Учебное пособие 995
.pdf70
71
Задача 3.
Продолжая функцию f(t) четным или нечетным образом, разложить ее в ряд Фурье в № 3.1 – 3.12 по синусам , в № 3.12 – 3.25 по косинусам.
3.1. f(t) = t2 + t на [-1 ; 0].
|
|
0,если0 t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 . |
|
||||||||||||
3.2. f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t,если |
t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
,если0 t |
2 |
|
|||||
3.3. |
(t 1) |
|
. |
|||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
1 t2 ,если2 t |
|
||||||||||||
3.4. |
|
1,если0 t 1 |
. |
|
||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 t,если1 t 2 |
|
||||||||||||
|
|
2 |
,если0 t 1 |
|
|
|
||||||||
3.5. |
t |
|
. |
|
||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1,если1 t 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
,если-2 t 1 |
|
||||||||||
3.6. |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
f (t) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
,если-1 t |
0 |
|
||||||
|
1 t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. f(t) = t2 + 1, если 0 t |
2. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
1,если0 t 1 |
||
3.8. |
f (t) t2 |
,если1 t 2 . |
|
|
|
|
|
3.9. |
|
|
t,если0 t 1 |
f (t) |
|
. |
|
|
t2 |
2t,если1 t 2 |
3.10. f(t) = - t2 + 1, если 1 t 2.
3.11. |
|
t 1,если0 t 1 |
|
f (t) |
|
. |
|
|
t t2 |
,если1 t 2 |
3.12. f(t) = -t2 + t – 2, если 0 t |
1. |
|||||||||
3.13. |
1,если0 t |
1 |
. |
|
|
|||||
f (t) |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
t,если1 t |
|
|
|
|
|||||
|
|
1,если0 t 1 |
|
|||||||
3.14. |
f (t) 1 t2 ,если1 t 2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,если0 t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
3.15. |
2 . |
|||||||||
f (t) |
|
|
|
|||||||
|
|
t,если |
t |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
3.16. f(t) = t2 + t, если -1 t 0. |
|
|||||||||
3.17. |
|
1,если0 t 1 |
. |
|||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 t,если1 t 2 |
|
3.18. f(t) = (t – 1)2, если 0 t 1.
73
|
|
|
2 |
,если0 t 1 |
3.19. |
t |
|
||
f (t) |
|
|
. |
|
|
|
0,если1 t 2 |
||
3.20. |
2 t,если0 t 1 |
|||
f (t) |
|
|
. |
|
|
|
|
1,если1 t 2 |
3.21. f(t) = t2 + 1, если 0 t 2 .
1 t,если0 t 1 3.22. f (t) 2 .
t t ,если1 t 2
3.23. f(t) = -t2 + t – 2, если 0 t 2.
0,если0 t 1 3.24. f (t) 2 .
t t ,если1 t 2
3.25. f(t) = -t2 + 2, если 0 t 1.
Задача 4.
Сигнал f(t) представить рядом Фурье в комплексной форме. Воспользовавшись полученным разложением, записать ряд Фурье в действительной форме. Построить графики спектров
{|Cn|} и {An}.
4.1. |
0,если- |
t 0 |
f(t). |
f (t) e t ,если0 |
t , f(t 2 ) |
||
|
|
|
|
4.2. f(t) = ch 2t, если - |
|
t < |
|
, f(t + ) = f(t). |
|
|
|||
2 |
2 |
|
4.3. f(t) = sh 4t, если - t < , f(t + ) = f(t).
4 4 2
74
4.4. f(t) = ch t , если - t < , f(t +2 ) = f(t). 2
4.5. f(t) = sh t , если - t < , f(t + 2 ) = f(t). 2
4.6.f(t) = ch 2t + e2t, если 0 t< , f(t + ) = f(t).
4.7.f(t) = e-t, если -1 t <1, f(t + 2) = f(t).
4.8. |
1,если-1 t 0 |
, f(t 2) |
f(t) |
f (t) |
|||
|
t,если0 t 1 |
|
|
4.9. f(t) = t – 1, если -1 t <1, f(t + 2) = f(t).
4.10. f(t) = t – t2, если -1 t <1, f(t + 2) = f(t).
4.11. f(t) = et, если - t< , f(t + 2 ) = f(t). 4.12. f(t) = 2 + | t |, если -1 t <1, f(t + 2) = f(t).
|
|
|
1 |
2,если- t |
0 |
|
|
|
|
|
|
4.13. f (t) |
|
|
|
|
, f(t |
f(t). |
|||||
|
|
|
(t ),если0 |
t |
|
|
2 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.14.f(t) = sh 2t – e2t, если 0 t< , f(t + ) = f(t).
