Учебное пособие 518
.pdfРешая систему, получим |
X ( p ) = Y ( p )= |
|
|
1 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p -1 |
||||
Воспользовавшись таблицей изображений, найдем |
|||||||||||||||||||
|
x (t ) = et |
|
и y (t ) = et . |
|
|
|
|||||||||||||
Задача 8. Решить интегральное уравнение |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ò0t |
et -t x (t )dt = t . |
|
|
|
|||||||||||||
Решение. Интеграл представляет собой свертку функций et и |
|||||||||||||||||||
x (t ). Пусть |
x (t ) Û X ( p ). |
Тогда |
|
по |
|
|
теореме о свертке |
||||||||||||
выпишем изображение интеграла |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ò0t et-t x (t )dt = et * x (t )Û |
|
|
X ( p ). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p -1 |
||||||
Составим теперь операторное уравнение |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X ( p )= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
p -1 |
p2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
откуда |
X ( p )= |
p -1 |
1 1 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
= |
|
- |
|
||||||||||||||
|
p2 |
|
p |
p2 |
|||||||||||||||
И, значит, |
|
|
|
x (t ) = 1 - t . |
|
|
|
|
|
|
|
Задание 9. Найти изображение функции, заданной графиком
(рис. 5):
Рис. 5 Решение. Согласно графику функции (обозначим ее через f (t) ), имеем
ì0, |
t £ 2 |
ï |
2 < t £ 3 |
ï1, |
|
f (t) = í |
3 < t £ 4 |
ï-1, |
|
ï0, |
t > 4. |
î |
|
31
Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа:
¥ |
3 |
4 |
|||
|
|
F ( p) = òe- pt f (t)dt = òe- ptdt - òe- ptdt = |
|||
0 |
2 |
3 |
|||
= |
1 |
(-e-3 p + e-2 p + e-4 p - e-3 p )= |
e-2 p |
(1- 2e- p + e-2 p ) = |
|
p |
p |
= |
(e - p (1 - e- p ))2 |
= (e- p - e-2 p )2 . |
|
p |
|||
|
p |
( ) (e - p - e -2 p )2
Ответ. F p = . p
Задание 10. Контур подключен к постоянной э.д..сE0 (см. рис. 6). При установившемся режиме включается рубильник K и накоротко замыкает сопротивлениеR2 . Найти выражение переходного тока. R1 = 1, R2 = 2, L = 2, E0 = 3 .
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
|||
Решение. |
Дифференциальное |
уравнение |
Кирхгофа |
до |
||||||||
включения рубильника K в данном случае имеет вид: |
|
|||||||||||
|
L |
di(t) |
+ Ri(t) = E |
0 |
, |
R = R + R |
2 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно |
постановке задачи i(0) = 0 . Решим |
это уравнение |
|
|||||||||
операционным методом, предполагая, что i(t) ® F ( p) . |
|
|||||||||||
|
|
2 |
di(t) |
+ 3i(t) = 3, |
i(0) = 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
32
2 pF ( p) + 3F ( p) = |
3 |
, F ( p)(2 p + 3) = |
3 |
, F ( p) = |
3 |
. |
p |
|
p(2 p + 3) |
||||
|
|
p |
|
|||
Найдем оригинал |
получившегося изображения, разложив |
дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов:
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
A |
+ |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 p + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2Ap + 3A + Bp = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p1 : 2 A + B = 0 |
|
|
|
|
|
Þ F ( p) |
= |
1 |
- |
2 |
|
= |
1 |
- |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
p0 : 3A = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p +1.5 |
|
|
|
|
|||||||||||
A = 1; B = -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, i(t) = 1 - e-1,5t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Установившийся ток в контуре до включения рубильникаK |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
есть |
iyc = 1. |
Дифференциальное |
|
|
уравнение |
|
Кирхгофа |
после |
||||||||||||||||||||||||||||||||
замыкания рубильника K имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
L |
di(t) |
|
+ R i(t) = E |
0 |
, |
|
|
i(0) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решим это уравнение операционным методом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
di(t) |
+ i(t) = 3, |
|
i(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 2 p |
|
|
||||||
2( pF ( p) -1) + F ( p) = |
3 |
, F ( p)(2 p +1) = |
3 |
+ 2, F ( p) = |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p(2 p +1) |
|
||||||||
Как |
и |
в |
|
|
предыдущем |
|
|
|
|
|
случае |
|
воспользуемся |
методо |
||||||||||||||||||||||||||
неопределенных коэффициентов для разложения изображения |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на слагаемые. |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 p +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 Ap + A + Bp = 3 + 2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
p1 : 2 A + B = 2 |
|
|
|
|
|
Þ F ( p) = |
|
3 |
|
- |
4 |
|
= |
3 × |
|
1 |
|
- 2 × |
1 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
p 0 : A = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 p +1 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
p + 0.5 |
|
A = 3; B = -4
33
Оригиналом получившейся разности, как нетрудно заметить, будет i(t) = 3 - 2e-0.5t .
