Учебное пособие 1285
.pdfui |
|
|
-18 |
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
0 |
|
7 |
|
|
|
|
-4 |
|
υi |
|
|
1 |
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
-7 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, исправленные выборочные дисперсии |
|||||||||||||||||||||
|
|
∑ui2 − |
1 |
|
(∑ui )2 |
(324 +36 +49 +16) |
− |
1 |
441 |
|
|||||||||||
2 |
|
|
n |
|
|||||||||||||||||
su |
= |
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
=84, 2; |
|||||
|
n1 −1 |
|
|
|
|
5 −1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∑υi2 − |
1 |
(∑υi )2 |
(1+4 +49 |
+25)− |
1 |
9 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
sυ |
= |
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
= 25,58. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 −1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
n2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь каждая из дисперсий увеличена в 102 раз. Найдем
наблюдаемое значение критерия Fн = s2 , т. е. отношение su2
υ
большей исправленной дисперсии к меньшей
Fн = 25,5884, 2 =3, 29.
По числам степеней |
свободы |
k1 = n1 −1 =5 −1 = 4 и |
|
k2 = n2 −1 = 4 −1 = 3 |
и табл. |
6 находим критическую точку |
|
kкр (0,05; 4;3)=9,12. |
Поскольку Fн < kкр, |
то нулевую гипотезу |
о равенстве генеральных дисперсий принимаем, т. е. считаем, что оба метода одинаковой точности.
2.3. Из нормальной генеральной совокупности извлечены выборка объема n = 18 и по ней найдена исправленная
выборочная дисперсия s2 =15,3. Теоретически |
установлено, |
||
что генеральная дисперсия σ0 |
2 =13,1. При уровне значимости |
||
0,05 проверить нулевую |
гипотезу H0 :σ2 |
=σ0 |
2 , если |
конкурирующая гипотеза H0 :σ2 >13,1.
20
|
Решение. |
|
|
Конкурирующая |
гипотеза |
имеет вид |
||||
H0 :σ2 |
>13,1., |
поэтому критическая область правосторонняя. |
||||||||
Найдем |
|
|
наблюдаемое |
значение |
критерия |
|||||
χ2 |
= |
(n −1)s2 |
= |
|
(18 −1)15,3 |
=19,585. |
Число степеней свободы |
|||
|
σ02 |
|
13,1 |
|
||||||
н |
|
|
|
|
|
|
|
равно k = n −1 =18 −1 =17.
По таблице 7 находим критическую точку χкр2 (0,05;17)= 27, 6. Поскольку χн2 < χкр2 , то нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значению σ02 =13,1 принимаем. Иначе, различие между исправленной дисперсией
s2 =15,3 3 и теоретической σ02 =13,1 незначительное.
2.4. Партия изделий проверяется по дисперсии выборки, которая не должна превышать σ02 = 0,15.Выборка дала следующие результаты
Контрольный |
xi |
5,6 |
6,0 |
6,4 |
5,8 |
6,2 |
размер |
|
|
|
|
|
|
изделий |
|
|
|
|
|
|
частота |
ni |
2 |
3 |
10 |
4 |
1 |
Можно ли принять партию при уровне значимости 0,05? Решение. Примем за нулевую гипотезу равенство
неизвестной |
генеральной |
дисперсии |
σ2 |
гипотетическому |
значению σ02 , H0 :σ2 =σ02 |
= 0,15, а |
за |
конкурирующую |
|
H1 :σ2 ≠ 0,15. |
Критическая область |
|
в этом случае |
двусторонняя и при определении критических точек уровень значимости берем меньше в два раза α2 = 0,025.
Найдем исправленную выборочную дисперсию. Для этого по формуле ui =10xi −60 перейдем к условным вариантам
21
ui |
|
|
-4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
-2 |
|
|
2 |
|
||
n |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
||
Отсюда, вспомогательная дисперсия условных вариант |
||||||||||||||||||||||
|
|
∑niui2 − 1n (∑niui )2 |
(32 +160 +16 +4)− |
1 |
262 |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
20 |
|
|
|
|||||||||||||||||
su |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9,38. |
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Искомая исправленная дисперсия будет |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s2 = |
|
s2 |
|
= 0,0938. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, наблюдаемое значение критерия |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
χ |
2 |
= |
(n −1)s2 |
|
= |
19 0,0938 |
=11,88. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
н |
σ02 |
|
|
|
|
0,15 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Число степеней |
свободы |
|
|
равно |
k = n −1 = 20 −1 =19. По |
таблице 7 находим правую χн2.кр (0, 025;19)=32,9 и левую
χл2.кр (0,975;19)=8,91 |
критические |
точки. |
Поскольку |
χл2.кр < χн2 < χп2.кр, то нулевая гипотеза принимается и партию
принять можно.
