Учебное пособие 1305
.pdfРешение: ∫cos(2x)dx = 12 sin(2x)+C .
Пример 1.3.3. Найти ∫cos(4x +5)dx .
Решение: ∫cos(4x +5)dx = 14 sin(4x +5)+C .
Пример 1.3.4. Найти ∫6x1+1 dx .
Решение: ∫6x1+1 dx = 16 ln(6x +1)+C .
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле
Одним из основных методов интегрирование является метод замены переменной.
Пусть требуется найти интеграл ∫ f (x)dx , причем непо-
средственно подобрать первообразную для f (x) мы не можем,
но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x =ϕ(t). Тогда dx =ϕ′(t)dt и
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .
Функцию x =ϕ(t) следует выбирать так, чтобы можно
было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства.
В некоторых случаях целесообразнее подбирать замену переменного не в виде x =ϕ(t), а t =ψ(x).
Пусть вычисляется интеграл ∫ψψ′((xx))dx .
Заменяем ту функцию, стоящую под интегралом, производную от которой мы видим под этим же интегралом.
10
Положим ψ(x)= t , |
|
тогда dψ(x)= dt ; |
ψ (x)dx = dt . Под- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
ставляя |
в |
|
|
|
интеграл, |
полу- |
||||||
чим∫ |
ψ ′(x) |
dx = ∫dtt |
= ln |
|
t |
|
+C = ln |
|
ψ(x) |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ψ(x) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.4.1. Найти ∫esin x cos xdx .
Решение: Пусть t = sin x , тогда dt = d sin x ; dt = cos xdx . Тогда
∫esin x |
cos xdx = ∫et dt = et |
+C = esin x +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 1.4.2. Найти |
∫ |
|
|
|
|
x2 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x3 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Пусть t = x3 −5 , тогда dt = d(x3 −5); |
dt = 3x2 dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx = |
|
1 |
|
|
dt . |
Тогда ∫ |
|
|
x2 |
|
dx = |
1 |
∫ |
dt |
= |
1 |
ln |
|
t |
|
= |
1 |
ln |
|
x |
3 |
−5 |
|
+C . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x |
2 |
|
x |
3 |
− |
5 |
3 |
t |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пример 1.4.3. Найти |
∫ |
|
arctg 2 x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение: Пусть t = arctgx , тогда dt = d(arctgx) |
; |
dt = |
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
arctg 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда ∫ |
dx = ∫t |
2 |
dt = t |
3 |
+C = arctg |
3 |
x +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример 1.4.4. Найти |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 x(tg 2 x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Пусть t = tgx , тогда dt = d(tgx); |
dt = |
|
1 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
2 arctg |
|
+C = 2 arctg |
|
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x(tg 2 x + 4) |
t 2 |
+ 4 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 1.4.5. Найти |
∫ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x(ln2 x −9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Пусть t = ln x , тогда dt = d(ln x); dt = |
1 dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dt |
|
1 |
|
t −3 |
|
1 |
|
ln x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
dx = ∫ |
|
= |
|
ln |
|
+C = |
6 ln |
|
ln x +3 |
+C . |
x(ln2 x −9) |
t 2 −9 |
2 3 |
t +3 |
Как отмечалось выше, вид неопределённого интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования, что используется при интегрировании способом введения новой функции под знак дифференциала. В данном варианте метода новая переменная интегрирования не обозначается новым символом, а берется в скобки для наглядности.
Пример 1.4.6. Найти ∫lnxxdx .
Решение:
∫lnxxdx = ∫ln x dxx = ∫(ln x)d(ln x)= (ln2x)2 +C .
Пример 1.4.7. Найти ∫sin x cos xdx .
Решение:
|
1 |
|
3 / 2 |
3 |
|
|
||
∫ |
|
cos xdx = ∫(sin x)2 d(sin x)= |
(sin x) |
+C = 2(sin x) |
2 |
+C |
||
sin x |
||||||||
|
|
|||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
1.5. Правило интегрирования по частям |
|
|
||||
|
Пусть функции u = u(x) и v = v(x) |
имеют непрерывные |
||||||
производные. Тогда d(uv)= vdu +udv . |
|
|
|
|
Интегрируя обе части равенства по x , имеем:
∫d(uv)= ∫vdu +∫udv , uv = ∫vdu + ∫udv или
∫udv = uv − ∫vdu .
12
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла∫udv к вычис-
лению интеграла ∫vdu , которое может оказаться проще исход-
ного.