Ответ. i(t) = 3 - 2e-0.5t .
Индивидуальные задания для контрольной работы Вариант 1
1.Является ли оригиналом функция f (t) = 3t × c(t) ?
2.Найти изображения оригинала: sin 2t + sin 2t cos 3t .
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
3. |
Найти оригиналы, соответствующие изображению |
|||||||||
|
|
|
2 p + 7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
( p +1)(p2 - 3 p) |
|
|
|
||||
4. |
Не вычисляя интегралы, найти изображение ò0t tet |
sin 2t dt . |
||||||||
5. |
Вычислить интеграл ò0t sint cos (t -t )dt . |
|
||||||||
6. |
Найти решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x¢¢+ 2x¢+ x = t 2 + 5t + 4; x (0) = -1; x¢(0) = 0 . |
|
||||||||
7. |
Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ìx¢ + x - y = 2t + 5 |
x (0 )= 0; y (0 )= 1 . |
|
|||||||
|
í |
y¢ + 2x¢ - 3x = t |
|
|
||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Решить интегральное уравнение ò0t |
et -t x (t )dt = 3t 2 -1 . |
||||||||
9. |
В контур (см. рис.) при |
нулевых |
|
начальных |
условиях |
|||||
|
подключена |
|
ìE |
0 < t < 3 |
. |
Найти выражение |
||||
|
э.д.с. u(t) = í |
1 |
t ³ 3 |
|||||||
|
|
|
îE2 |
|
|
|
||||
|
переходного |
тока при t ³ 3 |
|
при условиях колебательного |
||||||
|
процесса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
10.Найти изображение функции, заданной следующим графиком:
Вариант 2
1.Является ли оригиналом функция f (t) = t3 × c(t) ?
2.Найти изображения оригинала: sin 2t + e2t cht .
t
3. Найти оригиналы, соответствующие изображению
p .
(2 p -1)(p - 3)
4. Не вычисляя интегралы, найти изображение ò0t t sin 2tdt . 5. Вычислить интеграл ò0t sint sin (t -t )dt .
6. Найти решение задачи Коши x¢ - x =1; x (0) = -1 . 7. Решить систему уравнений
ìx¢ + x - y = sin t |
|
í |
x (0 )= 0; y (0 )= 1 . |
î |
y¢ + 2x = sin t |
35
8.Решить интегральное уравнение ò0t et -t x (t )dt = sin t .
9.На рисунке изображена цепь, замыкаемая и размыкаемая рубильником K . Рубильник остается замкнутым в течение 2 секунд и разомкнутым в течение3 секунд, причем эта
операция повторяется периодически в той последовательности. Определить выражения тока в цепи
при |
третьем |
замыкании |
и |
третьем |
,размыкан |
предполагая, что i(0) = 0 . |
|
|
|
10.Найти изображение периодической функции, заданной следующим графиком:
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
1. |
Является ли оригиналом функция f (t) = eit × c(t) ? |
|||||
|
|
sin2 |
2t |
1 |
|
|
2. |
Найти изображения оригинала: |
|
|
+ |
|
. |
t |
|
t |
||||
|
|
|
2 |
|
||
3. |
Найти оригиналы, соответствующие изображению |
p
(2 p +1)( p + 3) .
4. Не вычисляя интегралы, найти изображение ò0t t cos 2t dt .
