Учебное пособие 609
.pdf
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2 |
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2 |
при n нечётном, |
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|||||
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||
= − |
|
cos nπ = nπ |
|
|||
n2π2 |
|
|||||
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2 |
при n чётном. |
|||
|
|
- |
nπ |
|||
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Подставив найденные коэффициенты в формулу (1), получим
искомое разложение заданной функции |
f (x). |
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||||||||||||||||||||||||||
f (x)= |
1 |
− |
|
4 |
|
|
πx |
+ |
1 |
|
|
|
3πx |
+ |
1 |
|
|
|
5πx |
+ |
|
+ |
||||||||
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
... |
||||||||||||
2 |
π |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
5 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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3 |
|
|
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||||||||||
|
2 |
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|
πx |
|
1 |
|
2πx |
|
|
1 |
|
3πx |
|
|
1 |
|
|
4πx |
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||||||||
+ |
|
sin |
|
|
|
− |
|
sin |
|
|
|
|
+ |
|
sin |
|
|
|
|
− |
|
sin |
|
|
+... . |
|||||
π |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
4 |
2 |
|||||||||||||||||
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Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |х| (Рис. 3) на интервале (−1;1).
Рис. 3.
Эта функция является чётной. Для вычисления коэффициентов Фурье полагаем l= 1 в формуле (8).
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2 |
1 |
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x2 |
|
1 |
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||||||
a |
= |
1 |
∫ |
xdx = 2 |
2 |
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
|
1 |
|
x sin (nπx) |
|
cos (nπx) |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
an = 2∫x cos (nπx)dx = 2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|||
|
nπ |
|
2 2 |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
n π |
0 |
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
при n нечётном, |
|
|||||
|
2 |
|
− |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
(cos nπ −1)= |
n2π2 |
|
|
|
|
|
|
||
n π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
0 при n чётном, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Подставив найденные коэффициенты в формулу (7), получим искомое разложение функции в ряд Фурье.
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|
|
1 |
|
4 |
|
|
cos3πx |
|
cos5πx |
|
|||
|
x |
= |
|
− |
|
|
cosπx |
+ |
|
|
+ |
|
|
+... . |
|
|
π |
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
Полученное равенство справедливо при любом x (−1;1). |
||||||||||||||
Пример 4. |
|
Разложить в |
ряд |
Фурье функцию f (x)= х |
||||||||||
(Рис. 4) на интервале (−π;π ) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.
Так как данная функция является нечётной, то
коэффициенты an = 0 . Полагая |
l =π в формуле (6), находим |
||||||||||
коэффициенты bn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
π |
2 |
|
|
x cos nx |
|
sin nx π |
|||
bn = |
|
∫x sin nxdx = |
|
− |
|
|
+ |
|
2 |
|
= |
π |
π |
|
n |
n |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
31
|
2 |
2 при n нечётном, |
||
= − |
|
|
|
|
n |
cos nπ = n |
|
||
|
|
2 |
при n чётном. |
|
|
|
- |
n |
|
|
|
|
|
Следовательно, разложение в ряд Фурье данной функции имеет вид
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x = 2 |
sin x − |
|
sin 2x + |
|
sin 3x − |
|
sin 4x +... . |
|||
2 |
3 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функцию |
f(x), |
определённую |
в |
|
интервале (0;l ) и |
обладающую в нём приведёнными в теореме разложения свойствами, можно в этом интервале представить как
формулой (7), так и формулой (9). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пример |
5. |
Разложить |
|
в |
ряд |
по |
косинусам |
функцию |
||||||||||||||||||||||||||
f (x)= π |
− |
x |
|
на интервале(0;π ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для определения коэффициентов Фурье в ряде (7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
применим формулу (8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π |
|
π |
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
x2 π |
|
||||||||||
|
|
|
|
a0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
x − |
|
|
= 0 , |
|
||||||||
|
|
|
|
π ∫0 |
|
4 |
|
π |
4 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 π π |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
(π −2x)cos nxdx = |
||||||||||||||
an |
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
cos nxdx |
= |
|
|
|
|
∫0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
2π |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin nx |
|
|
2 cos nxdx π |
|
1−cos nπ |
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
(π |
−2x) |
|
|
n |
|
|
− |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
= |
2 |
= |
||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n π |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin2 |
nπ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
при n нечётном, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= n2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
при n чётном. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, получаем следующее разложение
32
π |
|
x |
|
π |
cos 3x |
|
cos 5x |
|
||
|
− |
|
= |
|
cos x + |
|
+ |
|
|
+... . |
4 |
2 |
2 |
2 |
5 |
2 |
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
Пример 6. Разложить функцию f (x)= х на интервале (0; 1) в ряд по синусам.
