Учебное пособие 1439
.pdf1.3. Несобственный интеграл
Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла. Обобщение проводится в двух направлениях: первое – на случай неограниченного промежутка интегрирования, второе – на случай неограниченной на конечном промежутке функции.
Определение 6. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a ;+∞[и интегрируема на любом отрезке [a ;b] [a ;+∞[.Величина
+∞ |
f (x) dx := lim |
b |
∫ |
∫ f (x) dx , |
|
a |
b→∞ |
a |
|
если предел существует, называется несобственным интегралом от функции f(x) по неограниченному промежутку[a ;+∞ [ (несобственным интегралом пер-
вого рода).
+∞
Символ ∫ f (x) dx также называют несобственным интегралом и в этом
a
случае говорят, что несобственный интеграл сходится, если предел в определении 1 существует, и расходится, если этот предел не существует.
Определение 7. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a: b [ , интегрируема на любом отрезке [a ; b − ε] [a ;b [ (0 < ε < b − a) и неограниченна в левосторонней окрестности точки b. Величина
b |
b−ε |
∫ f (x) d x = lim |
∫ f (x) d x , |
ε →0 |
a |
a |
если предел существует, называется несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a ;b [(несобственным интегралом второго рода).
ω
Если ввести символ ∫ f (x) d x , в котором ω - либо число, либо символ + ∞
a
, то определения 6 и 7 можно объединить в одно.
Определение 8. Пусть [a ; ω [- конечный или бесконечный промежуток, а
функция f(x) определена на |
[a ; ω [ и интегрируема на любом отрезке |
|
[a ; b ] [a ; ω [. Величина |
|
|
ω |
f (x) d x = lim |
b |
∫ |
∫ f (x) d x , |
|
a |
b →ω |
a |
|
если предел существует, называется несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a ; ω [.
Точку ω , обозначающую конечное число или один из символов − ∞, + ∞ , в любой окрестности (быть может, односторонней) которой функция f (x) не
41
интегрируема (в собственном смысле), называют особой точкой функции f (x) .
В определениях 6,7,8 понятие несобственного интеграла введено для случая, когда особая точка является правым концом промежутка. Аналогично может быть определен несобственный интеграл с особой точкой на левом конце промежутка интегрирования.
Из определения 8 свойств определенного интеграла и свойств предела
следует, что для сходящихся интегралов остаются справедливыми основные свойства определенных интегралов: линейность, аддитивность, монотонность, а также правила замены переменной и интегрирования по частям, если все входящие в соответствующие формулы интегралы сходятся.
1.3.1. Вычисление несобственных интегралов
Если функция f (x) интегрируема на любом отрезке [a ; b ] [a ; ω [, где ω
– единственная особая точка промежутка [a ; ω [ и имеет на этом промежутке первообразную F(x) , выражающуюся в элементарных функциях, то справедливо следующее обобщение формулы Ньютона-Лейбница:
ω |
|
ωa |
|
∫ f (x)dx = F (x) |
|
= lim F (x) − F (a) . |
|
|
|||
|
x →ω |
||
a |
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что исследование сходимости и вычисление несобственного интеграла в этом случае сводятся к вопросу существования и вычисления предела элементарной функции.
Еще раз подчеркнем, что несобственные интегралы по бесконечному промежутку и по конечному промежутку от неограниченной функции фактически являются проявлениями одного математического объекта, введенного определением 3. Родственность этих понятий проявляется также в том, что инте-
+∞
грал ∫ f (x) dx с бесконечным пределом всегда может быть подходящей под-
a
становкой приведен к интегралу с конечными пределами либо несобственному,
b
либо собственному и, наоборот, несобственный интеграл ∫ f (x) dx с единствен-
a
ной особой точкой b всегда может быть преобразован в интеграл с бесконеч-
+∞
ным пределом. Например, для интеграла ∫ f (x) dx при a > 0 это можно сделать
a
подстановкой x = 1 (но не только ею одной): t
42
+∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
a |
|
1 |
d t |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ f (x) d x = |
x = |
|
|
|
|
= ∫ f |
|
|
|
|
. |
||||
|
t |
|
t |
2 |
|||||||||||
a |
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
Для интеграла ∫ f (x) d x с особой точкой в качестве такой подстановки
a
можно выбрать x = b − |
1 |
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
1 |
|
|
1 d t |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∫ f (x) d x = |
x = b − |
|
|
|
|
= ∫ |
f b − |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
a |
|
|
t |
|
1 |
|
t t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
b−a
Далее этот факт будет продемонстрирован на конкретных примерах.
