Учебное пособие 814
.pdfЕ
1)
Е
3)
Е
5)
Е
7)
Е
9)
R1 |
|
Е |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
||
L |
|
|
|
L |
||
|
|
|
|
|||
|
R3 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
2) |
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
Е |
|
R1 |
R2 |
|
R2 |
|
|
R3 |
|||
|
|
|
||||
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
4) |
|
|
|
|
R1 |
R2 |
Е |
R1 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|||
|
R3 |
|
|
|
|
R3 |
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
6) |
|
|
|
|
R1 |
|
Е |
R1 |
|
R2 |
|
R2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
8) |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Е |
R1 |
|
R2 |
|
|
R1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
R3 |
|
|
|
|
R3 |
L |
|
10) |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
Е |
R1 |
|
R3 |
|
R1 |
|
|
|
C |
|
C |
R3 |
|||
|
|
|
|
10 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Е |
R2 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
1) |
|
|
|
2) |
|
|
|
Е |
R1 |
C |
|
Е |
R1 |
R2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R3 |
|
|
C |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
Е |
R1 |
C |
R3 |
|
R1 |
C |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
10 |
|
R3 |
|
|
|
|
|
Е |
|
|
5) |
|
R2 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
R1 |
C |
R3 |
|
|
Е |
|||
|
|
|
|
|
7) |
|
|
R2 |
8) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Е |
R1 |
C |
R3 |
|
|
Е |
|||
|
|
|
|
|
9) |
|
R2 |
|
|
|
|
|
10) |
|
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
|
|
20 |
R1
R2
R1
10
R2
C R3
C R3
1. Рассчитать классическим методом переходные функ-
ции:
а) ток и напряжение индуктивной катушки в схеме рис. 3.1; б) напряжение и ток конденсатора в схеме рис. 3.2.
2. В интервале времени от 0 до 5/|р| построить графики переходных функций тока и напряжения, рассчитанных в п.1.
Пример расчета РГР №3
3.1. В цепи, схема которой приведена на рис. 3.3, происходит коммутация. Рассчитать переходные функции напряжения и тока конденсатора и построить их временные зависимости. Расчет выполнить классическим и операторным методами.
Исходные данные для расчета: Е=20 В, R1=R2=R3=10 Ом,
R4=30 Ом, С=10 мкФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Определим, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пользуясь |
алгоритмом |
рас- |
Е |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
R3 |
||||||
чета переходных процессов, |
|
|
|
|
|
iС(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
функцию изменения во вре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мени напряжения конденса- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
uC(t) |
|
|
|
R4 |
|||||||||||
тора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u C(t)=uCсв(t)+uCпр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ток конденсатора рас- |
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
|
||||||||||||||||
считаем по закону Ома, за- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
писанному |
для |
мгновенных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
значений |
iC (t) |
C |
duC (t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим |
|
независи- |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC(0-) |
|
|
|
|
|||||||||||
мые начальные условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В установившемся |
|
до- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
коммутационном |
режиме в |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
i4(0-) |
|
|
R4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ветви с конденсатором |
ток |
|
|
|
|
|
|
|
i2(0-) |
|
|
|
||||||||||||
отсутствует и в цепи (рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.4) в параллельных ветвях |
|
|
|
|
|
Рис. 3.4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
протекают токи
i2 (0 |
|
) |
|
|
E |
|
|
|
20 |
|
1 |
A, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R1 |
R 2 |
10 |
10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i4 (0 |
) |
|
|
E |
|
|
|
20 |
|
|
0,5 |
A. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R3 |
R 4 |
10 |
30 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Напряжение конденсатора в докоммутационной цепи |
||||||||||||||
найдем по второму закону Кирхгофа |
|
|
|
|
||||||||||
uC (0 ) R2i2 (0 ) R4i4 (0 |
) |
|
10 |
1 30 |
0,5 5 B. |
Согласно второму закону коммутации напряжение конденсатора не может измениться мгновенно, поэтому начальное значение этого напряжения будет равно его докоммутацион-
ному значению: |
uC(0+)=uC(0-)= -5 В. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Принужденное значение напряжения конденсатора опре- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делим, рассчитав токи и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжения в |
установив- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шемся режиме в цепи после |
||||||
|
|
|
|
|
uCПР |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутации (рис. 3.5). Ток |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в четвертом резисторе от- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
сутствует и в цепи протека- |
|||||
|
|
|
i2ПР |
|
|
ет только ток |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2ПР |
|
E |
20 |
1 A. |
|
|
|
|
Рис. 3.5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R1 |
R 2 |
20 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Тогда напряжение конденсатора |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
uСПР |
R2i2ПР 10 1 10 |
В. |
|
|
Составим
|
a |
R1 |
R2 |
характеристическое |
уравнение. Для этого |
|||||||||
|
|
|
1/Ср |
найдем |
входное |
сопротивление |
||||
b |
|
|
пассивной |
части |
схемы после |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
коммутации |
относительно |
ра- |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R4 |
|
зомкнутых зажимов ab (рис. 3.6). |
||||||
|
|
|
|
|
|
В рассматриваемой цепи источ- |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ник напряжения заменяется ко- |
||||
|
|
|
|
|
|
роткозамкнутым |
участком, |
а |
||
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
конденсатор операторным сопротивлением 1/Сp:
Zab (p) |
1 |
R |
|
R1R 2 |
|
0 . |
Cp |
4 |
R1 R |
|
|||
|
|
|
2 |
|
Откуда p |
|
|
1 |
|
|
|
105 |
|
2857 c 1. |
|
C(R |
|
|
R1R2 |
) |
30 |
5 |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
R1 |
R2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как характеристическое уравнение имеет один корень р= -2857 1/с, свободная составляющая напряжения име-
ет вид: |
uCCB (t) Be 2857 t . |
Определим постоянную интегрирования В. Для этого,
рассмотрим искомую функцию напряжения
u C(t)=uCсв(t)+uCпр= Be 2857t 10
в момент времени t=0+: u C(0+)= B 10 .
