Учебное пособие 1029
.pdfГамма-функция Эйлера задается следующим интегра-
лом:
+∞ |
|
|
Г( ) = ∫ |
−1 − , |
: ( ) > 0. |
0 |
|
|
Свойства гамма-функции:
1)Г( + 1) = Г( );
2)Г(1) = 1;
3)Для всех натуральных чисел:
Г( + 1) = ∙ Г( ) = = ! ∙ Г(1) = !
Задание на практическ ую работ у
1. Рассчитать параметры риска для гамма-плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).
Таблица 3 Аналитические выражения риска и его параметров (для распределения гамма-плотности вероятности
наступления ущерба)
Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
Наименование пара- |
Аналитическое выражение пара- |
|
метра риска |
|
метра риска |
Первый |
начальный |
|
момент |
|
|
Второй |
начальный |
|
момент |
|
|
Третий |
начальный |
|
момент |
|
|
Четвертый начальный |
|
|
момент |
|
|
19
|
|
|
Окончание табл. 3 |
Наименование |
пара- |
Аналитическое выражение пара- |
|
метра риска |
|
метра риска |
|
Пятый начальный мо- |
|
||
мент |
|
|
|
Первый |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Второй |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Третий |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Четвертый централь- |
|
||
ный момент |
|
|
|
Коэффициент |
асим- |
|
|
метрии |
|
|
|
Коэффициент |
эксцес- |
|
|
са |
|
|
|
Мода риска |
|
|
|
Пик риска |
|
|
2.Получить аналитический вид функции риска системы
сиспользованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты в со-
ответствии с формулами (1.19), (1.20), (1.21).
Контрольные вопросы :
1)Что характеризует коэффициент эксцесса?
2)Опишите алгоритм получения моды риска.
3)Приведите аналитический вид четвертого начального момента гамма-плотности вероятности.
20
Практическая работа №3 Расчет параметров риска и общего риска системы
при использовании усредненных и пиковых оценок риска для бета-распределения плотности вероятности наступления ущерба
Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при бета-плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.
Задачи лабораторной работы:
получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);
получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.
Теоретиче ские сведения
Бета-распределение в теории вероятностей и статистике
— двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.
Пусть распределение случайной величины Х задается плотностью вероятности , имеющей вид:
( ) = |
1 |
|
−1(1 − )−1, |
|
|
||
|
|
||
|
( , ) |
|
|
|
|
где: , > 0 – произвольные фиксированные параметры,( , ) −бета-функция,[0; ∞) − носитель распределения.
21
В математике бета-функцией (бета-функцией, бетафункцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:
( , ) = ∫01 −1(1 − ) −1 = Г( )Г( ).
Задание на практическ ую работ у
1. Рассчитать параметры риска для бета-плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).
Таблица 4 Аналитические выражения риска и его параметров
(для распределения бета-плотности вероятности наступления ущерба)
Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
Наименование пара- |
Аналитическое выражение пара- |
|
метра риска |
метра риска |
|
Первый |
начальный |
|
момент |
|
|
Второй |
начальный |
|
момент |
|
|
Третий |
начальный |
|
момент |
|
|
Четвертый начальный |
|
|
момент |
|
|
Пятый начальный мо- |
|
|
мент |
|
|
Первый |
центральный |
|
момент |
|
|
Второй |
центральный |
|
момент |
|
|
22
|
|
Окончание табл. 4 |
Наименование |
пара- |
Аналитическое выражение пара- |
метра риска |
|
метра риска |
Третий центральный |
|
|
момент |
|
|
Четвертый централь- |
|
|
ный момент |
|
|
Коэффициент |
асим- |
|
метрии |
|
|
Коэффициент |
эксцес- |
|
са |
|
|
Мода риска |
|
|
Пик риска |
|
|
2.Получить аналитический вид функции риска системы
сиспользованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты в со-
ответствии с формулами (1.19), (1.20), (1.21).
Контрольные вопросы :
1)Приведите аналитический вид второго центрального момента бета-плотности вероятности.
2)Опишите алгоритм получения пика риска.
3)Приведите аналитический вид третьего начального момента бета-плотности вероятности.
23
Практическая работа №4 Расчет параметров риска и общего риска системы
при использовании усредненных и пиковых оценок риска для распределения Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба
Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.
Задачи лабораторной работы:
получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);
получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.
Теоретические сведения
Распределение Вейбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Пусть распределение случайной величины Х задается плотностью вероятности , имеющей вид:
|
( ) = { |
|
( |
|
)−1 |
−( ) , ≥ 0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0, < 0
где: > 0 – коэффициент масштаба, > 0,[0; ∞) − носитель распределения.
24
Задание на практическ ую работ у
1. Рассчитать параметры риска для Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).
Таблица 5 Аналитические выражения риска и его параметров
(для распределения Вейбулла плотности вероятности наступления ущерба)
Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
Наименование |
пара- |
Аналитическое выражение пара- |
|
метра риска |
|
метра риска |
|
Первый |
начальный |
|
|
момент |
|
|
|
|
|
||
Четвертый начальный |
|
||
момент |
|
|
|
Пятый начальный мо- |
|
||
мент |
|
|
|
Первый |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Второй |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Третий |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Четвертый централь- |
|
||
ный момент |
|
|
|
Коэффициент |
асим- |
|
|
метрии |
|
|
|
Коэффициент |
эксцес- |
|
|
са |
|
|
|
25
|
|
Окончание табл. 5 |
|
|
|
Наименование |
пара- |
Аналитическое выражение пара- |
метра риска |
|
метра риска |
|
|
|
Мода риска |
|
|
Пик риска |
|
|
2.Получить аналитический вид функции риска системы
сиспользованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты в со-
ответствии с формулами (1.19), (1.20), (1.21).
Контрольные вопросы :
1)Приведите аналитический вид коэффициента асимметрии Вейбулла плотности вероятности.
2)Приведите аналитический вид первого начального момента Вейбулла плотности вероятности.
3)Приведите аналитический вид четвертого центрального момента Вейбулла плотности вероятности.
26
Практическая работа №5 Расчет параметров риска и общего риска системы
при использовании усредненных и пиковых оценок риска для распределения хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба
Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.
Задачи лабораторной работы:
получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);
получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.
Теоретические сведения
Распределение хи-квадрат в теории вероятностей — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.
Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
) = |
( |
1 |
)2 |
2−1 −2, |
||
2 |
|
( ) = Г ( |
, |
2 |
||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Г ( |
2 |
) |
|
где: Г (12 , 2)– гамма-распределение, Г (2) −гамма-фукнция,
[0; ∞) − носитель распределения.
27
Задание на практическ ую работ у
1. Рассчитать параметры риска для хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).
Таблица 6 Аналитические выражения риска и его параметров
(для распределения хи-квадрат плотности вероятности наступления ущерба)
Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
Наименование |
пара- |
Аналитическое выражение параметра |
|
метра риска |
|
риска |
|
Первый |
начальный |
|
|
момент |
|
|
|
|
|
||
Четвертый начальный |
|
||
момент |
|
|
|
Пятый начальный мо- |
|
||
мент |
|
|
|
Первый |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Второй |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Третий |
центральный |
|
|
момент |
|
|
|
Четвертый централь- |
|
||
ный момент |
|
|
|
Коэффициент |
асим- |
|
|
метрии |
|
|
|
Коэффициент |
эксцес- |
|
|
са |
|
|
|
28