Для определения коэффициентов Фурье в ряде (9) применим формулу (10).
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|
|
|
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|
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|
cos (nπx) |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (nπx) |
|||||
bn = 2∫x sin (nπx)dx =2 −x |
|
|
+ |
|
|
= |
||||||||||||||
|
nπ |
|
2 2 |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n π |
0 |
|||
|
|
|
|
2cos nπ |
|
|
2 |
|
при n нечётном, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= − |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
nπ |
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
при n чётном. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, получаем следующее разложение |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x = |
|
|
sin πx − |
|
sin 2πx + |
|
|
|
sin 3πx − |
|
|
sin 4πx +... . |
||||||||
π |
2 |
3 |
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу одинаковой периодичности тригонометрических
функций, ряд Фурье (1), представляющий функцию |
f (x) на |
|
(−l;l ), |
представляет в каждом отрезке [a;b] (−l;l ) |
функцию |
f *(x), |
полученную 2l периодическим продолжением |
функции f (x) с интервала (−l;l ) на всю числовую прямую за
исключением |
точек |
вида |
(2m +1)l, m . |
Значения |
|||||
f * |
(( |
) |
) |
, m |
выбираются |
произвольно. |
Если |
||
|
2m +1 l |
|
|||||||
определены значения |
f (l −0) |
и f (−l +0)(см. (11)), то обычно |
|||||||
полагают |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f *((2m +1)l )= 12 (f (l −0)+ f (−l +0)), m . |
|
||||||
|
Поэтому, |
|
если функция |
f *(x) |
удовлетворяет |
условию |
33
(12) |
в |
|
точке |
|
x = l , то |
|
|
ряд |
(1) |
|
|
|
|
сходится |
|
|
в |
|
точках |
|||||||||||||||||
x = |
( |
|
) |
|
к функции f * |
(( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2m |
+1 l, m |
|
2m +1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.1. Написать формулу общего члена ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1) 1+8 +27 +64 +125 +... |
|
2) |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
+... |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 6 |
|
|
4 7 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3) 1+ |
2 |
+ 4 + |
8 |
+16 +... |
|
|
|
4) |
2 |
+ 4 + |
6 + |
8 + |
10 |
+... |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
5 |
7 |
9 |
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
9 |
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4.2. Написать четыре первых члена ряда по известному |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
общему члену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +(−1)n |
|
|||||||
|
5) a |
|
= |
3n −2 . |
6) a |
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. 7) a |
|
= |
|
|
. |
||||||||||||
|
n |
n |
(3 +( |
|
|
|
|
) |
n |
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|
−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +sin |
cos nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
8) a |
|
= |
|
|
2 |
|
|
. |
9) |
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму:
10) |
1+ |
1 + |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+... |
|
|
|
|
11) 1− 1 + |
1 |
|
− |
|
1 |
+... |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
9 |
|
27 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12) |
1+ |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
+... |
13) |
|
|
1 |
+ |
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
+... |
|
|
||||||||||||||||
|
3 2 |
|
3 4 |
|
3 8 |
|
|
|
2 |
3 |
3 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
14) |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
1 |
+... |
15) |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
+... |
||||||||||||||||
1 4 |
2 5 |
|
|
3 6 |
1 2 3 |
|
2 3 |
4 |
|
3 4 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
16) |
1 + |
|
2 |
|
|
+ |
3 |
|
+ |
|
|
4 |
|
+... |
17) |
1 |
+ |
2 |
|
+ |
|
3 |
+ |
|
4 |
+... |
|
|
||||||||||||||||||||||
72 |
|
73 |
|
74 |
|
9 |
92 |
|
|
93 |
94 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18) 1+2a +3a2 +4a3 +..., |
|
a |
|
<1. |
19) |
|
∞ |
|
n +2 −2 |
|
n +1 + |
n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1
34
