Учебное пособие 1623
.pdfЕсли a есть приближенное значение числа ao , то относительная погрешность δ определяется по формуле
δ = |
ao −a |
. |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, δ = |
|
11,61−11,62 −a |
|
= 0,00086 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
11,62 |
|
|
Принимая приближенное число 11,62 за 100 %, находим, что относительная погрешность в процентах равна 0,007 %.
1.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
10. Частные производные первого порядка от функции многих переменных u = f (x, y,..., t) обычно зависят от тех же
переменных и их можно еще раз дифференцировать. Частными производными второго порядка называются
частные производные от частных производных первого порядка
∂ ∂u |
|
= |
∂2u |
= u′′ |
; |
|||||
|
|
|
∂x |
|
∂x2 |
|||||
|
||||||||||
∂x |
|
|
xx |
|
||||||
∂ |
|
|
∂u |
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
= |
∂ |
= u′′ |
; |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
∂y |
|
|
∂y |
yy |
|
||
∂y |
|
|
|
|
|
∂ ∂u |
∂2u |
′′ |
||
|
|
= |
|
|
|
|
|||
|
∂x∂y |
= uxy ; |
||
∂y |
∂x |
|
∂ |
|
∂u |
|
2 |
u |
|
|
= |
∂ |
= u′′yx ,… |
|||
|
∂y |
∂y∂x |
||||
∂x |
|
|
Смешанные частные производные, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, т.е.
∂2u = ∂2u . ∂x∂y ∂y∂x
Частными производными третьего порядка называются частные производные от частных производных второго порядка
∂ |
|
2 |
u |
|
|
3 |
|
|
∂ |
|
2 |
u |
|
|
3 |
|
|
|
|
∂ |
|
= |
∂ u |
′′′ |
|
∂ |
|
= |
∂ u |
′′′ |
|||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
∂x |
|
∂x |
= uxxx ; |
|
|
|
|
|
∂y |
= uxxy ; |
||||||
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
∂x∂y |
|
∂x |
|
21
∂ |
|
2 |
u |
|
|
3 |
|
∂ |
|
2 |
u |
|
|
3 |
|
|
||
|
∂ |
|
= |
∂ |
u |
′′′ |
|
∂ |
|
= |
∂ u |
|
′′′ |
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
= uxxy ; |
|
|
|
|
|
∂x∂y |
= uxyy ,… |
||||||
∂y |
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂x∂y |
|
|
|
Частные производные других высших порядков определяются аналогично.
20. Дифференциалом второго порядка от функции двух
независимых |
переменных |
|
|
|
u = f (x, y) |
|
|
называется |
|||||||||
дифференциал от ее полного дифференциала |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d(du) = d 2u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d 2u = |
∂2u dx2 + 2 |
|
∂2u |
∂x∂y |
+ ∂2u dy2 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂x2 |
∂x∂y |
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогично определятся дифференциал третьего порядка |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
d(d 2u) = d3u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
∂3u |
|
3 |
|
∂3u |
2 |
|
|
∂3u |
|
2 |
|
∂3u |
3 |
|
||
d u = |
∂x3 dx |
|
+3 |
|
∂x |
∂y +3 |
|
|
∂x∂y |
|
+ |
∂y3 dy |
|
. |
|||
|
∂x2∂y |
∂x∂y2 |
|
|
|
В общем случае для дифференциалов высших порядков справедлива символическая формула
d nu = ∂∂x dx + ∂∂y dy n u ,
где сначала выражение в скобках формально возводится в степень n , а затем при символе ∂n подписывается u .
