Учебное пособие 1622
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 0 |
|
|
|
|
|
5 |
0 2 |
|
|||
a) f (A) A2 |
3A 5E , |
A |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
5 1 |
|
||||||||||||
, f (A) 1 |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 3 |
|
|
|
|
2 |
2 5 |
|||||
b) f (A) A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||||
5A 3E , |
A 3 |
3 |
, |
f (A) 0 |
0 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить AB BA, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 2 |
1 |
|
|
4 |
|
1 1 |
|
|
|
|
10 4 |
7 |
|
||||||||||
a) A |
|
|
|
|
,B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
, AB BA |
6 14 |
4 |
; |
||||||||||||||||
2 1 |
2 |
4 |
2 0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 5 |
|
|
|
|
|||
|
1 2 |
3 |
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
2 1 |
|
0 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|||||||
a) A |
|
|
|
|
|
B |
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 1 |
|
2 , |
|
; AB BA 0 |
0 0 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
1 |
|
|
3 5 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|||||||||||
5. Вычислить произведение трех матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
1 1 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 2 3 |
|
|
|
, |
|
|
|
5 |
5 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 2 |
1 2 |
3 1 1 |
2 1 |
|
1 |
9 |
15 |
|
|
||||||||||||||
b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
0 1 |
2 |
1 1 |
|
0 |
0 |
1 2 , |
|
5 5 |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
1 |
2 1 3 |
1 1 |
12 26 |
32 |
|
20
5 0 |
2 |
3 |
|
6 |
|
|
56 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
1 |
5 |
|
|
|
; |
|
|
|
c) 4 |
3 |
|
7 |
|
69 . |
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
4 |
|
|
17 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
Найти обратную матрицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
а) A |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 24 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 1 |
6 |
|
A |
|
|
|
18 |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 24 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11 |
3 |
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b) A |
|
|
4 2 |
|
1 |
|
, |
|
A |
|
|
|
|
|
17 21 |
11 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c) A |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 0 |
1 |
|
|
|
A |
|
|
1 |
|
|
0 0 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
7. |
Решить матричные уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
6 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
8 |
23 |
|
|
|
|
|
|
||||||
а) 2 |
1 |
X 1 |
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
X |
|
16 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 25 |
25 |
|||||||||||
b) |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
, |
X |
|
|
|
|
2 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
1 |
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
70 26 |
|
||||||||||
|
1 2 |
|
3 |
|
1 |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
6 4 |
|
5 |
|
|
|
||||||||||
c) |
|
3 2 |
|
4 X |
10 |
2 7 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
X 2 1 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
|
0 |
|
10 |
7 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
3 0 |
|
1 2 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d) X |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
5 |
9 0 , |
4 5 |
6 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 15 |
0 |
|
7 8 |
9 |
|||||||||||||
|
|
8. |
|
Решить системы уравнений. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2x 3y z 7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y 3z 3, |
||||||||||||||
a) |
x 4y 2z 1, |
|
|
|
|
|
|
( 1,1, 2); |
b) |
3x y 5z 0, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4y 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y z 3. |
||||||||||
( 1,1, 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2y 3z 1, |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
x y 5z 1, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
c) |
3x 2y z 1, |
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
; |
d) x y 3z 3, |
( 1,1, 2). |
||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2x 3y z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y 3z 3. |
|
|
|||||||||||
|
|
9. Решить системы уравнений. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
5x1 x2 2x3 x4 7, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a) 2x1 x2 4x3 2x4 1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 3x |
2 |
6x |
3 |
5x |
4 |
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x1 2x2 3x3 4x4 4, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
x3 x4 |
3, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
b) |
|
|
|
|
( 8,3 x4,6 x4,x4); |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x1 3x2 |
|
|
3x4 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
7x2 |
3x3 |
x4 3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2x1 x2 x3 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
c) |
x |
3x |
|
x |
|
5, |
|
|
|
|
|
|
|
(1,2, 2); |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
x |
|
2 |
|
|
3 |
7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
5x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x |
|
3x |
2 |
3x |
3 |
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
x1 2x2 x3 x4 1, |
|
|||||||
d) x1 |
2x2 |
x3 |
x4 |
1, |
(x1,x2, x1 2x2,1). |
|||
x |
2x |
2 |
x |
3 |
5x |
4 |
5. |
|
1 |
|
|
|
|
|
10. Найти решения однородных систем.
3x 2y z 0,
a)2x 5y 3z 0,
3x 4y 2z 0. (0,0,0);
x y 2z 0,
c)2x 2y 4z 0,
5x 5y 10z 0.
(y 2z, y,z) ;
2x 3y z 0,
b)x y z 0,3x 2y 3z 0.
(t ( 4, 1,5), t R);
2x1 4x2 5x3 3x4 0, d) 3x1 6x2 4x3 2x4 0,
4x1 8x2 17x3 11x4 0.
|
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
5 |
|
|
|
|
x ,x |
|
, |
|
x |
5x |
|
, |
|
x 7 |
|
x |
|
. |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
2 |
1 |
|
2 |
|
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Литература: [1, гл.7, §§ 44-47; гл.8, §§ 48-52; гл. 9, §§ 53, 54; гл. 10, §§ 55-58], [3, гл. 2, § 1-3].
