Учебное пособие 1664
.pdfМинистерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания и контрольные задания к типовому расчету № 3 по курсу математики для студентов 1-го курса
Воронеж 2010
УДК 517
ББК 22161.я7
Составители В.С. Муштенко Л.В. Стенюхин В.К. Евченко
Неопределенный и определенный интегралы: метод. указания и контрольные задания к типовому расчету № 3 по курсу математики для студ. 1-го курса / Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т; сост.: В.С. Муштенко, Л.В. Стенюхин, В.К. Евченко – Воронеж, 2010. – 48 с.
Методические указания содержат краткие сведения по интегральному исчислению и рекомендации по решению задач, входящих в расчетнографические задания.
Приведены 25 вариантов заданий.
Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей. Библиогр.: 4 назв.
УДК 517
ББК 22161.я7
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.
Рецензент – А.М.Дементьева, к.ф.-м.н., доц. кафедры высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
ВВЕДЕНИЕ
Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении тем «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Несобственные интегралы», «Приложения определенных интегралов». В каждом разделе приводятся необходимые формулы, определения и образцы решения задач.
Методические указания содержат 25 вариантов, содержащих необходимый для выполнения типового расчета набор примеров и задач. Выполнение студентами типового расчета контролируется преподавателем. Типовой расчет выполняется в отдельной тетради, с четкими чертежами и рисунками, с кратким описанием решения задач и примеров.
Типовой расчет состоит из 9 задач:
Первая задача: найти неопределенные интегралы. Вторая задача: вычислить определенные интегралы.
Третья задача: вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Четвертая задача: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовой системе координат. Фигуру изобразить на чертеже.
Пятая задача: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат или в параметрической форме. Фигуру изобразить на чертеже.
Шестая задача: вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, лежащей в плоскость XOY и ограниченной заданными линиями, вокруг оси (ось указана в задании). Фигуру изобразить на чертеже.
Седьмая задача: вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в декартовой системе координат.
Восьмая задача: вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат или в параметрической форме.
Девятая задача: решить задачу на физические или механические приложения определенного интеграла.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл |
|
Функцию F(x) называют первообразной для функции |
f (x) , если |
′ |
|
F (x) = f (x) . |
|
Неопределенным интегралом ∫ f (x)dx от функции f (x) |
называется |
множество всех первообразных функции f (x) , то есть |
|
∫ f (x)dx = F(x) +C ,
где F(x) - некоторая первообразная функции f (x) , а C - произвольная постоянная. Функцию f (x) называют подынтегральной функцией, а f (x)dx -
подынтегральным выражением.
1.2. Таблица неопределенных интегралов
Из формул дифференцирования основных элементарных функций можно получить таблицу неопределенных интегралов:
1. |
∫dx = x +C . |
|
|
|||||||||
|
|
α |
|
|
|
|
xα+1 |
|||||
2. ∫ x dx = |
|
|
|
|
+C, α ≠ −1. |
|||||||
α +1 |
||||||||||||
3. |
∫ dx = ln |
|
x |
|
+C . |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
||||
4. |
∫a |
x |
dx = |
|
|
|
+C . |
|||||
|
|
ln a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5.∫exdx = ex +C .
6.∫cos xdx =sin x +C .
7.∫sin xdx = −cos x +C .
8.∫ cosdx2 x = tg x +C .
9.∫ sindx2 x = −ctg x +C .
10.∫ x2 dx+a2 = a1arctg ax +C , a = const .
11.∫ x2 dx−a2 = 21a ln xx +−aa +C , a = const .
12. |
∫ |
dx |
=arcsin x |
+C , a = const . |
|
|
|
a2 |
− x2 |
a |
|
13. |
∫ |
dx |
=ln x + x2 +k +C , k = const . |
||
|
|
x2 |
+k |
|
|
4
1.3. Свойства неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1.(∫ f (x)dx)′ = f (x) .
2.d (∫ f (x)dx)= f (x)dx .
3.∫dF(x) = F(x) +C .
4.∫kf (x)dx = k ∫ f (x)dx , k = const .
5.∫(f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .
Пример 1.1. Найти интеграл ∫(2 cos x +3x2 − x +4x +5)dx .
