Учебное пособие 1441
.pdf
|
|
cos t |
= |
x |
|
; sin t = |
|
1 |
x2 |
|
|
|
(21) |
|||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя (21) в формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(cos( + )=cos cos -sin sin ), получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
= cos t cos -sin t sin = |
x |
|
cos -sin |
1 |
x2 |
2 ; |
||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|||
|
|
|
y |
- |
|
x |
|
cos = -sinα |
1 |
x2 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
b |
|
a |
a2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или, возводя в квадрат и преобразуя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
+ |
y2 |
-2 |
xy |
cos = sin2 |
|
|
(22) |
|||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть уравнение траектории. В общем случае – это эллипс, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей Х и У. Ориентация эллипса зависит от амплитуд a и b и разности фаз . Найдем траектории в некоторых частных случаях:
1.Разность фаз = 0, тогда |
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
-2 |
xy |
= 0; |
или ( |
x |
- |
y |
)2 = 0 |
|
a2 |
|
b2 |
|
ab |
|
a b |
||||
Откуда следует, что y = bx/a для |x| a. |
|||||||||||
Точка колеблется |
по отрезку прямой (рис.6.), причем, ее |
расстояние от начала координат О равно =x2 y2 .
9
Подставляя значения х и у, получим:
|
x |
|
|
|
|
|
|
r |
|
a2 b2 |
r |
a2 b2 . |
|||
|
|||||||
|
a |
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, результирующее движение является гармоническим колебанием с частотой и амплитудой a2 b2 .
|
|
|
2.При = из уравнения (22) получим: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
-2 |
xy |
cos( ) |
= sin2( ), или |
x2 |
+ |
y2 |
-2 |
xy |
= 0 , |
||||||||
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
ab |
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|
ab |
||||
|
|
x |
|
y 2 |
|
|
b |
|
|
|
|||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. Отсюда имеем |
y |
|
|
x, |
|х| ≤ a (см. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
a |
|
|
|
рис.7.). И в этом случае точка колеблется по отрезку прямой. 3. При = /2 уравнение траектории точки при-
нимает вид |
x2 |
|
y2 |
1. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Это означает, что точка при своем движении описывает эллипс.
Когда = /2 материальная точка вращается по эллипсу по ходу часовых стрелок, а при = - /2 - в противоположном направле-
нии. Стрелками указаны направления движения точки по эллипсу (рис.8.).
1.6. Затухающие колебания
Рассмотрим колебания механической системы в условиях действия сил сопротивления. Как показывает опыт, в первом приближении сила сопротивления пропорциональна скорости колеблющейся частицы.
10
Тогда закон движения частицы запишется в виде:
mx =-kx– rx , (23)
где r – коэффициент сопротивления; k – коэффициент упругости, характеризующий возвращающую силу.
Уравнение (23) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
||
|
|
|
x |
+ 2βx + 0²x = 0, |
|
||||||||
где β = r/2m –коэффициент затухания; 0 = |
k |
|
- собствен- |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||
ная частота колебаний системы. Решение уравнения (24) |
|||||||||||||
имеет вид |
|
|
x = A0 e- βt cos( t + α), |
|
|
|
|||||||
|
|
|
(25) |
||||||||||
где = |
0 |
2 2 - частота затухающих колебаний. |
|||||||||||
График функции (25) показан на рис.9. |
Амплитуда за- |
||||||||||||
тухающих колебаний убывает по закону |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
А = А0e- βt |
(26) |
|||||||
Период затухающих колебаний равен |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Т = |
|
|
2 |
(27) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
где 0=km .
Сростом коэффициента затухания
βпериод затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при кри-
тическом коэффициенте затухания βкр =0. При β βкр процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения
равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис.10).
Основные характеристики затухающих колебаний:
11
1) время релаксации - время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз:
|
A e |
e |
(28) |
0 |
|||
|
A0 e t |
||
отсюда = 1/β; |
|
|
|
2) логарифмический декремент затухания λ, |
представ- |
ляет натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.
ln |
A t |
T |
T |
|
1 |
, |
(29) |
|
A t T |
|
|
N |
где N – число колебаний, совершаемых за время релаксации; T-период колебаний.
3) добротность колебательной системы
Q 2 |
E |
|
|
, |
(30) |
E |
|
||||
|
|
|
|
где Е – энергия системы в момент времени t; ∆Е – убыль энергии за следующий период колебаний.
1.7. Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учетом вынуждающей силы закон движения материальной точки запишется в виде
m x = -kx – rx + F0 cos t. (31)
После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания.
|
|
+ 0²x = ƒ0 cos t , |
(32) |
x |
+ 2βx |
где ƒ0 = F0/m.
Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
12
Общее решение однородного уравнения имеет вид
x1 = A0 e-βtcos( t + α) , |
(33) |
где = 02 2 , А0 и α – произвольные постоянные.
Эти колебания достаточно быстро затухают, и вынужденные колебания будут определяться частным решением
x2 = A cos( t – φ). (34)
Здесь А - амплитуда установившихся вынужденных колебаний. Она равна:
A |
|
|
|
f0 |
|
(35) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
02 2 2 4 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
Величина |
2 |
|
|
|
||||
arctg |
|
(36) |
||||||
|
2 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
характеризует отставание вынужденных колебаний системы от колебаний вынуждающей силы.
Слагаемое (33) играет значительную роль на начальной стадии процесса установления колебаний. График вынужденных колебаний представлен на
рис.11.
В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, амплитуда и начальная фаза которых определяются
выражениями (35) и (36).
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.
