Учебное пособие 1719
.pdfназывается правильной, если стeпень многочлена Pn x меньше степени многочлена Qm x . В противном случае рациональная
дробь считается неправильной.
Неправильная дробно-рациональная функция интегрируется после выделения целой части N x и формирования
правильной рациональной дроби как слагаемого, в числителе которой находится остаток от деления:
R x N x Pk x k m .
Qm x
Пример 1.7. Преобразовать неправильную рациональную
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x3 |
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дробь |
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к сумме многочлена и правильной рациональной |
x 2 |
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1 |
дроби.
Решение. Разделим уголком числитель на знаменатель:
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x3 |
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x2 1 |
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x3 x |
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x |
. |
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x |
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x3 |
x |
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x |
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В результате получим |
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. |
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x 2 1 |
x 2 |
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1 |
Интегрирование многочлена как целой части от деления не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильныx рациональных дробeй.
Среди правильных рациональных дробей можно выделить четыре типа дробей, называемых простейшими:
1) |
A |
; 2) |
A |
; 3) |
Ax B |
; 4) |
Ax B |
, |
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x a |
x a k |
x2 px q |
x2 px q k |
где A, B, p, q — действительные числа, а трёхчлен x 2 px q
имеет отрицательный дискриминант, т. е. p 2 q 0 .
4
10
Простейшие дроби интегрируются несложным образом:
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A |
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d x a |
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1. |
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dx A |
A ln |
x a |
C . |
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x |
a |
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x a |
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2. |
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A |
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dx A |
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x a k d x a |
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A |
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C . |
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x a k |
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(k 1)(x a) k 1 |
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3. |
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Ax B |
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dx |
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Ax B |
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dx |
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x2 px q |
x2 |
px |
p |
2 |
q |
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p 2 |
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4 |
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4 |
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p |
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Ax B d x |
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2 |
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. |
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p |
2 |
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p |
2 |
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q |
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x |
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2 |
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4 |
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Произведем |
|
замену |
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переменной |
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t x |
|
p |
|
, |
|
dt dx и |
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2 |
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обозначим положительную постоянную величину |
q |
p 2 |
2 . |
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4 |
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В результате получим |
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p |
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Ax B |
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A t |
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B |
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tdt |
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Ap |
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dt |
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2 |
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dx |
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dt A |
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B |
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t2 2 |
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t2 |
2 |
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2 |
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x2 px q |
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2 |
t2 |
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A |
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d t 2 |
|
2 |
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Ap |
1 |
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t |
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A |
ln t |
2 |
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2 |
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B |
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arctg |
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t |
2 2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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Ap |
1 |
|
t |
|
A |
|
2 |
|
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B |
|
|
|
arctg |
|
C |
|
ln x |
|
px q B |
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||||||
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2 |
|
|
2 |
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|
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|
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|
x |
p |
|
Ap |
1 |
|
|
|
||
|
2 |
C. |
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|
arctg |
|||
|
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||||
2 |
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4. Простейшие дроби четвертого типа интегрируются с помощью рекуррентных соотношений и в данном пособии не рассматриваются.
11
1.6. Разложение правильной дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей
Теоремы алгебры говорят о том, что всякий многочлен может быть единственным способом разложен на множители
Q x x x1 k x x2 l ... x 2 p1x q1 S x 2 p2 x q2 P ...,
где x1 — действительный корень кратности k, x2 —
действительный корень кратности l и т. д., множители вида |
||||||||
x 2 p x q |
|
не |
связаны |
с |
действительными |
корнями, |
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
соответствующие |
им |
дискриминанты |
отрицательны. |
|||||
Дальнейшее |
|
разложение на |
множители |
для |
выражений |
|||
x 2 p x q |
не производится. |
|
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||||
1 |
1 |
|
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|
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь
знаменатель которой разложен на множитeли
Q x x x1 k x x2 l ... x2 p1x q1 S x 2 p2 x q2 p ...,
можно единственным образом прeдставить в виде следующей суммы простейших дробей:
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P x |
A1 |
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A2 |
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Ak |
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|||||||||
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... |
|
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|
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|
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|
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|
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||||||||
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Q x |
x x1 |
x x1 2 |
x x1 |
k |
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||||||||||||||||||||
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B1 |
|
|
|
B2 |
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Bl |
|
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|||||||
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|
... |
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|
|
... |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x x2 |
|
x x2 |
2 |
|
x x2 l |
|
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||||||||||||||||||
|
M1x N1 |
|
|
|
|
M 2 x N 2 |
|
|
... |
|
M S N S |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 2 p1x q1 |
x 2 p1x q1 2 |
x 2 p1x q1 |
S |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
P1x Q1 |
|
|
|
|
P2 x Q2 |
|
|
... |
|
|
PP QP |
|
|
..., |
|||||||||||||||
x 2 p2 x q2 |
x 2 |
p2 x q2 |
2 |
|
x 2 |
p2 x q2 |
P |
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
12 |
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|
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где A1, A2 ,...,Q p — коэффициенты, находящиеся методом
неопредeленных коэффициентов.