Интегрирование по частям требует представление подынтегрального выражения в виде произведения множителей u и dv . Существуют три типа интегралов, в которых по разным соображениям происходит выбор множителей u и dv в подынтегральных выражениях.
|
В интегралах |
|
первого |
типа |
∫Pn (x)ekx dx ; ∫Pn (x)akx dx ; |
||||||||||||
∫Pn (x)sin kxdx ; |
∫Pn (x)cos kxdx , где Pn (x)−многочлен n-ой сте- |
||||||||||||||||
пени, |
k −число; в качестве u выбирается многочлен Pn (x), а в |
||||||||||||||||
качестве dv −все остальные сомножители. |
|
|
|
||||||||||||||
Пример |
1.5.1. |
Вычислить |
неопределенный |
интеграл |
|||||||||||||
∫xex dx , используя метод интегрирования по частям. |
|
||||||||||||||||
Решение: |
u = x |
du = dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
|
|
== xex − |
∫ |
ex dx = xex −ex +C. |
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
xex dx = |
|
|
dx |
v = e |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dv = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример |
1.5.2. |
Вычислить |
неопределенный |
интеграл |
|||||||||||||
∫x cos3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
u = x |
|
|
du |
= dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
sin 3x −1 ∫sin 3xdx = |
||||||||
∫x cos3xdx = |
|
|
|
v = |
1 |
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
dv = cos3xdx |
3 |
sin 3x |
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
x |
|
1 cos3x +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
sin 3x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых интегралах приходится несколько раз интегрировать по частям.
13
Пример 1.5.3. Вычислить неопределенный интеграл
∫x2e5x dx .
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u = x |
, |
du = 2xdx |
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
∫x |
2 |
|
5x |
|
|
|
|
5x |
|
∫xe |
5x |
|
||||||||||
|
e |
|
dx = |
5x |
dx, |
v = |
1 |
e |
5x |
|
= |
|
|
e |
|
− |
|
|
dx = |
|||
|
|
5 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dv = e |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, имеем
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x, |
du = dx |
|
|||||||
|
|
|
|
5x |
|
∫xe |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
− |
5 |
|
|
dx = |
dv = e5x dx, v = |
1 e5x |
= |
|||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
e |
5x |
|
2 x |
|
e |
5x |
|
|
1 |
∫e |
5x |
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
5x |
|
2 x |
|
|
|
5x |
|
|
1 |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
e |
|
− |
|
|
|
|
e |
|
|
− |
|
|
|
|
e |
|
|
+C = |
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
x2 |
|
|
e |
5x |
− |
2xe5x |
|
+ |
|
2 |
e |
5x |
+C . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 |
|
|
|
25 |
|
|
|
125 |
|
|
|
|
∫Pn (x)arcsin xdx , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В |
|
|
|
|
|
интегралах |
|
|
второго |
типа |
|
||||||||||||||||||||
∫Pn (x)arccos xdx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫Pn (x)ln xdx , |
|
∫Pn (x)arctgxdx , |
∫Pn (x)arcctgxdx удобно положить dv = Pn (x)dx, а в качестве u выбрать оставшиеся сомножители.
Пример 1.5.4. Вычислить неопределенный интеграл
∫x4 ln xdx .
Решение:
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
u = ln x, du = |
|
x |
|
|
|
||
∫x |
4 |
ln xdx = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
x |
5 |
|
|||
|
|
|
dv = x |
|
dx, v = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
x5 |
ln x − ∫ |
x5 |
dx |
= |
5 |
|
|||
5 |
x |
|
= |
x5 |
ln x − 1 ∫x4 dx = |
x5 |
|
ln x − |
x5 |
+C . |
|
|
|
|
||||||
5 |
5 |
5 |
|
25 |
|
|||
В |
интегралах |
третьего |
типа ∫enx sin mxdx ; |
|||||
∫anx sin mxdx ; ∫enx cos mxdx ; |
∫anx cos mxdx в качестве u выби- |
рается enx или anx . После двукратного интегрирования по частям решается уравнение относительно исходного интеграла.
Пример 1.5.5. Вычислить неопределенный интеграл
∫ex sin xdx .
Решение:
∫e |
x |
|
|
u = ex , |
du = ex dx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −e |
cos x + |
|
|
|
||||||
|
sin xdx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dv = sin xdx, v = −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫e |
x |
u = ex , |
du = ex dx |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
= −e |
cos x |
+ e |
sin x − |
||||||||
|
cos xdx = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dv = cos xdx,v = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∫ex sin xdx.
Получили нетривиальный результат - уравнение относительно исходного интеграла. Обозначив его за J , получим уравнение
J = e x (sin x − cos x)− J.
Перенося J в левую часть уравнения, имеем
2J = e x (sin x − cos x).
Окончательно: ∫ex sin xdx = ex (sin x −cos x)+C . 2
15
1.6. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
1. Рассмотрим интеграл I1 |
= |
|
|
dx |
. |
|
∫ax2 |
+bx + c |
|||||
|
|
|
Преобразуем квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе, в сумму или разность квадратов, предварительно выделив из него полный квадрат суммы или разности.
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
b |
|
x + |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ax |
|
|
+bx |
+ c = a x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= a |
x |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
2 |
|
c |
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= a |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, интеграл I1 |
|
принимает вид табличного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграла: |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
I1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ax |
2 +bx + c |
a ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
c |
|
|
|
|
b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.6.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
|
3x + 7 |
|
x |
2 |
+ 2x |
|
3 |
+ |
9 |
− |
9 |
+ 7 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
19 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x |
+ |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
= |
|
|
|
|
|
arctg |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2. |
Рассмотрим интеграл I2 |
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
2 +bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляется также как и интеграл I1 .