Решение. Применяя свойства (4) - (5) и формулы (6), (2), (1), получим цепочку равенств
∫(2 cos x +3x2 − x +4x +5)dx =
1
= 2∫cos xdx +3∫ x2dx − ∫ x2 dx +4∫ xdx +5∫dx =
|
x3 |
|
|
|
|
x |
1 |
+1 |
|
|
|
|
x2 |
|
||||
= 2sin x +3 |
− |
|
|
2 |
|
+4 |
|
+5x +C = |
||||||||||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 2sin x + x |
3 |
− |
2x |
2 |
|
|
+ |
2x |
2 |
+5x +C. |
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем свойство (1) неопределенного интеграла для проверки:
|
|
|
|
3 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
2sin x + x3 |
− |
|
|
+2x2 +5x +C |
= |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 cos x +3x2 − 23 23 x12 +2 2x +5 =
=2 cos x +3x2 − x +4x +5.
Мы получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл найден правильно.
5
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
а) x =ϕ(t) , где ϕ(t) - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t . Формула замены переменной в этом случае имеет вид
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt ;
б) u =ψ(x) , где u - новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (ϕ(x))ϕ (x)dx = ∫ f (u)du . |
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 1.2. Найти интеграл ∫ |
1 +3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Сделаем подстановку 1 +3x , то есть x = |
t −1 |
, |
dx = dt |
. Тогда |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
в силу а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1+3xdx = ∫t |
dt |
= 1 |
|
t |
2 |
|
+C = |
2 |
(1+3x)3 |
+C . |
|
|||||
∫ |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
||||||||||||
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.3. Найти интеграл ∫esin x cos x dx .
Решение. Сделаем подстановку t =sin x , dt = cos xdx . Тогда в силу б)
∫esin x cos xdx = ∫et dt = et +C = esin x +C .
1.5.Интегрированием по частям
Интегрированием по частям называется отыскание интеграла по фор-
муле
∫u dv = uv − ∫v du ,
где u = u(x) , v = v(x) - непрерывно дифференцируемые функции.
6
С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫u dv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо подобен ему.
Для интегралов вида ∫P(x)eαxdx , ∫P(x)sinαx dx , ∫P(x) cosαx dx ,где P(x) - многочлен, за u следует принять P(x) , а за dv - соответственно вы-
ражения eαxdx , |
sinαx dx , cosαx dx . Для интегралов вида ∫P(x) ln x dx , |
∫P(x) arcsin x dx , |
∫P(x) arccos x dx , ∫P(x)arctg x dx , ∫P(x)arcctg x dx за u |
принимаются соответственно ln x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x , а за dv - выражения P(x)dx .
Пример 1.4. Найти интеграл ∫ x cos x dx .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
u = x;du = dx;
∫ x cos x dx = dv = cos x dx;v = ∫dv = ∫cos x dx = sin x +C = = x sin x − ∫sin x dx = x sin x +cos x +C.
Пример 1.5. Найти интеграл ∫ x2 ln x dx .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ln x;du = dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x |
2 |
ln x dx = |
|
|
|
|
x |
|
x |
3 |
|
= |
|
||||||
|
dv = x2dx;v = ∫dv = ∫ x2dx = |
+C |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
= |
x3 |
ln x − ∫ |
x3 |
dx |
= |
x3 |
ln x − 1 ∫ x2dx = |
x3 |
|
ln x − |
x3 |
+C. |
|||||||
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
x |
|
3 |
|
|
|
9 |
|
1.6.Для интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен
взнаменателе
Для интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе, необходимо выделить полный квадрат по формуле
|
2 |
|
b |
2 |
b2 −4ac |
||
ax |
|
+bx +c = a x + |
|
|
− |
4a2 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
2a |
|
|
Затем ввести новую переменную t = x + 2ba ; x = t − 2ba ; dx = dt и попы-
таться свести полученный интеграл к табличным интегралам (10)-(13).
7
Пример 1.6. Найти интеграл ∫ |
|
3x +5 |
|
dx . |
|
x2 |
−4x +13 |
||||
|
|
||||
Решение. Выделим полный квадрат: |
|
||||
x2 −4x +13 = (x −2)2 +9 . |
∫ |
|
3x +5 |
|
dx = ∫ |
|
|
3x +5 |
dx = |
|
t = x −2; x = t +2; |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
2 −4x +13 |
(x −2)2 +9 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ∫ |
3(t +2) +5 dt = ∫ |
3t +11 dt = |
3∫ |
|
|
t |
dt +11∫ |
|
|
1 |
|
dt = |
||||||||||||
t |
|
+9 |
t |
|
+ |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
t |
2 |
+9 |
|
|
t |
2 |
+9 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
=23 ∫ t22+t 9 dt +113 arctg 3t +C = 23 ln t2 +9 +113 arctg 3t +C =
=23 ln x2 −4x +13 +113 arctg x −3 2 +C.