В многомерном случае u = f (x1, x2 ,..., xn ) имеет место аналогичная символическая формула
|
|
|
|
|
n |
∂ |
n |
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
|
u = |
∑ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dxi u . |
|
|||||||
|
|
|
|
i=1 ∂xi |
|
|
|||||||
5.1. Найти частные производные второго порядка |
|||||||||||||
а) z = ln( x 2 + |
|
|
y 2 ) ; |
б) u = xy + yz + zx . |
|||||||||
Решение. а) Найдем частные производные первого |
|||||||||||||
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z = |
|
2x |
|
, |
∂z |
= |
|
2 y |
|
. |
|||
x2 |
+ y2 |
|
∂y |
|
x2 + y2 |
||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
22
Отсюда вторые частные производные
∂2 z |
= |
|
2(x2 |
+ y2 ) −2x 2x |
= 2 |
|
y2 − x2 |
, |
|
||||||||||
∂x2 |
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂2 z |
= |
2(x2 |
+ y2 ) −4y2 |
= |
2(x2 |
− y2 ) |
, |
|
|
||||||||||
∂y2 |
|
|
(x2 + y2 )2 |
(x2 + y2 )2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂2 z |
|
= − |
|
4xy |
, |
∂2 z |
|
= − |
|
4xy |
|
. |
|||||||
∂y∂x |
(x2 |
+ y2 )2 |
∂x∂y |
(x2 |
+ y2 )2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Последние два выражения наглядно доказывают, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.
б) Находим сначала частные производные первого порядка
∂∂ux = y + z , ∂∂uy = x + z , ∂∂uz = y + x .
Отсюда частные производные второго порядка
∂2u = 0 , ∂2u = 0 , ∂2u = 0 ,
∂x2 ∂y2 ∂z2
5.2. Найти: а) ∂3 z , если
∂x∂y2
б) |
∂3u |
, если u = (xyz)3 . |
|
∂x∂y∂z |
|||
|
|
∂2u |
=1 |
, |
∂2u |
=1 |
, |
∂2u |
=1. |
|
∂x∂y |
∂x∂z |
∂y∂z |
||||||
|
|
|
|
|
z = cos(xy) ;
Решение. а) Поскольку смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования, то последовательно дифференцируя, получим
|
∂z |
= −xsin(xy) ; |
∂2 z |
= −x2 cos(xy) ; |
|
|
∂x |
|
∂y2 |
|
|
∂3 z |
= −(2xcos(xy) − x2 ysin(xy)) = x2 ysin(xy) −2xcos(xy) ; |
||||
∂x∂y2 |
|||||
|
|
|
|
б) Функция от трех независимых переменных. Смешанная производная по переменным будет
23
|
∂u |
= 3(xyz)2 xy = 3x3 y3 z2 , |
|
|
||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
= 9x3 y2 z2 , |
|
|
∂3u |
= 27x2 y2 z2 .\ |
|
|
∂y∂z |
|
|
∂x∂y∂z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
′′′ |
; |
|
′′′ |
|
x2 y |
5.3. Найти: а) zxxy (0;1) |
б) zxyy (0;1) , если z = e . |
Решение. а) Требуется найти значение частной производной третьего порядка в точке (0,1). Находим сначала
частную производную z′y = x2ex2 y ,
|
′′ |
x2 y |
2 x2 y |
|
|
|
|
2 |
2 x2 y |
|
|
||||
|
zxy = 2xe + x e 2xy = 2x(1 + x y)x e , |
|
|
||||||||||||
|
′′′ |
2 |
|
|
|
2 |
x2 y |
|
|
2 |
|
x2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y)e |
|
+ (2 + 6x y)e . |
|
|
|||||
|
zxxy = 4x y(1 + x |
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zxxy (0;1) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
Используя |
результат |
|
предыдущего примера |
′′ |
, |
|||||||||
|
zxy |
||||||||||||||
находим |
′′′ |
|
3 |
x2 y |
|
|
|
|
|
2 |
2 x2 y |
|
|
|
|
= 2x e |
|
+ 2x(1 + x |
|
y)x e . |
Отсюда значение |
||||||||||
zxyy |
|
|
|||||||||||||
производной в точке |
′′′ |
|
(0;1) = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||
zxyy |
|
|
|
|
|
5.4. Показать, что функции удовлетворяют уравнениям:
а) u = Asin λx cos aλt , u = e−cos( at +x) , |
∂2u |
= a2 ∂2u |
; |
||||
|
|
|
|
|
∂t2 |
∂x2 |
|
б) z = exy , z = y |
y |
, |
x2 ∂2 z |
− y2 ∂2 z |
= 0 . |
|
|
|
x |
|
∂x2 |
∂y2 |
|
|
|
Решение. а) Найдем частные производные второго порядка от первой функции
∂∂ut = −Aaλsin λxsin aλt ,
∂∂ux = Aλcos λx cos aλt ,
∂2u ∂t2 ∂2u ∂x2
=−A(aλ)2 sin λx cos aλt ,
=−Aλ2 sin λx cos aλt .