Пример 1.6.2.
|
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
7 − x2 −6x |
|
|
−(x2 + 2x 3 +9 −9 −7) |
|
16 −(x +3)2 |
||||||||||||
= arcsin |
x +3 |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Рассмотрим интеграл I3 = |
|
Ax + B |
|
dx . |
|
|
||||||||
|
|
|
∫ax2 +bx + c |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сделаем |
замену |
переменной |
|
ax2 +bx + c = t . Тогда |
||||||||||||||
d(ax2 +bx + c)= dt ; |
(2ax +b)dx = dt . |
Произведем тождествен- |
ное преобразование подынтегральной функции так, чтобы в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числителе получить выражение |
(2ax +b). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
(2ax +b)− |
Ab + B |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|||||||||||||||||||||||||
I3 = |
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
dx . Разобъем по- |
|||||||||||||||
|
∫ax |
2 +bx + c |
∫ |
|
|
|
|
|
|
ax2 +bx + c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
лученный интеграл на сумму двух интегралов. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
(2ax +b)− Ab + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
2ax +b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
dx = |
|
|
∫ |
|
|
|
dx |
+ |
|||||||||||||||||
|
|
|
ax |
2 |
+bx + c |
|
|
|
2a |
ax |
2 |
+bx + c |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ab |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dt |
|
|
|
|
Ab |
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
B |
− |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ B |
− |
|
I1 |
= |
|
||||||||||||
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
t |
2a |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ax |
2 |
+ bx + c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
ln |
ax |
|
|
+bx + c |
+ |
B |
− |
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2a |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.6.3. |
|
|
|
|
(x +8)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить I |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем замену переменной |
|
|
|
x2 |
+ 4x +5 = t ; |
|
d(x2 + 4x +5)= dt ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2x + 4)dx = dt . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +8)dx |
|
|
|
|
|
1 (2x |
|
+ 4)− 2 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(2x |
|
+ 4)dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 4x +5 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ 4x +5 |
|
|
2 |
|
x |
2 |
+ 4x +5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 6∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= 1 ∫dt |
|
+ 6∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
+ 4x +5 |
|
x |
2 |
|
|
|
+ 2x 2 + 4 − 4 +5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 ln |
|
|
|
t |
|
|
|
+ 6∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
1 ln |
|
x2 |
+ |
4x +5 |
|
+ 6arctg(x + 2)+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
2) |
|
+1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
+ B |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
Рассмотрим интеграл |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ax2 +bx |
+ c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляется также как и интеграл I3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.6.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −3)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+8x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Введем |
|
|
|
|
|
замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +8x +10 = t ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d |
(x2 |
+8x +10)= dt ; (2x +8)dx = dt . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −3)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (2x +8)−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(2x +8)dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+8x +10 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+8x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +8x +10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
7∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
1 ∫dt − |
7∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+8x +10 |
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ 2x |
4 +16 −16 +10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 ln |
|
t |
|
−7∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 ln |
|
x2 |
+8x +10 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x + 4) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
−7∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= 1 ln |
|
|
|
|
−7 ln |
|
(x +4)+ |
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+8x +10 |
|
|
(x +4)2 −6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x + 4) |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. Дробно-рациональные функции. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Дробно - рациональная функция или рациональная дробь
R(x)= |
P (x) |
|
a |
|
+ a x + a |
|
x2 |
+... + a |
|
xn |
|
n |
|
= |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
Qm (x) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
b0 +b1x +b2 x2 +... +bm xm |
называется правильной, если степень числителя n меньше степени знаменателя m . Если n ≥ m , то рациональная дробь н а-
зывается неправильной.
Всякую неправильную дробно-рациональную функцию путём деления числителя на знаменатель всегда можно пред-
ставить в виде суммы многочлена N(x) и правильной рацио-
нальной дроби: R(x)= N(x)+ Pk ((x)) (k < m).
Qm x
Пример 1.7.1. Представить неправильную рациональную
дробь |
x3 |
+ 4 |
в виде суммы целой части от деления (мно- |
|
x2 − |
7x +9 |
|||
|
|
гочлена) и правильной рациональной дроби Решение: Разделив числитель на знаменатель, выделим
целую часть:
|
|
|
x3 + 4 |
|
|
|
|
|
x2 − 7x + 9 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x3 −7x2 +9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x + 7 |
− |
|
40x −59 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 7x + 9 |
|
|
|||||
|
|
|
_ 7x |
2 |
−9x + 4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
7x2 |
− 49x + 63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
_ 40x −59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
40x −59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате получим |
|
|
x3 + 4 |
|
= x + 7 |
− |
40x −59 |
. |
|||||||||
|
|
x2 −7x +9 |
|
x2 − 7x + |
9 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.
19