4.4. Установить расходимость ряда, используя необходимый признак сходимости:
∞ |
2n +3 |
||
20) 1−1−1+1+1+1−1−1−1−1+... 21) ∑ |
|
. |
|
n +1 |
|||
n=1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
22) |
∑n2 sin |
|
|
|
. |
|
|
||||||
n |
2 |
+n +1 |
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ |
1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24) |
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
||
26) |
∑ |
. |
|
|
|
|
27) ∑ |
. |
|||||
|
|
|
|
|
n |
||||||||
|
n=1 |
n 0,3 |
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
∞ |
|
|
|
2 |
+1 |
n2 |
||
23) ∑ |
2n |
. |
||||||
2 |
+3 |
|||||||
n=1 |
|
|
2n |
|
|
|||
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|||
|
|
n |
|
n |
|
|
||
25) ∑ |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
1 |
n |
|||||
n=1 |
|
|
|
|||||
|
n + |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|||
∞ |
|
n +1 |
|
|
|
|||
28) ∑ |
. |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
n=1 |
|
3n +2 |
|
|
4.5. Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость ряд:
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
||
29) ∑ |
|
|
|
. |
|
|
30) ∑ |
|
. |
|
|
|||||
(n +2)2 |
n |
|
|
|
n (n + |
2) |
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n2 +3n +2 |
|
|||||
31) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
32) ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
4 3 |
|
|
|
||||||
n=1 |
(n + |
2) |
n2 |
|
n=1 |
3n +n +2n +1 |
|
|||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
33) |
∑ |
|
. |
||||
1+3 |
n |
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
36) |
∑ |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
ln n |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
2 |
|
||||
34) |
∑ |
|
|
|
. |
35) |
∑ |
n |
|
. |
||||
|
(1+2n) |
3 |
|
2 |
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
2n |
||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
37) ∑ |
|
|
. |
|
|
38) ∑ln n |
|
4+3n |
. |
|||||
(ln n) |
ln n |
|
|
n |
||||||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
+1 |
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
39) ∑∞ ( n − n −1).
n=1
41)∑∞ n arcsin n13 .n=1
∞ |
|
( n +1 − n −1). |
|
|
|
40) ∑1 |
|
|
|||
n=1 |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
3n +1 |
|
|
42) ∑( |
n +1 − n +2 )ln |
. |
|||
|
|||||
n=1 |
|
|
3n −1 |
35
4.6. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:
∞ |
2n −1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
43) ∑ |
. |
|
44) ∑ |
|
|
|
|
. |
|
45) ∑ |
n! |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
(2n +1)! |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
. |
n=1 7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
46) ∑n |
(nn+1). 47) |
∑ n |
3 |
|
|
|
|
|
|
48) |
∑nn . |
|||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
|||||
n=1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2 (2n +1) |
|
|
|
|
|
n=1 3 |
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
! |
|
|||||||
49) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. 50) |
∑ |
. |
|
51) |
∑ |
3 n |
. |
||||||||||||||||||
(5n −4)(4n −1) |
n |
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
||||||||||||||||||||
4.7. Используя признак Коши, исследовать на сходимость |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 −(−1)n )n |
|||||||||
∞ |
|
n +1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||||||||||||||
52) ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
53) ∑ |
|
|
n |
4 |
n |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
2n +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
2n +1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
n |
|
|
|||||||||
54) ∑ ln |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
55) ∑ sin |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
n +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
56) ∑ cos 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.8. Используя интегральный признак, исследовать на сходимость ряд:
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
57) |
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
n ln |
2 |
n |
|
|
||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
− n |
|
|
∞ |
1 |
|
59) |
∑e |
|
. |
|
60) ∑ |
. |
||
n |
|
(2n −1)2n |
||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
58) |