Подставляя вторые производные в уравнение, получим
− Aa2λ2 sin λx cos aλt = −Aa2λ2 sin λx cos aλt ,
что и требовалось доказать.
Найдем теперь частные производные от второй функции
24
∂∂ut = a sin(at + x)e−cos(at +x) ,
∂2u = (a2 cos(at + x) + a2 sin(at + x))e−cos( at +x) ,
∂t2
∂∂ux = sin(at + x)e−cos(at +x) ,
∂2u = (cos(at + x) +sin 2 (at + x))e−cos( at +x) .
∂x2
Подставляя вторые производные в уравнение, получим a2 (cos(at + x) +sin(at + x))e−cos(at+x) =
= a2 (cos(at + x) +sin(at + x))e−cos(at+x)
что и требовалось доказать.
б) Находим вторые частные производные от функции
z = exy , |
∂ |
= yexy , |
∂2 |
z |
= y2exy , |
∂ |
= xexy , |
∂2 z |
= x2exy . |
z |
|
y |
∂y2 |
||||||
|
∂x |
|
∂x2 |
|
∂x |
|
|
Подставляя вторые частные производные в уравнение, получим x2 y2exy − y2 x2exy = 0, что и требовалось проверить.
Найдем вторые частные производные для |
z = y |
y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
∂z |
|
1 |
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
∂2 z |
|
|
3 |
y |
1 |
y |
|
|||||||
|
|
y −2 |
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
= − |
|
y |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
||||
∂x |
2 |
|
|
x2 |
2 |
|
|
∂x2 |
4 |
|
x2 |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 y 2 |
, |
|
= |
3 1 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂y2 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xy)2 |
|
|
|
|
Подставляя вторые частные производные в уравнение, получим
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|||
x |
2 3 |
|
y 2 |
y |
− y |
2 3 |
1 |
= 0 |
, |
3 y 2 |
− |
3 y 2 |
= 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
x2 |
4 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xy)2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
что и требовалось проверить.
25
5.5. Найти: а) d 2 z , еслиz = x ln |
y |
; б) d 2u , если u = exyz ; |
|
x |
|||
в) d3 z , если z = ex sin y . |
|
||
|
|
Решение. а) При нахождении дифференциала второго порядка воспользуемся формулой (1). Для этого найдем частные производные второго порядка
∂z |
= ln |
y |
−1 |
; |
|
∂2 z |
= − |
1 |
; |
|
|
∂ |
2 z |
= |
|
1 |
; |
||||||
∂x |
x |
|
∂x2 |
|
x |
|
∂x∂y |
|
y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂z |
= |
x |
; |
∂2 z |
= − |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂y |
y |
∂y2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, |
d 2 z = − |
dx2 |
+ 2dxdy − |
xdy2 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y2 |
|
|
б) В данном случае функция трех переменных. Пользуясь формулой (4), запишем дифференциал второго порядка
d 2u = |
∂2u dx2 |
+ ∂2u dy2 + |
∂2u dz2 + |
||||||
|
|
∂x2 |
|
∂y2 |
|
∂z2 |
|
||
+2 |
∂2u |
dxdy +2 |
∂2u |
dxdz + |
∂2u |
dydz . |
|||
∂x∂y |
∂x∂z |
∂y∂z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Найдем частные производные второго порядка
∂∂ux = yzexyz , ∂∂uy = xzexyz , ∂∂uz = xyexyz ,
∂2u |
= ( yz) |
2 |
e |
xyz |
, |
∂2u |
= |
(xz) |
2 |
e |
xyz |
, |
∂2u |
= |
(xy) |
2 |
e |
xyz |
, |
||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
∂z2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂2u |
= (z |
+ xyz |
2 |
)e |
xyz |
, |
∂2u |
|
= ( y + xy |
2 |
z)e |
xyz |
, |
|
|||||||||||||||
|
∂x∂y |
|
|
∂x∂z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
= (x + x2 yz)exyz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда имеем
d 2u = exyz ((yzdx)2 +(xzdy)2 +(xydz)2 +
26
+(z + xyz2 )dxdy+( y + xy2 z)dxdz +(x + x2 yz)dydz) .
