|
7, |
A ( 1)3 2 |
|
1 3 |
|
|
8, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
32 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A ( 1)1 3 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
17, |
A |
( 1)2 3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A ( 1)3 3 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим матрицу-столбец неизвестных согласно формуле
X A 1 B .
5
|
1 |
|
18 |
11 5 |
|
6 |
|
|
|
|
108 99 50 |
|
1 |
|
41 |
1 |
||
X |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 7 8 9 |
|
|
|
24 63 80 |
|
41 1 . |
|||||||||
|
41 |
|
||||||||||||||||
|
|
41 |
17 |
1 7 |
|
|
|
|
102 9 70 |
|
41 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
1 |
Решение системы уравнений имеет вид x=1, y=1, z=1.
Задача для самостоятельного решения. Решить системы уравнений методом обратной матрицы
x 2y z 5
x y 2z 1 .2x 3y 3z 2
Ответ: (1;2;2)
Пример 5. Решить системы уравнений методом Гаусса
x 2y 3z 6
4x y 4z 9 .3x 5y 2z 10
Решение:
Умножим первое уравнение на (–4) и добавим ко второму уравнению
x 2y 3z 6
|
7y 8z 15. |
|
3x 5y 2z 10
Умножим первое уравнение на (–3) и добавим к третьему уравнению
x 2y 3z 6
|
7y 8z 15. |
|
|
|
y 7z 8 |
|
Умножим второе уравнение на ( 1 ) и добавим к третьему
7
уравнению
6
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2y 3z 6 |
|
|
|||
|
7y 8z 15 |
. |
||||
|
||||||
|
|
8 |
|
15 |
|
|
|
( 7 |
)z ( 8 |
) |
|||
|
7 |
|||||
|
7 |
|
|
Привели систему к треугольному виду. Начинается обратный
ход: z |
41/ |
7 |
1 |
, |
y |
15 |
8z |
|
15 8 |
1 |
, |
x 6 2y 3z 1. |
41/ |
7 |
7 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||||
Задача |
для |
самостоятельного решения. Решить системы |
x 3y 6z 10
уравнений методом Гаусса 2x y 2z 7 .
x y z 2
Ответ: (1;1;2)
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
Пример 1. Вершины пирамиды находятся в точках A(2,3,4),
B(4,7,3), С(1, 2,2), D( 2,0, 1). Вычислить:
а) площадь грани АВС; б) объем пирамиды ABCD; в) угол АВС;
г) Проверить, что векторы AB , AC, BC компланарны. Решение.
а) Площадь треугольника АВС находится как половина модуля векторного произведения векторов AB 2,4, 1 и AC 1, 1, 2
SABC 1 AB AC
2
Находим векторное произведение векторов в координатном представлении
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
AB AC |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
4 |
1 |
|
9i 5j 2k . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем длину векторного произведения |
|||||||||||||||||||
|
AB AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( 9)2 (5)2 (2)2 |
110 |
. |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
AB AC |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
Тогда SABC |
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Сначала находим объем параллелепипеда, построенного на векторах AB 2,4, 1 , AC 1, 1, 2 и AD 4, 3, 5 , который равен модулю смешанного произведения этих векторов.
Смешанное произведение находим по формуле
AB AC , AD |
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
2 |
10 3 32 4 12 20 11. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
VABCD соответствует шестой части |
модуля смешанного про- |
|||||||||||||||||||||
изведения трех векторов AB , |
|
ACи AD : |
VABCD |
|
|
11 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) Косинус угла АВС находится по формуле |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
cos(ABC) |
BA |
, |
BC |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
BA |
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( 3) 4 ( 5) 1 ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|||||||||
cos(ABC) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,92. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( 2)2 ( 4)2 (1)2 ( 3)2 ( 5)2 ( 1)2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
35 |
По таблицам находим соответствующий угол arccos(0,92) 230
г) Проверим выполнение условия компланарности векторов
AB , AC, BC
AB AC ,BC 0.
8
Вычисляем смешанное произведение
AB AC ,BC |
2 |
4 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
2 24 5 3 20 4 0. |
|
|
3 |
5 |
1 |
|
Следовательно, векторы компланарны.
Задача для самостоятельного решения. Вершины пирамиды находятся в точках A(3,5,4) , B(5,8,6) , С(1,9,9), D(6,4,8). Вычислить:
а) площадь грани АВС; б) объем пирамиды ABCD; в) угол АВС;
г) Проверить, что векторы AB , AC, BC компланарны. Пример 2. Вершины пирамиды находятся в точках А(4,7,8),
B( 1,13,0), С(2,4,9) и D(1,8,9).
Составить:
а) уравнения ребра АВ; б) уравнение грани АВС; в) уравнения высоты DE;
г) уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно ребру АВ;
д) уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно ребру АВ.
Вычислить:
е) длину ребра ВС;
ж) угол между ребром CD и плоскостью АВС; Решение.
Рис. 1
9
а) Уравнения ребра АВ могут быть получены как уравнения прямой, проходящей через две заданные точки А(4,7,8) и В(-1,13,0)
x 4 |
|
y 7 |
|
z 8 |
или |
x 4 |
|
y 7 |
|
z 8 |
. |
1 4 |
|
13 7 |
|
0 8 |
|
5 |
6 |
|
8 |
б) уравнение грани АВС получается как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А(4,7,8), В(-1,13,0) и С(2,4,9)
x 4 |
y 7 |
z 8 |
0 или |
x 4 |
y 7 |
z 8 |
0. |
1 4 |
13 7 |
0 8 |
5 |
6 |
8 |
||
2 4 |
4 7 |
9 8 |
|
2 |
3 |
1 |
|
Раскрыв определитель, получим 6x 7y 9z 97 0 – уравнение грани АВС.
в) Для получения уравнений высоты DE воспользуемся координатами точки D(1,8,9). В качестве направляющего вектора для DE
используем вектор нормали N 6, 7, 9 для плоскости АВС. Уравнения высоты DE запишутся в виде:
x 1 y 8 z 9
6 |
7 |
9 |
г) Для получения уравнений прямой, проходящей через точку D параллельно ребру АВ воспользуемся направляющим вектором
q5,6, 8 для прямой АВ:
x1 y 8 z 9
5 |
6 |
8 |
д) Уравнение плоскости, проходящей через точку D(1,8,9) перпендикулярно ребру АВ записывается при использовании вектора
AB 5,6, 8 , как вектора нормали
5(x 1) 6(y 8) 8(z 9) 0 или 5x 6y 8 29 0.
е) Длину ребра BC находим как расстояние между точками
B(-1,13,0) и С(2,4,9):
BC (2 ( 1))2 (4 13)2 (9 0)2 171.
ж) Для нахождения угла между ребром CD и плоскостью осно-
вания АВС найдем sinφ (φ – угол между вектором CD 1,4,0 ) и
нормалью N 6, 7, 9 к плоскости АВС)
10