Примеры решения задач
Пример 1.33. Вычислить несобственный интеграл
∞ |
x lnx |
|
∫ |
3 d x . |
1 (1 + x2 ) 2
Решение. Можно показать, что этот интеграл сходится. Для его вычисления применим сначала метод интегрирования по частям
∞
x lnx
∫ 3
1 (1+ x 2 ) 2
= − |
|
ln x |
|
|
|
||
1 + x2 |
|||
|
|
d x = |
1 |
|
∞ |
|
d (x 2 |
+1) |
|
|||||
|
|
|
∫ ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
(1+ x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 ) 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
∞ |
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
= − lim |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 1 x |
|
1 + x2 |
x→∞ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
||||
= −∫ ln x d |
|
(1 |
+ x |
2 |
2 |
|
|
= |
|||||||||
|
|
) |
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(lnx)' |
|
∞ |
|
d x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( 1 + x2 )' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 x 1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
1 + x2 |
|
d x |
|
|
dx |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= − lim |
|
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
= − lim |
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
= 0 + ∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
1 x 1 + x |
|
x→∞ |
|
x |
|
|
1 x 1 + x |
|
1 x 1+ x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 |
d x = − |
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
; |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
t |
|
t 2 |
= ∫ |
|
|
|
|
= ln |
t + 1 + t 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 + t |
2 |
||||||||||||||
|
x = 1 a t = 1; x = ∞ a t = 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln (1 + 2 ).
Здесь было учтено, что подстановка вместо аргумента функции символа ∞ означает выполнение предельного перехода при x → ∞ .
∞ |
|
d x |
|
|
, n N . |
|
Пример 1.34. Вычислить ∫ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
(1 |
+ x |
2 |
) |
n |
||
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
Решение. Отметим, что для первообразной от подынтегральной функции имеется известная рекуррентная формула. Однако здесь будет приведен другой способ вычисления этого интеграла.
∞ |
|
|
|
|
|
|
x = ctg t; |
d x = − |
dt |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
sin |
2 t |
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
|
= |
|
π |
|
= −∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
(1 |
+ x |
2 |
) |
n |
|
|
|
|
(1 |
+ ctg |
2 |
t) |
n |
sin |
2 |
|
|||||
0 |
|
|
|
x = 0 a t = |
|
|
= 0 |
π |
|
|
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
, x = ∞ a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
(2n − 3)!! |
π . |
|
2 |
|||
= ∫sin 2n−2 t dt = |
|||
|
|||
0 |
(2n − 2)!! 2 |
||
|
|
Здесь мы воспользовались вычисленным ранее значением интеграла
π
2
∫sin 2n−2 t dt .
0
Заметим, что в этом примере вычисление несобственного интеграла было сведено к вычислению обычного (собственного) определенного интеграла.