2.5. Партия деталей принимается, если дисперсия контролируемого размера меньше или равна 0,3. Если исправленная выборочная дисперсия при выборе n =124 равна
s2 =0,2, то можно ли при уровне значимости 0,05 партию принять?
Решение. Равенство неизвестной генеральной дисперсии
σ2 предполагаемого |
значения |
σ02 |
принимаем за |
нулевую |
||
гипотезу |
H0 :σ2 =σ02 = 0,3. |
За |
конкурирующую |
гипотезу |
||
принимаем |
H1 :σ2 |
> 0, 2, |
т. |
е. |
критическая |
область |
правосторонняя.
Наблюдаемое значение критерия
22
χн2 = (n −1)s2 =123 0, 2 =82.
σ02 0,3
Поскольку значение числа степеней свободы k = 123 больше 30, то критическую точку находим из выражения УилсонаГильферти (1). Учитывая, что уровень значимости
α = 0,05, из равенства Ф(x)= |
1 |
(1−2α)= 0, 45 по табл. (3) |
|
2 |
|
значений функции Лапласа находим, что x =1,645. Подставляя
k и x |
в формулу (1), получим |
|
|
3 |
|||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
χкр (α; k )=123 |
1 |
− |
|
|
+1,645 |
|
|
|
=150,7. |
||
9 123 |
9 123 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Так как χн2 < χкр2 , то нулевая гипотеза справедлива и партию деталей можно принять.
2.3. Сравнение двух средних генеральных совокупностей
1°. Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально и дисперсии их известны D(X) и D(Y), По выборкам большого объема n >30 и т >30 найдены соответствующие выборочные средние x и y. Требуется, при заданном уровне
значимости α , проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных
совокупностей H0 : M (X )= M (Y ) при |
конкурирующей |
||
гипотезе: а) H1 : M (X )≠ M (Y ); б) H1 : M (X )> M (Y ); |
|||
в) H1 : M (X )< M (Y ). |
|
|
|
Сначала по формуле |
|
|
|
zн = |
x − y |
, |
(1) |
(D (X ))/ n + D (Y )/ m1/ 2 |
находится наблюдаемое значение критерия.
23
|
|
|
а) |
По табл. |
(3) функции Лапласа |
из |
|
|
формулы |
|||
Ф(zкр )= |
1 (1−α) находится критическая точка |
zкр |
. Если |
|||||||||
|
zн |
|
< zкр |
|
2 |
|
|
|
|
zн |
|
> zкр - |
|
|
|
— нулевая |
гипотеза принимается, |
если |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
нулевая гипотеза отвергается.
б) В случае правосторонней критической области критическая точка определяется из равенства Ф(zкр )= 12 −α
по табл. (3). Если zн < zкр — нулевая гипотеза принимается, если zн > zкр - нулевая гипотеза отвергается.
в) Критическую точку zн находим аналогично пункту «б)». Если zн > −zкр — нулевая гипотеза принимается, если zн < −zкр — нулевая гипотеза отвергается.
2°. Пусть по независимым выборкам малого объема n < 30, m < 30 найдены выборочные средние x и y и исправленные
выборочные дисперсии sx2 и sy2 .Генеральные дисперсии
неизвестны, но предполагаются одинаковыми. Требуется при заданном уровне значимости ос проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных
совокупностей H0 : M (X )= M (Y )при конкурирующей
гипотезе: а) H1 : M (X )≠ M (Y ); б) H1 : M (X )> M (Y );
в) H1 : M (X )< M (Y ).
Наблюдаемое значение критерия находится по формуле
T = |
x − y |
k |
nm |
, |
(2) |
((n −1)sx2 +(m −1)sy2 )1/ 2 |
|
||||
н |
|
n +m |
|
|
где к = n+ т -2 — число степеней свободы.
а) По таблице (8) критических точек распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы k находится
24
двусторонняя критическая точка tд.кр. (α, k ). Если |
|
Tн |
|
<tд.кр. |
||||
|
|
|||||||
нулевая гипотеза принимается, если |
|
Tн |
|
>tд.кр. — |
|
нулевая |
||
|
|
|
гипотеза отвергается.
б) В случае правосторонней критической области по таблице (8) находят правостороннюю критическую точку
tпр.кр. . Если Tн <tпр.кр. — нулевая гипотеза принимается, если Tн >tпр.кр. — нулевая гипотеза отвергается.