1.7.Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь QP((xx)) , где P(x) и Q(x) - мно-
гочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x) ; в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими дробями называются правильные дроби вида:
1. |
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
A |
|
, где k - целое число, больше единицы. |
|
|
|||||
|
(x − a)k |
|
|
||||||||
3. |
|
Ax + B |
, где квадратный трехчлен x2 |
+ px + q не имеет действи- |
|||||||
|
x2 + px + q |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тельных корней. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
Ax + B |
|
, где квадратный трехчлен |
x |
2 |
+ px |
+ q |
не имеет дейст- |
||
|
(x2 + px + q)n |
|
|||||||||
вительных корней, где n - целое число, больше единицы. |
|
p , q - действи- |
|||||||||
Во всех четырех случаях предполагается, что A , B , a , |
тельные числа.
Интегралы от простейших дробей первых трех типов соответственно равны:
8
1. ∫ |
A |
dx = Aln |
|
x − a |
|
+C . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x − a |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ∫ |
A |
|
dx = |
|
|
A |
1 |
|
+C . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(x −a)k |
1 −k |
(x −a)k−1 |
|
|
|||||||||||
3. ∫ |
Ax + B |
dx = |
2 |
arctg |
2x + p |
+C . |
|||||||||
|
x2 + px + q |
|
|
|
|
4q − p2 |
|
|
4q − p2 |
|
Интегрирование рациональной дроби следует проводить по следующей схеме:
а) если дробь неправильная, необходимо выделить целую часть, то есть представить в виде
QP((xx)) = H (x) + QR((xx)) ,
где H (x) - многочлен, QR((xx)) - правильная рациональная дробь;
б) если дробь правильная, разложить знаменатель на линейные и квадратичные сомножители
Q(x) = (x −a)k ...(x2 + px + q)m ... ,
где квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней;
в) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
|
R(x) |
|
A1 |
|
|
A2 |
Ak |
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
+... + |
|
|
|
+... + |
|
|
Q(x) |
x −a |
(x −a)2 |
(x −a)k |
|
|||||||||
+ |
B1 x +C1 |
+ |
B2 x +C2 |
+... + |
|
Bm x +Cm |
+..., |
|||||||
x2 + px + q |
(x2 + px + q)2 |
|
(x2 + px + q)m |
|||||||||||
где Ai , Bi , |
Ci - неизвестные коэффициенты, которые можно найти, приведя |
последнее равенство к общему знаменателю, а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.
В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.
9
Пример 1.7. Найти интеграл ∫ |
x5 |
− x +4 |
|
dx . |
|
|
|
||||||||||||
|
x |
4 |
−1 |
|
|
|
|||||||||||||
Решение. Выделим целую часть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x5 − x +4 |
|
= x + |
|
4 |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
x4 −1 |
|
|
|
x4 −1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Правильную дробь разложим по формуле |
|
|
|
||||||||||||||||
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
Cx + D |
|||||
|
|
= |
|
= |
|
+ |
|
|
+ (x2 +1). |
||||||||||
|
x4 −1 |
(x −1)(x +1)(x2 +1) |
(x −1) |
(x +1) |
После приведения правой части к общему знаменателю, приравняв числители, получим
4 = A(x +1)( x2 +1) + B(x −1)( x2 +1) +(Cx + D)(x −1)( x +1),
4 = 4 = A(x3 + x2 +1) + B(x3 − x2 + x −1) +C(x3 − x) + D(x2 −1),
4 = ( A + B +C)x3 +( A − B + D)x2 +( A + B −C)x +( A − B − D).
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях x в левой и правой частях, имеем систему уравнений
A + B +C = 0,A − B + D = 0,A + B −C = 0,A − B − D = 4.
Решая эту систему, получим A =1, B = −1, C = 0 , D = −2 . Таким обра-
зом,
∫ |
x5 |
− x +4 |
dx = ∫ |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
x + |
|
− |
|
− (x2 +1) dx = |
|||
|
x4 −1 |
(x −1) |
(x +1) |
=x2 +ln x −1 −ln x +1 −2arctgx +C. 2
1.8.Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы вида ∫R(sin x,cos x)dx , где R - рациональная функция,
можно свести к интегралам от рациональной функции одной переменной с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки:
10