Начальное значение напряжения конденсатора uC(0+)=-5 В. Получим уравнение B 10 = -5, и найдем постоянную интегрирования В= -15 В.
iC, uC
uC(t)
iC (t)
t, c
Рис. 3.7
Искомая переходная функция напряжения u C(t)= 15e 2857t 10 , В.
Определим переходную функцию тока в ветви с конден-
23
сатором с помощью закона Ома:
iC |
(t) C |
duC (t) |
|
|
d( 15e 2857t |
10) |
|
dt |
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
10 10 6 ( 15)( |
2857)e 2857t |
0,428e 2857t , A. |
Графики временных зависимостей переходных функций напряжения и тока конденсатора представлены на рис. 3.7.
3.2. В цепи, схема которой приведена на рис. 3.8, происходит коммутация. Рассчитать переходные функции напряжения и тока индуктивной катушки и построить их временные зависимости. Расчет выполнить классическим методом.
|
Исходные данные для расчета: Е= 30 В, |
|
|||||||||
|
R1=R2=R3=10 Ом, L=1 мГн. |
|
|
||||||||
|
Решение. |
|
Определение переходных функций начнем с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нахождения тока индуктив- |
|
|
iL(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
ной катушки, |
как суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L |
|
|
|
|
|
свободной и принужденной |
||||
E |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
составляющих |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iL(t) = iLсв(t) + iLпр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
Напряжение на зажи- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
мах катушки найдем с по- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мощью закона |
Ома для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мгновенных значений |
|
|
|
|
|
Рис. |
3.8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
uL (t) L |
diL (t) |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим независимые начальные условия. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что в цепи |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
постоянного тока в устано- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
iL(0-) |
|
|
|
|
|
вившемся режиме идеальная |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
индуктивная катушка |
пред- |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ставляет собой участок с со- |
|||
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
противлением равным нулю, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
легко рассчитать ток катуш- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3.9 |
|
|
|
|
|
|
|
ки в схеме до коммутации (рис. 3.9)
iL |
(0 ) |
E |
30 |
3 A. |
||
|
|
|
||||
R1 |
10 |
|||||
|
|
|
Согласно первому закону коммутации ток индуктивной катушки в момент коммутации не может измениться мгновенно и в первый момент остается равным докоммутационному значению
iL(0+)=iL(0-)=3 А.
Найдем принужденное значение тока катушки. Для этого
рассчитаем величину тока в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
установившемся |
режиме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
цепи после коммутации |
|
iLПР |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(рис. 3.10). |
Так как индук- |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тивная катушка представля- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ет собой короткозамкнутый |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
участок цепи, то ток в рези- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
||||||
сторе R3 отсутствует, а ток |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
катушки определим, как: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Рис. 3.10 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
iLПP |
E |
R1R2 |
|
30 |
6 A. |
|
|
|
|
|
||||||
R1 |
R2 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим характеристическое уравнение путем определения входного сопротивления Z(p) пассивной части цепи после коммутации (рис. 3.11). В рассматриваемой цепи источник напряжения заменяется короткозамкнутым участком, а индуктивная катушка операторным сопротивлением Lp. Находим входное сопротивление относительно разомкнутых входных зажимов цепи:
Lp |
R3 |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11
25
|
|
|
LpR |
3 |
|
|
|
R R |
2 |
|
|
10 2 p |
|
10 10 |
|||
Z(p) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Lp R |
3 |
|
R |
! |
R |
2 |
10 3 p 10 |
10 10 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10 |
|
2 p |
|
|
5 |
10 2 p |
|
0,5 10 2 p |
50 |
0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10 3 p |
10 |
|
|
|
|
|
(10 3 p 10)20 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристическое уравнение имеет вид
1,5·10-2р+50=0.
Так как уравнение имеет один корень р = -3333 1/с, то свободную составляющую тока катушки запишем, как
iLCB (t) Аеpt Ae 3333t .
Для нахождения постоянной интегрирования А рас-
смотрим искомую функцию тока
|
iL(t)=iLсв(t)+iLпр= Ae 3333t 6 |
|
в момент времени t=0+: |
iL(0+)=А+6. |
|
Так как согласно закону коммутации iL(0+)=3 А, то полу- |
||
чим уравнение |
А+6=3, |
|
откуда найдем значение постоянной интегрирования А= -3 (А).
uL(t), iL(t)
iL(t)
uL(t)
t, c
Рис. 3.12
14
26
Переходная функция тока катушки
iL(t)=-3е-3333t+6 (А).
Напряжение индуктивной катушки
u |
|
(t) |
L |
diL (t) |
|
10 |
3 d( |
3e 3333t 6) |
||
L |
dt |
|
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
10 3 ( |
3333)( |
3)e 3333t |
10e 3333t (B). |
Графики временных зависимостей переходных функций напряжения и тока катушки представлены на рис. 3.12.
27
ПРИЛОЖЕНИЕ
Воронежский государственный технический университет
Кафедра ЭАУТС
Расчетно-графическая работа №_____
по дисциплине «Электротехника»
«Название работы»
Выполнил: студент гр. (номер группы)
(фамилия, инициалы).
Принял:
(фамилия, инициалы).
Дата: (число, месяц, год).
Оценка: _____________________
Воронеж 2015
28