Прежде чем приводить другие примеры, отметим, что при вычислении несобственных интегралов с бесконечными пределами и их преобразовании
очень часто применяется подстановка x = 1 . t
Пример 1.35. Показать, что " n ³ 2 |
|
(n Î N ) справедливо равенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
d x |
|
|
∞ |
|
|
x |
n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 + x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 + x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
||
Используя это равенство, вычислить интеграл |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ x |
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
= |
|
x = |
1 |
; dx = − |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
0 |
|
|
d t |
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 + xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
x = 0 a t = ∞; x = ∞ → t = 0 |
|
∞ |
1 + |
|
|
|
t |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
t |
n−2 |
|
|
∞ |
|
|
|
x |
n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
t n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
dt = ∫ |
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 + t |
n |
1 + x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим теперь интеграл ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x |
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
, отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 + x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x = 2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
6 |
1 + x |
6 |
|
1 + x |
6 |
1 + x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
|
d x |
|
|
= |
1 |
∞ |
1 + x 4 |
d x = |
1 |
|
∞ |
|
(1 + x 4 − x2 ) + x 2 |
d x = |
1 |
∞ |
|
|
|
d x |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
+ x |
6 |
2 |
1 |
+ x |
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + (x |
2 |
) |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
+ x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+ |
1 |
|
|
|
x 2 d x |
|
|
|
= = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0∞ |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
= |
|
1 π |
+ |
|
1 π |
= |
π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg (x3 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ (x |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 2 6 2 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 1.36. Вычислить |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1 |
+ x |
n |
)(1 + x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 |
; dx = − |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(1 + xn )(1 + x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 a t = ∞; x = ∞ → t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
t n dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
(1 + t |
|
n |
)(1 + t |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t n |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(1 + x n ) d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(1 + x |
|
n |
)(1 + t |
2 |
) |
|
(1 + x |
n |
)(1 + t |
2 |
) |
|
(1 + x |
n |
)(1 + x |
2 |
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и не зависит от параметра n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(1 |
+ x |
n |
)(1 + x |
2 |
) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что к этому интегралу приводится определенный интеграл
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
∫ |
|
|
|
(замена tg x = t ). |
|
|
|
|
|
||
1 |
+ (tg x) |
n |
|||
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Пример 1.37. Вычислить сходящийся несобственный интеграл
∞ |
|
|
ln x |
|
|
∫ |
|
|
|
|
d x . |
1 |
+ x |
2 |
|||
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
Решение. В этом случае подынтегральная функция имеет две особые точки. Пользуясь свойством аддитивности, представим исходный интеграл в виде
суммы двух интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln x |
|
d x = 1 |
|
ln x |
d x + |
|
|
|
|
ln x |
|
|
d x = |
|
|
x = |
|
, d x = − |
|
, |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
1 + x2 |
∫ |
1 + x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1 a t = 1; x = ∞ a t = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
ln x |
|
|
1 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
dt |
1 |
|
ln x |
|
|
1 |
ln t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= ∫ |
|
|
|
d x + ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
dx − ∫ |
|
|
dt = 0 . |
|
|||||||
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
t |
2 |
|
+ x |
2 |
1+ t |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
d x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При решении также получено равенство
∞ |
|
|
ln x |
1 |
|
|
ln x |
|
||
∫ |
|
|
|
|
d x = −∫ |
|
|
|
|
d x. |
1 |
+ x |
2 |
1 |
+ x |
2 |
|||||
1 |
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.37. Допускает некоторые обобщения, которые предлагается сделать в следующем упражнении.
Упражнение 1. Доказать, что если приведенные ниже интегралы сходятся, то все они равны нулю. Проанализировать, что происходит с подынтеграль-
ными выражениями в каждом из этих интегралов при замене x = 1 . t
∞ |
− p ) |
|
ln |
2n−1 |
x |
|
||
а) ∫ f (x p + x |
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
x |
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− p ) |
ln |
2n |
x |
|
|
|
|
в) ∫ f (x p + x |
|
d x . |
||||||
|
|
|
x
0
Здесь p > 0, n N.
Интегралы вида
∞ |
|
ln |
2n−1 |
|
|
|
|
||||
б) ∫ |
f (x p + x − p ) |
|
|
x |
d x . |
||||||
|
1 + x |
2 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
f (x p + x− p ) |
x ln |
2n-1 |
x |
|
||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
d x . |
|||||
(1 + x |
2 |
|
|
2 |
|||||||
0 |
|
|
|
) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∞ |
f (α x) − f (β x ) |
|
∫ |
|
d x , |
|
||
0 |
x |
|
|
|
называемые интегралами Фруллани, также имеют две особые точки. Для этих интегралов имеют место следующие утверждения.