∑ |
|
. |
||
n ln n ln ln n |
|||||
|
n=2 |
|
|||
|
∞ |
1 |
|
|
|
61) |
∑ |
. |
|
||
3n −2 |
|
||||
|
n=1 |
|
|
4.9. Применяя различные признаки сходимости, исследовать сходимость знакоположительных рядов:
∞ |
1 |
|
1 |
|
∞ |
n |
|
|
∞ |
1 |
|
62) ∑ |
sin |
. |
63) ∑ |
|
. |
64) ∑ |
. |
||||
3 |
2 |
(n +1) |
2 |
n −sin n |
|||||||
n=1 |
n |
|
n |
n=1 |
|
|
n=1 |
|
36
|
∞ |
|
|
|
65) |
∑ne−n . |
|||
|
n=1 |
|
|
|
|
∞ |
2n −1 |
|
|
68) |
∑ |
. |
||
2 |
||||
|
n=1 |
(n +1) |
∞ |
|
n +1 |
|
|||
66) ∑ |
|
. |
||||
n |
3 |
|||||
n=1 |
+5 |
|
|
|||
∞ |
|
|
5 |
+5 |
1 . |
|
69) ∑ln n |
|
|||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
∞ |
π |
|
∞ |
1 |
|
|
71) ∑(31n −1)sin |
. 72) |
∑ |
. |
|||
n |
|
|||||
n=1 |
|
n=1 |
n! |
67) ∑∞ lnn5n .
n=1
∑∞ arctgn
70) n=1 10n −n .
73) ∑∞ 3n +1 .
n=1 n!
∞ |
n +1 |
|
|
74) ∑ln |
. |
||
|
|||
n=1 |
2n +5 |
∞
77) ∑n10e− n .
n=1
80)∑∞ lnn!n .n=2
∞ |
1 |
1 |
), |
||
82) ∑(a |
|||||
n |
−2 +a− |
n |
n=1
∞ |
|
1 |
2 |
|
∞ |
arcsin 1 |
|
|
||||
75) ∑7 |
|
. 76) ∑ |
|
|
n |
|
||||||
n ln cos |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
n=2 |
|
n |
|
|
|
n=1 |
n +1 − |
n |
||||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||
78) ∑n2e−3 n . |
79) |
∑ |
ln n |
. |
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=2 e |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∞ |
n +2 − |
n −2 |
|
|
|
|||
|
81) ∑ |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n=3 |
|
3 n2 |
1 . |
||||||
|
|
∞ |
|
n +1 − n )a arctg |
||||||||
a > 0, a ≠1. 83) ∑( |
||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
∞ |
|
cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
n +5 n |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
84) ∑ |
|
|
|
|
n |
. |
|
|
85) ∑ |
|
|
|
|
. |
86) ∑ |
|
|
arccos |
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
5 |
n |
|
3n −1 |
|
n |
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
n − |
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n +1 |
1 |
|
|
∞ |
2 5 8 |
... |
( |
3n |
|
|
) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
87) ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
88) ∑ |
|
|
n |
. 89) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
2 7 |
12 ... (5n −3) |
||||||||||||||||||||||||||
n=4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n +3 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n +1 − 4 n2 +n +3). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
90) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
91) |
∑( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
3 |
|
+ |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
92) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
93) ∑(2nn −1)!! |
. |
94) ∑n1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n ln (n +1) |
|
|
|
n=1 |
3 n! |
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
37
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1n3 −1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
95) ∑ |
n |
. |
|
|
96) ∑log2n (1+ |
1 |
). |
|
|
|
|
97) ∑(n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
n=2 |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
98) ∑n sin |
|
|
. |
|
99) ∑ n ln |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
100) ∑ cos |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n −1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n n +1 |
|
||||||||||||||
101) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
102) |
∑ arcsin |
|
|
|
|
|
. 103) ∑ |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
n −ln n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
n n n −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
7 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
104) ∑ cos |
|
|
. |
|
|
|
|
|
105) ∑ ln |
|
|
|
−ln sin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
a |
n |
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
2n +3 n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
106) ∑ ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 107) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
108) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n +1 |
|
|
n ln |
a |
n |
|
|
|
n |
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
109) ∑e−a |
n , a ≠ 0 . |
|
110) ∑ |
n (3 |
|
n |
−1) |
|
. |
|