в) Воспользуемся формулой (2). Найдем частные производные третьего порядка
|
|
∂z |
= ex sin y , |
∂z |
= ex cos y , ∂2 z = ex sin y , |
|||||||
|
|
∂x |
|
|||||||||
|
|
|
|
∂y |
∂x2 |
|
||||||
|
∂2 z |
|
= ex cos y , |
∂2 z |
= −ex sin y , |
∂3 z |
= ex sin y , |
|||||
|
∂x∂y |
∂y2 |
∂x3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
∂3 z |
|
= ex cos y , |
|
∂3 z |
= −ex sin y , |
∂3 z |
= −ex cos y . |
|||||
∂x2∂y |
∂x∂y2 |
∂y3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
Окончательно получим
d3z = ex sin ydx3 +3ex cos ydx2dy −3ex sin ydxdy2 −
−ex cos ydy3 = ex (sin ydx3 +3cos ydx2dy −3dinydxdy2 −cos ydy3 ) .
1.6. Дифференцирование сложных функций
10. Функция вида z = f (u,υ,..., w) называется сложной функцией от независимых переменных x, y,...,t , если она
задана посредством промежуточных аргументов: u = u(x, y,...,t) , υ =υ(x, y,...,t) , … , w = w(x, y,...,t) .
Частная производная сложной функции по независимой переменной равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные от этих аргументов по независимой переменной
∂∂xz = ∂∂uz ∂∂ux + ∂∂υz ∂∂υx +... + ∂∂wz ∂∂wx ;
∂∂yz = ∂∂uz ∂∂uy + ∂∂υz ∂∂υy +... + ∂∂wz ∂∂wy ;
……………………..
∂∂zt = ∂∂uz ∂∂ut + ∂∂υz ∂∂υt +... + ∂∂wz ∂∂wt .
27
Если все промежуточные аргументы будут функциями
только одной |
независимой переменной u = u(x) , υ =υ(x) , |
w = w(x) , то z |
будет функцией только x и производная такой |
сложной функции называется полной производной
∂∂xz = ∂∂uz dudx + ∂∂υz ddxυ +... + ∂∂wz dwdx .
Если функция z вида z = f (x,u,υ,..., w) , где u,υ,..., w -
функции только x , то полная производная определятся по формуле
|
dz |
= |
∂z |
+ |
∂z du |
+ |
∂z dυ |
+... + |
∂z |
|
dw |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
∂x |
∂u dx |
∂υ dx |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∂w dx |
|||||||||||
20. Если |
функция z = f (u,υ,..., w) |
|
|
сложная, то |
дифференциал первого порядка сохраняет свой вид (свойство инвариантности формы первого дифференциала) и находится по формуле
dz = ∂∂uz du + ∂∂υz dυ +... + ∂∂wz dw .
Дифференциал 2-го порядка от сложной функции находится по формуле
|
2 |
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
2 |
|
d |
|
z = |
|
∂u + |
|
∂υ +... + |
|
∂w z + |
|
|
∂u |
∂υ |
∂w |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
.
6.1. Найти производные сложных функций:
а) z = u2 +υ2 , u = cos x , υ = sin x ; б) z = x3 ln y , x = 2u +3υ , y = υu ; в) u = xyz , x = ln t , y =1+t2 , z = sin t ;
г) z = x ln u sinυ , u = cos x , υ = x2 −1.