46
Утверждение 1. Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям
1)lim f (x) = f (+0) ,
x→ + 0
|
+∞ |
f (x) |
|
|
2) "a >0 |
$ ∫ |
d x, |
||
|
||||
|
a |
x |
||
|
|
|
тогда α > 0, β > 0 справедливо равенство
+∞ |
f (a x) - f (bx) |
d x = f (+0) ln b . |
|
∫ |
|||
x |
|||
0 |
a |
||
|
|
Утверждение 2. Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям
1) lim |
f (x) = A, |
|||
x → + ∞ |
|
|
|
|
|
a |
f (x) |
|
|
2) " a > 0 |
$ ∫ |
d x, |
||
|
||||
|
0 |
x |
||
|
|
|
тогда α > 0, β> 0 справедливо равенство
+ ∞ |
f (a x) - f (b x) |
d x = Aln a . |
|
∫ |
|||
x |
|||
0 |
b |
||
|
|
Упражнение 2. Доказать утверждения 1,2.
Упражнение 3. Используя утверждения 1,2, найти значения интегралов
∞ |
arctg a x - arctg bx |
|
|
|||||
∫ |
d x, |
a > 0, b > 0. |
||||||
|
|
|||||||
0 |
|
|
x |
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
sin a x × sin b x |
d x, a > 0, |
b> 0, a ¹b. |
|||||
|
||||||||
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
∫ xα−1 |
- xβ−1 |
d x, a > 0, b> 0. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ln x
0
π
2
Пример 1.38. Вычислить ∫ ln (sin x) d x ( интеграл Эйлера ).
0
Это несобственный интеграл от неограниченной в точке x = 0 функции. К нему сводится цепочка интегралов и собственных и несобственных.
π |
π |
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
2 |
2 |
|
x |
x |
2 |
2 |
|
x |
|||
|
|
|
|
||||||||
I = ∫ ln (sin x) d x = ∫ ln 2 sin |
|
cos |
|
d x = ∫ ln 2 d x + ∫ ln sin |
|
d x + |
|||||
|
|
|
|||||||||
0 |
0 |
|
2 |
|
2 |
0 |
0 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
47
π |
|
|
|
π |
π |
π |
2 |
|
x |
4 |
4 |
||
|
|
|
||||
+ ∫ ln cos |
|
d x = |
ln2 |
+ 2∫ ln (sin t) d t + 2 |
∫ ln (cost) d t = |
|
|
||||||
0 |
|
2 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
t = π − y; |
dt = −dy |
|
|
|
||
= |
2 |
|
|
|
t = 0 a y = π , t = π a y = π |
||
|
2 |
4 |
4 |
π
= π ln 2 + 2 |
π |
4 |
|
∫ ln (sin t) d t + |
|
2 |
0 |
|
|
π |
|
2 |
|
π |
|
π |
2 |
π |
+ 2I. |
|
+ 2∫ ln cos |
|
− y dy = |
|
ln 2 + 2 ∫ ln (sin x) dx = |
ln 2 |
|||
π |
|
|
2 |
|
2 |
0 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда I − 2I = π ln 2 и I |
= − π ln 2, то есть |
2 |
2 |
π |
|
2 |
|
∫ ln (sin x) d x = − π ln 2 |
|
0 |
2 |
|
|
Упражнение 4. Показать, |
что либо интегрированием по частям, либо |
подходящей заменой переменной следующие интегралы сводятся к интегралу Эйлера из примера 4.
π
2
1. ∫ ln (cos x) d x .
0
π
3. ∫ x ln (sin x) d x,
0
(замена x = π − t) .