111) ∑ |
ln cos n |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
ln cos |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
(n!) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
112) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
113) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n ln n ln |
2 |
ln n |
( |
2n +1)! |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.10. Применяя признак Лейбница, показать, что данный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
114) ∑(−1) |
n−1 |
. |
|
115) ∑ (−1) |
n−1 |
2 . |
|
|
116) ∑( |
−1) |
n−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n=1 2n −1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n +5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
117) ∑(−1) |
n |
|
n . |
|
|
|
118) ∑(−1) |
n |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n +20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞ |
n+1 |
∞ |
|
n |
|
∞ |
|
n+1 |
3 |
n . |
119) ∑ |
(−1)a |
. 120) ∑ |
(−1) |
|
. |
121) ∑ |
(−1) |
|
|
|
n=1 |
n |
n=2 |
ln n |
|
n=1 |
n +2 |
|
38
122) ∑∞ (−1)n (n −1).
n=2
∞ |
n |
3n +1 |
n |
||
124) ∑(−1) |
|
||||
|
|
. |
|||
4n +5 |
|||||
n=0 |
|
|
|
∞
126) ∑(−1)n+1n10e−n .
n=1
∞ |
n+1 |
|
1 |
|
|
|||
123) ∑(−1) |
tg |
|
. |
|
||||
|
3 |
|
||||||
n=1 |
|
n |
|
n |
|
|||
|
∞ |
|
n+1 |
|
||||
|
(−n1) . |
|
||||||
125) ∑ |
|
|||||||
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
2n |
|
||
127) ∑(−1)n+1 |
. |
|||||||
3n +2 |
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
n |
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
128) ∑ |
|
|
|
. |
|
129) ∑ |
|
|
|
|
. |
|
130) ∑ |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
1000n +1 |
|
|
|
n=2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
n ln n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
( |
−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n+1 |
(n2−1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
131) ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
132) ∑(−1) |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2n −arctgn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
n+1 |
|
arctgn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
133) ∑(−1) |
|
|
|
. |
|
|
|
134) ∑(−1) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.12. Найти область сходимости функционального ряда: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(−1n) . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
135) ∑ |
|
136) |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
137) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n |
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ x (x +n) |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1+2x n |
|||||||||||||||
138) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
139) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 140) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
1 |
+ x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
1+3x |
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
1+ |
2x |
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
n −1 |
|
|
|
x |
n |
||||||||||||||||||||||
141) ∑ |
|
|
|
. 142) ∑(−1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
n (n +1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
143) |
∞ |
(−1)n+1 2 |
+3x n |
||||
∑ |
n |
p |
|
. |
|||
|
n=1 |
|
3 + x |
|
|||
|
∞ |
|
1 |
|
|
1− x |
n |
|
∑ |
|
|
|
|||
145) |
|
|
|
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. |
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n=1 |
ln (1+n) |
1+ x |
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∞ |
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(−1)n |
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1+ x n |
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144) ∑ |
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. |
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3 |
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n=2 |
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n −ln n |
3 +2x |
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∞ |
x |
n |
|
|
|
∞ |
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146) ∑ |
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. 147) |
∑nln x . |
|||
1− x |
n |
||||||
n=1 |
|
|
|
n=2 |
39