Согласно методу неопределенных коэффициентов предыдущее тождество приводится к общему знаменателю. Тождественность многочленов числителей левой и правой частей возможно при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x слева и справа, из чего и получается система уравнений относительно искомых чисел A1, A2 , B1 …
и т. д.
Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, равно кратности соответствующего корня.
x 2 2x 3
Пример 1.8. Найти интеграл (x 1)(x 2 6x 10) dx .
Решение. Учитывая, что знаменатель имеет однократный действительный (простой) корень x1 1, а также множитель
(x2 6x 10) с отрицательным дискриминантом, имеем
x 2 2x 3 |
|
A |
|
|
|
Bx C |
|
A(x 2 6x 10) Bx(x 1) C(x 1) |
. |
|||
(x 1)(x 2 |
|
x |
|
x 2 |
|
|
(x 1)(x 2 |
|
||||
6x 10) |
|
1 |
6x 10 |
|
6x 10) |
|
Приравняем числители:
A(x2 6x 10) B(x2 x) C(x 1) x2 2x 3 .
x 2 |
A B 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
x1 |
6A B C 2 |
B 1 A, C 3 A, A 1 A 3 A 2 . |
|||||
x |
0 |
10A C 3 |
|
|
|||
|
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A |
6 |
, B |
1 |
, C 9. |
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||||||
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||||
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5 |
|
5 |
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13 |
Подставим найденные коэффициенты в разложение рациональной функции:
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6 |
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x |
9 |
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1 |
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5 |
|
|
5 |
|
|
||||
|
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. |
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(x 1)(x 2 |
6x 10) |
x 1 |
x 2 6x 10 |
Окончательно получим:
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x2 2x 3 |
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x |
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9 |
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( |
x |
9)dx |
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6 dx |
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6 |
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|
|
dx |
|
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5 |
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dx |
ln |
x 1 |
|
5 |
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(x 1)(x2 6x 10) |
|
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5 x |
1 |
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x2 6x 10 |
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5 |
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x2 6x 9 1 |
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1 |
x |
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3 |
3 |
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6 |
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9 dx |
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|
ln |
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x 1 |
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5 |
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5 |
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5 |
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x 3 2 1 |
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x 3 |
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42 |
|
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|||||||||
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6 |
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|
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dx |
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dx |
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|
ln |
|
x 1 |
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5 |
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5 |
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5 |
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x 3 2 1 |
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|
x 3 2 1 |
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6 |
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1 |
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|
d |
(x 3)2 |
|
1 |
42 |
|
arctg x 3 |
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ln |
|
x 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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10 |
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x 3 2 1 |
5 |
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6 |
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1 |
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ln x 2 |
3x 10 |
42 |
arctg x 3 C . |
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|
ln |
|
x 1 |
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5 |
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10 |
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5 |
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1.7. Интегрирование тригонометрических выражений |
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Рассмотрим |
неопределенный |
интеграл R cos x, sin x dx , |
где R sin x, cos x являeтся рациональной функцией переменных
sin x и cos x .
Для нахождения подобных неопределенных интегралов может быть использована универсальная подстановка tg 2x t ,
сводящая задачу к вычислению интегралов от дробно-
14
рациональной функции относительно t. Поскольку из тригонометрии известно, что
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x |
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x |
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|
x |
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||||||||||
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2 sin |
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cos |
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2tg |
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2t |
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sin x |
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2 |
2 |
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|
2 |
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|
, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin |
2 x |
|
cos |
2 x |
1 tg |
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2 x |
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1 t 2 |
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2 |
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|
2 |
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|
2 |
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cos |
2 x |
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sin |
2 x |
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1 tg |
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2 x |
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1 t 2 |
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cos x |
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2 |
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2 |
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|
2 |
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, |
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sin |
2 x |
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cos |
2 x |
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1 tg |
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2 x |
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1 t 2 |
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2 |
|
2 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
то происходит рационализация исходного интеграла |
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R cos x, sin x dx |
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x 2arctgt |
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1 t |
2 |
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2t |
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|
dt |
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dx |
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2dt |
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2 |
R |
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, |
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. |
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1 t |
2 |
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1 t |
2 |
1 t |
2 |
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t |
2 |
1 |
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Пример 1.9. Найти интеграл |
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dx |
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. |
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3 sin x cos x |
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dx |
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x 2arctgt |
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Решение: |
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2dt |
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dx |
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3 sin x cos x |
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1 t 2 |
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1 t 2 |
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t |
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t |
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2dt |
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dt |
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d t |
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d t |
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2t 2 2t 4 |
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t 2 t 2 |
t 2 t |
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1 |
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2 |
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t |
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x |
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2 |
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2t 1 |
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2 |
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arctg |
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C |
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|
arctg |
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C . |
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7 |
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7 |
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7 |
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7 |
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Поскольку метод универсальной замены громоздкий, рассматриваются альтернативные варианты замены
переменной, возникающие при наличии особых свойств подынтегральной функции, связанных со свойствами четности и нечетности.