Вектором называется направленный отрезок.
Если вектор определяется двумя заданными точками - его началом A(x1, y1,z1) и концом B(x2, y2,z2) , то проекции вектора a AB на координатные оси (координаты вектора) оп-
ределяются |
формулами |
ax x2 x1, |
ay |
y2 y1, |
||||||||||
az z2 z1, |
то есть |
a |
ax,ay ,az . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Длина |
вектора |
a |
ax,ay ,az определяется |
формулой |
|||||
|
|
a |
|
|
|
ax2 a2y az2 |
. |
|
23 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекций вектора a на ось l называется скалярная величина, равная произведению его длины на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора
al пр.l a a cos .
Если , , - углы, образованные вектором a с осями прямоугольной системы координат Ox, Oy, Oz , то проекции вектора a на координатные оси равны
ax |
a |
cos , |
ay |
a |
cos , |
az |
a |
cos |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(cos2 cos2 cos2 1). |
|
|
|
|
|
||||||||||
Числа |
cos , cos , cos называются направляющими |
|||||||||||||||||||||
косинусами вектора |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
, |
|
|
|
|
- векторы единичной длины, направленные |
|||||||||||||||
Если i |
|
j, k |
||||||||||||||||||||
по координатным осям Ox, Oy, Oz , то вектор |
a |
|
|
может быть |
||||||||||||||||||
представлен |
|
|
в |
виде |
|
ax,ay,az axi |
ay |
|
|
az |
|
, где |
||||||||||
|
|
a |
|
j |
k |
i, j, k - вектора , составляющие декартовый базис.
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними
a,b a b cos .
Скалярное произведение обладает переместительным и распределительным свойствами
a,b b,a ;
(a b),c a,c b,c .
Если векторы заданы координатами a ax,ay ,az , b bx,by,bz , то их скалярное произведение определяется по формуле
a,b axbx ayby azbz ,
24
а угол между ними соотношением -
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
axbx ayby azbz |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Физический смысл скалярного произведения. Скалярное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
произведение |
векторов |
|
и |
|
|
есть работа постоянной силы |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
a |
), совершенная вдоль прямолинейного перемещения ( |
b |
). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Векторным произведением векторов |
|
и |
|
|
называется |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор |
|
|
|
|
|
|
, определяемый условиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
c |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) |
|
c |
|
a |
|
|
b |
sin , где - угол между векторами |
a |
и |
b |
; |
|||||||||||||||||||||||||
2) |
вектор |
c |
перпендикулярен плоскости, определяемой пе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ремножаемыми векторами |
|
и |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3) |
вектор |
c |
направлен так, что наблюдателю, смотрящему |
из его конца на векторы a и b , видно, что кратчайшее враще-
ние от a к b производится против часовой стрелки (тройка векторов правая).
Геометрический смысл векторного произведения. Модуль
векторного произведения векторов a и b есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящих из одной точки.
Основные свойства векторного произведения:
a b b a ;
(a b) c a c b c .
Если векторы заданы координатами a ax,ay,az , b bx,by,bz , то их векторное произведение определяется по
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
k |
|
||||
|
|
|
ax |
ay |
az |
. |
||||||||
a |
b |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
||||||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Даны векторы a 2;5;7 , b 1; 2;4 . Найти
координаты векторного произведения |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. По формуле вычисления векторного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произведения |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
5 7 |
|
|
|
2 7 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
2 |
5 |
|
7 |
i |
j |
k |
6i j k. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
1 |
4 |
|
1 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
6; 1; 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Смешанным произведением трех векторов |
|
, |
|
и |
|
на- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
b |
c |
зывается их векторно-скалярное произведение a b ,c . Если векторы заданы своими координатами, то их сме-
шанное произведение вычисляется по формуле
|
|
|
|
, |
|
|
ax |
ay |
az |
|
a |
|
b |
c |
bx |
by |
bz |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
Геометрический смысл смешанного произведения. Сме- |
шанное произведение a b ,c равно объему V параллелепи-
педа, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком
«+», если тройка a, b, c - правая, и со знаком «-», если тройка a, b, c - левая. Если же a, b, c компланарны, то a b ,c =0.
Пример. В пространстве даны четыре точки: A(1;1;1),
B (4;4;4), C(3;5;5), D (2;4;7). Найти объем тетраэдра ABCD.
Решение. Объём V тетраэдра ABCD равен одной шестой
объема параллелепипеда, |
|
построенного |
на векторах |
|||||||||||
|
AB |
, |
AC |
, |
AD |
, то есть одной шестой абсолютной величины |
||||||||
смешанного произведения |
|
|
|
|
, |
|
. |
Найдем это сме- |
||||||
AB |
AC |
AD |
шанное произведение. Прежде всего определим координаты
26
векторов |
AB |
, |
|
AC |
, |
AD |
. |
Имеем: |
AB |
3;3;3 , |
AC |
2;4;4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1;3;6 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
AB |
AC |
AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
2 4 |
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
4 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
3 12 3 8 3 2 18. |
|||||||||||||||||||||
|
|
3 6 |
|
|
|
1 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда V = 1 18 = 3. 6
Задачи для самостоятельного решения: [4, №№ 749, 751, 754, 774, 777, 782, 783, 789, 802, 816, 819, 832, 842, 850, 853, 867, 874, 875].