в) В случае левосторонней критической области находят сначала правостороннюю критическую точку по правилу «б)»,
затем определяют tл.кр. =tпр.кр. . |
Если |
Tн > −tпр.кр. — |
нулевую |
гипотезу принимают, если Tн |
< −tпр.кр. |
— нулевую |
гипотезу |
отвергают.
3°. Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем ее дисперсия σ2 известна. По выборке объема n найдена выборочная средняя x . Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней а гипотетическому значению a0 , H0 : a = a0 при конкурирующей
гипотезе: а) H1 : a ≠ a0 ; б) |
H1 : a > a0 ; |
в) H1 : a < a0. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Наблюдаемое значение критерия находится по формуле |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Uн |
= |
(x −a0 ) n |
. |
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) По |
таблице |
(3) |
функции |
Лапласа из |
формулы |
|||||||
Ф(uкр )= |
1 |
(1−α) находится критическая точка |
uкр . Если |
||||||||||||
|
Uн |
|
<uкр |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Uн |
|
>uкр — |
|
|
|
— нулевая гипотеза принимается, если |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
нулевая гипотеза отвергается.
б) В случае правосторонней критической области критическая точка определяется из равенства Ф(uкр )= 12 −α
25
по таблице (3). Если Uн <uкр — нулевая гипотеза принимается, если Uн >uкр — нулевая гипотеза отвергается.
в) Критическую точку uкр находим аналогично по пункту
б). |
Если |
Uн > −uкр — нулевая гипотеза принимается, если |
Uн |
< −uкр |
— нулевая гипотеза отвергается. |
4°. Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем ее дисперсия неизвестна. По выборке объема n найдена выборочная средняя x . Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней α гипотетическому значению a0 , H0 : a = a0 при конкурирующей
гипотезе: а) H1 : a ≠ a0 ; б) |
H1 : a > a0 ; в) |
H1 : a < a0. |
|
||||||||||||||
Наблюдаемое значение критерия находится по формуле |
|||||||||||||||||
|
|
|
T = |
(x −a0 ) |
n |
, |
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
н |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∑ni xi2 − |
1 (∑ni xi )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
s = |
|
n |
|
|
— |
|
исправленное |
среднее |
||||||||
n −1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
квадратическое отклонение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) По таблице (8) распределения Стьюдента при заданном |
|||||||||||||||||
числе |
степеней свободы |
k = n - 1 |
находится двусторонняя |
||||||||||||||
критическая точка tд.кр. (α, k ). Если |
|
Tн |
|
<tд.кр. — |
нулевая |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
гипотеза принимается, если |
|
Tн |
|
>tд.кр. — |
|
нулевая |
гипотеза |
||||||||||
|
|
|
отвергается.
б) В случае правосторонней критической области по табл. (8) находят правостороннюю критическую точку tпр.кр.. Если
Tн <tпр.кр. —нулевая гипотеза принимается, если Tн >tпр.кр. . —
нулевая гипотеза отвергается.
в) В случае левосторонней критической области сначала находят правостороннюю критическую точку по правилу пункта б) и полагают tл.кр. = −tпр.кр.. ЕслиTн > −tпр.кр. — нулевую
26
гипотезу принимают, если Tн < −tпр.кр. —нулевую гипотезу
отвергают.
5°. Пусть генеральные совокупности X,Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. По выборкам одинакового объема n, варианты которых соответственно равны xi и yi ,найдены разности вариант с одинаковыми
номерами di = xi − yi . Тогда средняя разностей вариант с
одинаковыми номерами |
будет |
|
|
= |
1 |
∑di , а исправленное |
|
d |
|||||||
среднее квадратическое отклонение |
n |
|
|||||
|
1/ 2 |
||||||
∑di2 − 1 |
(∑di )2 |
||||||
s = |
|
n |
|
|
|
|
. |
|
n −1 |
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных
совокупностей X и Y, т. е. H0 : M (X )= M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M (X )≠ M (Y ).
Наблюдаемое значение критерия находится по формуле
|
|
|
|
|
|
T = |
d |
n |
. |
(5) |
k s
По таблице (8) распределения Стьюдента при заданном числе
степеней |
свободы |
k = n - 1 |
|
|
находится |
двусторонняя |
|||||||
критическая точка tд.кр. (α, k ). |
|
|
Если |
|
Tн |
|
<tд.кр. — нулевая |
||||||
|
|
|
|||||||||||
гипотеза |
принимается, |
если |
|
Tн |
|
>tд.кр. — |
|
нулевая |
гипотеза |
||||
|
|
|
|||||||||||
отвергается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. По двум |
независимым |
выборкам |
|
объема |
n = 20 и |
||||||||
m = 30 |
найден |
средний размер изделий, |
соответственно, |
||||||||||
x =95 см, y =105 см. Генеральные дисперсии известны: |
|||||||||||||
D(X) = 15 |
см2 , D(Y) = 21 см2 . |
Предполагая, |
что случайные |
величины X и Y распределены нормально, проверить, при
27
уровне значимости 0,01, нулевую гипотезу H0 : M (X )= M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M (X )≠ M (Y ).
Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид
H1 : M (X )≠ M (Y ). , |
то критическая область двусторонняя. По |
|||||||||||
формуле (1) найдем наблюдаемое значение критерия |
|
|||||||||||
|
|
|
|
zн = |
95 −105 |
|
|
= −8,53. |
|
|
||
|
|
|
|
15 + |
21 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
20 |
30 |
|
|
|
|
|
|
По |
таблице |
(3) |
функции |
|
|
Лапласа |
из |
формулы |
||||
Ф(zкр )= 1 |
(1−α)= |
1 |
−0,01 = 0, 495 |
|
|
находим |
критическую |
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
точку |
zкр |
= 2,58. |
Поскольку |
|
Zн |
|
|
> zкр, нулевую |
гипотезу |
|||
|
|
отвергаем, т. е. средние размеры изделий различаются значительно.
|
3.2. По двум независимым выборкам объема n = |
8 |
и m = 10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
xi |
|
2,3 |
2,4 |
2,6 |
2,8 |
2,1 |
2,4 |
|
2,5 |
||
ni |
|
2 |
1 |
3 |
2 |
mi |
4 |
5 |
|
|
1 |
проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделии
H0 : M (X )= M (Y ) |
|
при |
конкурирующей |
гипотезе |
||||
H1 : M (X )≠ M (Y ). , |
если |
уровень значимости |
α = 0,1 и |
|||||
случайные величины X, Y распределены нормально. |
|
|||||||
Решение. Найдем выборочные средние |
|
|||||||
x = |
1 |
∑ni xi |
= 1 |
(4,6 +2, 4 +7,8 +5,6)= 2,55, |
|
|||
|
n |
|
|
8 |
|
|
|
|
y = |
1 |
|
∑mi xi = |
1 |
(8, 4 +12,0 +2,5)= 2, 29. |
|
||
m |
|
|
||||||
|
|
10 |
|
|
|
28
При вычислении исправленных дисперсий перейдем к условным вариантам ui =10xi −26,υi =10y −24.
Тогда
|
|
∑niui2 − |
1 ( |
∑niui |
)2 |
|
|
30 |
− 1 |
16 |
|
|
||||||||
s2 |
= |
|
n |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
= 4; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u |
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∑miυi2 − |
|
1 |
|
(∑miυi )2 |
|
|
|
|
37 − |
|
1 |
121 |
||||||
sυ2 |
|
|
m |
|
|
10 |
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 27, 7. |
|||||||
m −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||
Следовательно, sx2 = |
|
s2 |
|
= 0, 4; sy2 = |
|
s2 |
|
= 2,77. |
|
|||||||||||
|
u |
|
|
|
υ |
|
|
|||||||||||||
10 |
|
10 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку исправленные дисперсии различны, а по условию
(2) должны быть одинаковы, то их необходимо сравнить, приняв в качестве конкурирующей гипотезы
H1 : D (X )≠ D (Y ).
Используя критерий Фишера-Снедекора, находим
наблюдаемое значение критерия. |
|
|
|
|
|
||||||
|
F = |
s2 |
0, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
= 0,144. |
|
|
|
|||
|
|
2,77 |
|
|
|
||||||
|
н |
sy2 |
|
|
|
|
|
|
|||
По |
уровню значимости |
α |
= 0,05 |
и |
числам |
степеней |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
свободы |
k1 = n −1 = 7; k2 = m −1 = 9 |
из |
таблицы (6) |
находим |
|||||||
Fкр (0,05;7;9)=3, 29. |
Так |
как |
|
Fн |
< Fкр, |
то допущение о |
равенстве генеральных дисперсий справедливо.
Для сравнения средних по формуле (2) находим наблюдаемое значение критерия
T = |
2,55 −2, 29 |
8 10 16 = 0, 42. |
|
||
н |
7 0, 4 +9 2, 27 |
8 +10 |
|
||
Так как конкурирующая |
гипотеза имеет вид |
H1 : M (X )≠ M (Y ). , то критическая область двусторонняя. По уровню значимости a = 0,1 и числу степеней свободы k =16
29