π |
|
π |
|
2 |
x |
2 |
|
5. ∫ |
d x = ∫ x ctg x d x . |
||
tg x |
|||
0 |
0 |
||
|
2.π∫ arcsin x d x .
x
0
1ln x
4.∫ d x ,
0 1 − x 2
( заменаx = sint) .
∞ |
x d x |
, x = ln |
1 |
|
||
6. ∫ |
|
; |
||||
|
|
|
||||
e2 x − 1 |
||||||
0 |
|
|
sint |
Вычисление несобственных интегралов от разрывных функций иногда удается свести к суммированию известных числовых рядов. Типичным для этого случая является интеграл, рассмотренный в следующем примере.
48
1
Пример 1.39. Вычислить ∫sign (sin (ln x)) d x .
0
Решение. Это несобственный интеграл от неограниченной функции. Подходящей заменой переменной его можно привести к интегралу с бесконечным пределом интегрирования.
1 |
|
|
|
ln x = −t; x = e−t ; d x = −e−t dt |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫sign (sin (ln x)) d x = |
x = 0 a t = +∞, x = 1 a t = 0 |
= − ∫sign (sin t) e−t dt = |
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
(2n+1) π |
−t |
|
|
∞ |
(2n+2) π |
−t |
|
∞ |
|
−t |
|
(2n+2) |
|
|
−t |
|
(2n+2) π |
||||
= − ∑ |
∫ e |
dt |
+ ∑ |
∫ (−e |
) dt |
|
|
− e |
|
|||||||||||||
|
|
= ∑ e |
|
|
2nπ |
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
2nπ |
|
|
|
n=0 (2n+1) π |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n+1) π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑∞ (e−(2n+1) n − e−2nπ − e−(2n+2) π + e−(2n+1) π )= ∑∞ (e−nπ 2e−π −1 − e−2π )= |
||||||||||||||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= −(1 − e−π )2 ∑∞ |
e−2nπ = −(1 − e−π )2 |
|
1 |
|
|
= − |
1 − e−π |
= −th π . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
1 − e−2π |
|
|
1 + e−π |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
−2nπ была использована формула суммы |
||||||||||||||
При вычислении суммы ряда ∑e |
n=0
бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать равенство
∞ |
x |
|
a |
d x |
∞ |
|||
∫ |
+ |
= ln a ∫ |
||||||
f |
|
|
ln x |
|
||||
|
|
x |
||||||
0 |
a |
|
x |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
a d x |
||||
f |
|
+ |
|
|
|
(a > 0) |
|
|
|
||||
a |
|
x |
x |
впредположении, что входящие в него интегралы сходятся.
2.Доказать равенство
∞ |
|
|
b |
2 |
|
1 |
∞ |
|
2 |
|
|
|
f |
|
d x = |
|
|
|
|||||
∫ |
ax − |
|
|
|
|
∫ |
f (x |
|
) d x (a > 0, b > 0) |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
в предположении, что интеграл справа сходится.
49
3. Пусть функция |
f (x) непрерывна на всей числовой оси и интеграл |
|||||||||||||
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x) d x сходится. Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ |
f x − |
|
|
d x = ∫ f (x) d x . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
x |
|
−∞ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Доказать равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
b |
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f ( x |
2 |
+ 4ab )d x (a > 0, b > 0) , |
|||||||||||
∫ |
f ax + |
|
d x |
= |
|
|
∫ |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
x |
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предполагая, что интеграл слева сходится.
5. Вычислить
+∫∞(e−dx − e−βx )2 |
d |
x |
, α > 0,β > 0 . |
x |
2 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
1
6. ∫ x ln x d x .
0 (1− x2 )3
2
|
∞ |
|
d x |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
|
|
|
ln x + |
|
|
. |
|
∫1 |
+ x 2 |
|
|
||||||
|
|
|
x |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
d x |
|
|
|
|
|
8. ∫ |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
||||||
x + 2002x |
2002 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
50