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны точки A(3; 1;2) и B( 1;2;1) . Найти координаты
векторов AB и BA.
2. Определить точку N , с которой совпадает конец вектора a 3; 1;4 , если его начало совпадает с точкой
M(1;2; 3).
3.Определить начало вектора a 2; 3; 1 , если его конец совпадает с точкой (1; 1;2).
|
|
4. |
|
Вычислить направляющие косинусы вектора |
|||
a |
|
3 |
4 |
12 |
|
||
|
|
; |
|
; |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
13 13 |
13 |
|
||||
|
|
5. |
Вектор составляет с осями OX и OY углы 120 и |
450 . Какой угол он составляет с осью OY ?
6.Даны a 13, b 19 и a b 24. Вычислить a b .
27
7. |
|
|
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
образуют |
|
угол |
|
|
|
|
|
|
60 , причем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
5 |
|
|
|
и |
|
b |
|
8. Определить |
|
a |
|
b |
|
и |
|
|
|
a |
|
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Даны векторы |
a |
|
3; 2;6 и |
|
|
|
2;1;0 . Определить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координаты следующих векторов: |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) |
2 |
|
3 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
9. Найти орт вектора |
|
|
a |
6; 2; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
Определить |
|
|
|
модули |
|
суммы и |
разности векторов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
3; 5;8 |
и |
|
|
|
|
|
1;1; 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Векторы |
|
|
|
|
и |
|
|
|
образуют угол |
|
|
; зная, что |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
4, |
|
|
|
вычислить: |
а) |
|
|
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
в) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
b |
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
(3 |
|
|
|
2 |
|
|
),( |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
) ; |
д) |
(3 |
|
|
2 |
|
)2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Даны векторы |
a |
, |
|
b |
|
и |
c |
|
, удовлетворяющие условию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
=0. |
Зная, |
|
|
что |
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
4, |
вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
c |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
b |
c |
c |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
образуют |
угол |
|
|
|
|
|
; |
зная, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
b |
1, |
вычислить |
угол |
|
|
|
между |
векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p a b и q a b .
14. Даны точки A(1; 2;2) , |
|
B(2; 1;5) и |
C(0;1; 5) . Вы- |
||||||||||||||||||||||
числить: а) (2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
),(2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
в) |
|
2 |
||||||||||
AB |
CB |
BC |
BA |
|
AB |
AC |
|||||||||||||||||||
15. Вычислить работу силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
F |
i |
2j k при перемеще- |
нии материальной точки из положения А( 1;2;0) в положение
С(2;1;3).
28
16.Вычислить косинус угла, образованного векторами a 2; 4; 4 и b 3;2;6 .
17.Даны вершины треугольника A( 1; 2;4), B( 4; 2;0)
и C(3; 2;1). Определить его внутренний угол при верши-
не B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
Найти вектор |
x |
, |
коллинеарный вектору |
|||||||||||||||||
|
i 2 |
|
2 |
k |
, образующий с ортом |
|
|
|
острый угол и имею- |
|||||||||||||
a |
j |
|
j |
|||||||||||||||||||
щий длину |
|
x |
|
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19. |
Найти вектор |
x |
, образующий со всеми тремя базис- |
|||||||||||||||||||
ными ортами равные острые углы, если |
|
x |
|
2 |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
20. Найти координаты вектора x , коллинеарного вектору a 2;1; 1 и удовлетворяющего условию a,x 3.
21. |
|
Вектор |
|
|
x |
|
|
|
перпендикулярен векторам |
a1 2;3; 1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
2 1; 2;3 |
и |
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
(2i |
j k) 6. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти координаты |
x |
. |
|
и |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a |
|
1, |
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
2 |
a |
, |
a |
2 |
. Вычислить: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а) |
|
a |
1 |
a |
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
|
a1 |
a |
2 ) ( |
a1 2 |
a |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (a1 3a2 ) (3a1 a2 ) .
23.a b 5, (a,b) 4. Вычислить площадь треуголь-
ника, построенного на векторах |
|
2 |
|
|
и 3 |
|
2 |
|
. |
||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
||||||||||||||||||||||
24. Заданы векторы |
a1 {3; 1;2} |
|
и |
a |
2 {1;2; 1}. Найти |
||||||||||||||||||||
координаты векторов: а) |
a1 |
a |
2 ; |
б) |
(2 |
a1 |
a |
2 ) |
a |
2 ; |
|||||||||||||||
в) (2 |
a1 |
a |
2 ) (2 |
a1 |
a |
2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Вычислить площадь треугольника с вершинами
A(1;1;1), В(2;3;4) и С(4;3;2).
29