4.15.f(t) = sin t, если - t< , f(t + ) = f(t).
22
4.16.f(t) = t2 – 2t + 2, если -2 t<2, f(t + 4) = f(t).
4.17. |
t,если-1 t 0 |
f(t). |
|
f (t) |
, f(t 2) |
||
|
t2 |
,если0 t 1 |
|
|
|
75 |
|
4.18. |
f(t) = cos t, если 0 t< , f(t + ) = f(t). |
|||||||
4.20 |
f(t) = cos |
|
t |
, если 0 t<3 , f(t + 3 ) = f(t). |
||||
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
4.21 |
f(t) = 1 – | t |, если -1 t<1, f(t + 2) = f(t). |
|||||||
4.22 |
f(t) = cos |
|
t |
, если 0 t<4 , f(t + 4 ) = f(t). |
||||
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|||
4.23. |
|
|
|
|
,если-1 t 0 |
, f(t 2) f(t). |
||
2 |
||||||||
f (t) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t,если0 t 1 |
|
||||||
|
|
2 |
|
,если-1 t 0 |
|
|||
4.24. |
t |
|
|
|
||||
f (t) |
|
|
|
|
, f(t 2) f(t). |
|||
|
|
0,если0 t 1 |
|
4.25. f(t) = 2t, если -2 t<2, f(t + 4) = f(t).
Задача 5.
Для импульса f(t) найти спектральную плотность F( ) и записать интеграл Фурье в комплексной и действительной формах.
|
|
|
t |
,если |
|
|
t |
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.1. |
f (t) |
0,если |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
,если |
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (t) 1,если 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0,если |
|
t |
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
76
|
t 2,если-2 t 1 |
||||||||||
|
|
t,если-1 t 1 |
|||||||||
5.3. |
|
||||||||||
f (t) |
t 2,если1 t |
. |
|||||||||
|
|
2 |
|||||||||
|
|
0,если |
|
|
t |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1,если 0 t |
1 |
|||||||||
5.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) t 1,если 1 t 0 . |
|||||||||||
|
|
0,если |
|
|
t |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
e t ,если 0 t 1 |
t
5.5.f (t) e ,если 1 t 0 .
|
0,если |
|
t |
|
1 |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 2,если |
|
t |
|
1 |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2,если 1 |
|
|
2 . |
||||||||||
|
|
||||||||||||
5.6. f (t) |
|
|
|||||||||||
|
0,если |
|
t |
|
2 |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7.f (t)
5.8.f (t)
cost,если t 2 .
0,если t
2
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t 1,если-1 |
t |
|
|
|||||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
1,если |
t |
|
|
. |
|||
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
1
t 1,если 2 t 1
10,если t
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin |
,если |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 . |
|||||||||||||
5.9. f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,если |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
|
t 1,если 0 t |
1 |
|||||
5.10. |
|
|
|
|
|
|
0 . |
f (t) t 1,если 1 t |
|||||||
|
|
0,если |
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,если t 0 |
|
||||
5.11. |
|
|
|
|
|
|
|
f (t) t,если 0 t 1 . |
|
||||||
|
|
0,если t 1 |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
0,еслиt 0 |
|
||||
|
|
1,если0 t 1 |
|
||||
5.12. |
|
. |
|||||
f (t) |
|
|
|
|
|
||
|
2 t,если1 t 2 |
||||||
|
|
0,еслиt 2 |
|
||||
|
|
|
0,если t 0
5.13.f (t) e t ,если 0 t 2 .
|
0,если t 2 |
|
5.14.f(t) = e-a | t | (a>0).
5.15.f(t) = te-a| t | (a>0).
|
t 2,если -2 t 0 |
||||||||||||||
5.16. |
|
|
2,если 0 t 2 . |
||||||||||||
f (t) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,если |
|
t |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.17. |
cos |
|
|
,если |
|
|
|
. |
|||||||
|
|||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,если |
|
t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
sin |
|
t |
|
,если |
|
t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.18. |
f (t) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,если |
|
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
|
|
|
cost |
|
,если |
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5.19. |
|
|
|
|
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,если |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0,еслиt 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
5.20. |
1,если0 t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
t,если1 t |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,еслиt 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
,еслиt 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5.21. |
te |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
f (t) |
|
0,еслиt 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 t,если -1 t 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
5.22. |
|
|
1,если 0 t |
1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
f (t) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,если |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ch2t,если |
|
|
t |
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5.23. |
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
0,если |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
sh2t,если |
|
t |
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5.24. |
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
0,если |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,еслиt 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t,если0 t 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
5.25. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
2 t,если1 t |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,еслиt 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
79