36
5. |
Вычислить интеграл ò0t |
sint ×ep / 2-t dt . |
||
6. |
Найти решение задачи Коши |
|
||
|
x¢¢+ 3x¢ = et ; x (0) = 0; x¢(0) = -1 . |
|
||
7. |
Решить систему уравнений |
|
||
|
ìx¢- 2x + y = 3 - 4t |
|
||
|
í |
|
x (0 )= 0; y (0 )= 2 . |
|
|
î y¢+ x + 2 y = 4 + t |
|
||
8. |
Решить интегральное уравнение ò0t |
cost ×x (t -t )dt = sin t . |
||
9. |
Контур подключен |
к |
постоянной э.д.с E0 (см. рис.) При |
|
|
установившемся режиме включается рубильникK и |
|||
|
накоротко замыкает сопротивлениеR2 . Найти выражение |
|||
|
переходного тока. R1 |
= 2, R2 = 3, L = 4, E0 = 5 |
10.Найти изображение функции, заданной следующим графиком:
37
Вариант 4
1.Является ли оригиналом функция f (t) = e-t 2 × c(t) ?
2.Найти изображения оригинала: sin t ×sin 3t + 2sh4t -t2 .
t
3. Найти оригиналы, соответствующие изображению
p .
(2 p -1)(p2 - 4)
t
4.Не вычисляя интегралы, найти изображение ò0 t 2 sin 2t dt .
5.Вычислить интеграл ò0t (t - x)2 cos2xdx .
6.Найти решение задачи Коши
x¢¢+ 3x¢ = et ; x (0) = 0; x¢(0) = -1 .
7.Решить систему уравнений
ì |
¢¢ |
+ y |
¢ |
- x |
= 4 |
- t |
2 |
x (0 )= -1; x¢(0 )= 0; y (0 )= -1 . |
|
||||||||
íx |
|
|
|
|||||
î x¢ - 2 y + 2x = 2t2 |
|
8. Решить интегральное уравнение ò0t et -t x (t )dt = sin t .
9. В схеме (см. рис.) действует синусоидальное напряжение u(t) = u0 sin(wt + j) . В момент t0 рубильник замыкает накоротко цепь R2 L . Найти выражения переходных токов.
10.Найти изображение периодической функции, заданной следующим графиком:
38
Вариант 5
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
1. |
Является ли оригиналом функция f (t) = |
|
|
× c(t) ? |
||||||||
(t -1)2 |
||||||||||||
2. |
Найти изображения оригинала: |
1- e2t |
- et cos2 t . |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
tet |
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти оригиналы, соответствующие изображению |
|||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
( |
p2 |
)( |
p2 |
+ 3 |
) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Не вычисляя интегралы, найти изображение |
|
||||||||||
|
|
|
|
ò0t t 2e2t dt . |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить интеграл ò0t sintep / 2-t dt . |
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Найти решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x¢¢- 4x¢ + x =1- 2et ; x (0) = 2; x¢(0) =1. |
|
||||||||||
7. |
Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ì x¢ + x - y = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
í |
|
|
x (0 )= 0; y (0 )= -1. |
||||||||
|
î y¢ + x + y = |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
t |
2(t -u ) |
|
2 |
e |
t |
. |
Решить интегральное уравнение ò0 e |
x (u )du = t |
|
|
||||||||
9. |
В |
схеме (см. |
рис.) при |
включенном |
|
|
рубильнике |
||||
|
напряжение |
на |
конденсаторе |
|
равноE0 , а |
ток через |
|||||
|
катушку индуктивности равен E0 / R2 . При выключенном |
||||||||||
|
рубильнике |
|
начинается |
разряд |
конденсатора. В |
||||||
|
конденсаторе |
предполагается |
наличие |
апериодических |
|||||||
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
разрядов. Найти напряжение на конденсаторе в момент времени t .
10.Найти изображение периодической функции, заданной следующим графиком:
Вариант 6
1.Является ли оригиналом функция f (t) = ln t × c(t) ?
2.Найти изображения оригинала: cos 2t + t 2et -3 .
t
3. Найти оригиналы, соответствующие изображению
p .
(2 p +1)( p + 3)
t
4. Не вычисляя интегралы, найти изображение ò0 tet sin 2t dt .
5. Вычислить интеграл ò0t t (p -t )sin p( -t )dt .
6. Найти решение задачи Коши x¢¢+ x = cos t; x (0) = -1; x¢(0) =1 .
7. Решить систему уравнений
40