Чтобы определить резонансную частоту, нужно найти максимум функции (35) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференциро-
13
вав это выражение по и приравняв производную нулю, |
по- |
лучим условие, определяющее рез: |
|
-4( 0²- 2) +8 β² =0 |
(37) |
Уравнение (37) имеет три решения: =0 и рез = 02 2 2 Решение, равное нулю, соответствует статическому состоянию системы, отрицательное не имеет смысла и отбрасывается. Таким образом, для резонансной частоты получаем одно значение
рез = |
0 |
2 2 2 . |
(38) |
Амплитуда колебаний при резонансе равна
Aрез |
|
f0 |
|
(39) |
||
|
|
|
|
|||
2 |
0 |
2 2 |
||||
|
|
|
Резонансные кривые при различных значениях коэффициента затухания представлены на рис.12. Чем меньше β, тем выше и правее лежит резонансный максимум и ближе резонансная частота к собственной частоте колебаний.
Если → 0, то все резонансные кривые приходят к одному и тому же зна-
чению ƒ0/ 0², так называемому стати-
ческому отклонению (смещению). Исполь-
зуя выражения для ƒ0
и 0, получаем x0 = F0/k, т.е. смещение системы под действием силы F0.
Резонансная амплитуда связана с добротностью Q колебательной системы следующим соотношением:
14
А |
рез |
|
Qf0 |
Qx |
0 |
, |
(40) |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
т.е. амплитуда колебаний при резонансе в Q раз больше статического смещения. Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонанс.
1.8.Примеры решения задач
1.Построить график гармонического колебания
x = A cos ( t + ).
Приравнивая аргумент функции нулю, определяем момент времени t1: t1 + = 0. Отсюда t1 = - / .
Строим график функции x = A cos t , сдвигая его влево по оси времени на t1 = - / .
Аналогично строится функция x = A cos ( t - ). В этом случае график функции x = A cos t сдвигается вправо по оси на t1 = / . Полученные графики показаны на рисунке
2. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки amax = 0.493 м/с2, период колебаний Т = 2 с и смещение точки от положе-
ния равновесия в начальный момент времени х0 =0.025 м.
Дано: amax = 0.493 м/с2, Т = 2 с, х0 =0.025 м.
Найти: A, ω, .
Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид x = A Sin(ωt + ). Чтобы записать уравнение необходимо
15
определить все величины, входящие в формулу. Зная период, находим циклическую частоту ω = 2 / Т, ω = 1/c. Для определения амплитуды выразим ускорение колеблющейся точки a = d2t/dx2 = - A ω2 Sin(ωt + ). Тогда amax =A ω2, отку-
да можно найти амплитуду A = amax / ω2 = 0.05 м. Для определения начальной фазы используем смещение в момент времени t = 0: х0 = A Sin . Отсюда = arcsin (х0/ A) = arcsin (1/ 2) = /6. Подставляя рассчитанные значения, получаем ответ:
x = 0.05 Sin( t + /6 ) (м).
3. Найти уравнение траектории точки, если она движется по закону: , . Изобразить примерный вид этой траектории.
Решение. Из уравнений двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний видно, что координаты точки удовлетворяют условиям
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1). |
|
|
|
Представим параметрическую форму |
||||||
|
задания траектории |
точки |
в |
виде |
|||||
|
|
|
. Для исключения параметра t |
||||||
|
поступим следующим образом. Из выраже- |
||||||||
|
ния для координаты х имеем |
|
|
. |
|||||
|
Выражение для координаты представим в |
||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
y a(1 |
2x2 |
|
|
y=a(Cos ωt – Sin |
|
ωt a(1- 2Sin |
|
ωt), или |
|
) |
(2) |
||
|
|
a2 |
С учетом условий (1) уравнение (2) определяет дугу параболы (см. рисунок), вдоль которой осуществляется периодическое движение точки.
16
4. Тонкое кольцо радиуса R совершает малые колебания относительно оси О. Найти их период.
Решение. Данную систему рассматриваем как один из примеров физического маятника, период малых колебаний которого вычисляется по формуле .
Ось О колебаний перпендикулярна плоскости кольца. В этом случае момент инерции кольца относительно оси О и расстояние до центра масс соответственно равны: Период малых колебаний
.
5. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0.01. Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; 2) число полных колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.
Дано: = 50 Гц, = 0.01, A0/ А = 20.
Найти: t, N.
Решение. Амплитуда затухающих колебаний А =
A0 e t , где A0 – амплитуда колебаний в момент t = 0; - коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания = Т (Т = 1/ - период колебаний, - частота). Тогда
= и амплитуду можно записать в виде A = A0 e t , отку-
да искомое время t = |
ln(A0 |
/ A) |
|
|
|
и число полных колебаний |
|
|
|
||
|
|
|
N = t/T =t . Вычисляя, получаем: 1) t = 6 с; 2) N = 300.
17
2.УПРУГИЕ ВОЛНЫ
2.1.Основные понятия. Уравнение волны
Волной называется процесс распространения колебаний
внепрерывной среде. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется
фронтом волны.
Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Поверхность, являющаяся геометрическим местом точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.
Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, в поперечных – эти направления перпендикулярны.
Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие деформации растяжения и сжатия, поперечные – в средах, в которых возможны упругие деформации сдвига. Т.е. продольные волны могут возникать
влюбой среде (газ, жидкость, твердое тело), поперечные – только в твердых телах.
График зависимости смещения частиц среды от расстояния х до источника колебаний для фиксированного момента времени представлен на рис. 13.
Минимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны.
18