Решение. а) Поскольку промежуточные аргументы u,υ являются функциями только одной независимой переменной
28
x , |
то |
производную |
находим |
по |
формуле |
(2) |
||
dz |
= − |
u |
sin x + |
υ |
cos x = −cos xsin x +sin x cos x = 0 . |
|||
dx |
u2 +υ2 |
|
u2 +υ2 |
|
|
|
б) Промежуточные аргументы x, y являются функциями двух независимых аргументов u,υ . В этом случае формулы (1)
примут вид
∂∂uz = ∂∂xz ∂∂ux + ∂∂yz ∂∂uy ;
∂∂υz = ∂∂xz ∂∂υx + ∂∂yz ∂∂υy .
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂z |
= 3x2 ln y 2 |
+ |
|
x3 |
1 = 6(2u +3υ)2 ln |
u |
+ |
(2u +3υ)3 |
; |
|
||||||||||||
|
|
∂u |
|
|
|
|
u |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y υ |
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂z |
|
|
3x |
2 |
ln y 3 |
|
|
x3 |
|
1 |
= 9(2u +3υ) |
2 |
ln |
u |
|
+ |
(2u +3υ)3 |
||||||
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
∂υ |
|
|
|
y |
υ2 |
|
υ |
|
u |
|
в) Функция u зависит от трех промежуточных аргументов, которые в свою очередь зависят только от одной независимой переменной, поэтому по формуле (2)
dudt = yz 1t + xz2t + xy cos t = 1 +t t 2 sin t + 2t ln t sin t + (1 + t 2 ) ln t cos t .
г) Здесь независимая переменная x явно входит в выражение функции, поэтому воспользуемся формулой (3)
dxdz = ln u sinυ + ux sinυ(−sin x) + x ln u cosυ 2x =
= lncos x sin(x2 −1) −sin(x2 −1) +2x2 lncos x cos(x2 −1) .
6.2. Найти dz и d 2 z , если z = f (u,υ) , u = sin(xy) ,
υ = ln xy .
Решение. При нахождении дифференциала 1-го порядка воспользуемся формулой (4), где
29
|
|
du = |
∂u dx + ∂u dy = y cos( xy)dx + x cos( xy)dy ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dυ = |
|
∂υ |
dx + |
|
∂υ |
dy = dx |
− dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ dx |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dz = |
f |
u |
( y cos(xy)dx + xcos(xy)dy) + |
f |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При вычислении дифференциала 2-го порядка по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (5) найдем сначала d 2u и d 2υ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d 2u = |
|
∂2u dx2 |
+ 2 |
|
|
∂2u |
|
|
dxdy + |
|
∂2u dy2 = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= −y2 sin(xy)dx2 −2xysin(xy)dxdy − x2 sin(xy)dy2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
∂2υ |
|
|
2 |
|
|
|
∂2υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2υ |
|
2 |
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
dy2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
d υ = |
∂x2 |
dx |
|
+ |
2 |
|
dxdy |
+ |
∂y2 |
dy |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
d 2 z = fuu′′( y cos( xy)dx + x cos( xy)dy)2 + 2 fu′υ′ ( y cos( xy)dx + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
− |
dy |
|
′′ |
dx |
− |
dy |
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ x cos(xy)dy) |
x |
y |
|
+ fυυ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
2 |
|
|
dx |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
− |
|
|
′ |
sin( xy)( ydx + xdy) |
2 |
|
|
′′ |
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
fu |
|
|
+ fυ |
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= f ′′ cos2 (xy)( ydx + xdy)2 + f ′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||
cos(xy)( ydx + xdy) dx − dy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
uu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uυ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
2 |
|
|
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
+ f ′′ |
|
dx |
− |
|
− f |
′sin( xy)( ydx + xdy)2 + |
f |
′ |
|
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
υυ |
|
|
|
y |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30