Если функция R sin x, cos x нечётна относитeльно sin x , т. е. выполняется равенство R cos x, sin x R cos x,sin x , то подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию с помощью замены t cos x .
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sin x ( cos x 1) |
dx |
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Пример 1.10. Проинтегрировать sin 2 x cos x 1 . |
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Решение: |
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sin x ( cos x 1) |
dx |
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t cos x, |
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t 1 |
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dt |
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t 1 |
dt |
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1 |
t 2 |
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t 2 t 2 |
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sin 2 x cos x 1 |
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dt sin x dx |
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t 1 |
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t 1 |
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dt |
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dt |
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ln |
t 2 |
C ln |
cos x 2 |
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C . |
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(t 2)(t 1) |
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t |
2 |
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Подстановка |
sin x t |
рационализирует |
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неопределенный |
||||||||||||||||||||||
интеграл при |
наличии нечётности |
относительно |
cos x |
для |
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функции R sin x, cos x . |
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Если подынтегральная функция не изменяется при |
||||||||||||||||||||||||||
одновременном |
|
изменении знака |
у |
sin x |
|
и |
|
|
cos x , |
т. е. |
||||||||||||||||||
R cos x, sin x R cos x, sin x , |
тогда |
с помощью |
замены |
|||||||||||||||||||||||||
tgx t подынтегральная |
функция |
преобразуется |
в |
рацио- |
нальную функцию относительно переменной t . В этом случае
sin x |
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tgx |
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t |
|
, cos x |
1 |
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1 |
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, |
|||
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1 tg 2 x |
1 t 2 |
1 tg 2 x |
1 t 2 |
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x arctgt, |
dx |
dt |
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. |
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t 2 1 |
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16 |
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Пример 1.11. Найти неопрeделенный интеграл
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2 3x |
4 sin 3x cos3x 5 cos2 |
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sin |
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3x |
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Решение: |
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tg3x t |
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dt |
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sin 2 3x 4 sin 3x cos3x 5 cos2 3xdx |
3dx |
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t |
2 |
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dt |
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t 2 1 |
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1 |
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dt |
1 |
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dt |
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3 |
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t 2 |
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4t |
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3 |
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t 2 4t 5 |
3 |
(t 2)2 9 |
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t 2 1 |
t 2 1 |
t 2 1 |
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1 |
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d (t 2) |
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1 |
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t 2 3 |
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1 |
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tg3x 1 |
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C. |
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ln |
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C |
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ln |
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3 |
(t 2)2 9 |
3 |
6 |
t 2 3 |
18 |
tg3x 5 |
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Интегралы |
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вида |
sin 2n x cos2m x dx |
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вычисляются |
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с помощью тригономeтрических формул понижeния стeпени |
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cos2 x |
1 cos 2x |
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, sin |
2 x |
1 cos 2x |
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2 |
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2 |
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Пример 1.12. Проинтегрировать (sin 4 2x 2)dx. |
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Решение: |
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1 cos4x 2 |
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1 |
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9 2 cos4x cos2 4x dx |
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(sin 4 2x 2)dx |
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2 dx |
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2 |
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4 |
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||||
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1 |
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1 cos8x |
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1 |
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19 |
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cos8x |
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9 |
2 cos4x |
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dx |
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2 cos4x |
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dx |
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4 |
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2 |
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4 |
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2 |
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2 |
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19x |
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sin 4x |
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1 |
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sin 8x C. |
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2 |
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8 |
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64 |
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17 |
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1.8. Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование иррациональных выражений сопряжено с целым рядом сложностей и в некоторых простейших случаях
возможно в элементарных функциях. |
R x, m |
|
|
|
|
,...dx |
|
|
, n |
|
|||
Вычисление интегралов вида |
x a |
x a |
||||
производится с помощью замены x a tW , |
где W является |
|||||
наименьшим общим кратным чисел |
m, n,.... |
Данная замена |
позволяет перейти к интегрированию дробно-рациональной функции.
|
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Пример 1.13. Проинтегрировать |
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dx |
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. |
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x 3 2 3 |
x |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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Решение: |
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t 3 |
8 8 |
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||||||||||||||
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|
|
|
|
|
dx |
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|
|
|
x 3 t 6 |
|
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|
6t |
5 dt |
|
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6 |
t |
3dt |
|
|
6 |
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
dx 6t 5 dt |
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|
|
|
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|
2 |
|
t 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 3 2 3 |
|
x 3 |
|
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|
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t 3 2t 2 |
|
|
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|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
t 3 |
|
2 |
|
|
|
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|
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||||||
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||||||||||||||
6 t |
|
|
2t |
4 dt |
8 |
|
|
|
6 |
|
|
t |
|
|
4t 8 ln |
t 2 |
|
|
C |
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
t 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
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|
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|||
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|
2 |
x 3 |
63 |
x 3 |
24 6 |
x 3 |
48ln |
6 |
x 3 |
2 |
C . |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ax b |
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|
ax b |
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Вычисление интегралов |
R |
|
x; |
m |
; |
n |
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;... dx |
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cx |
d |
|
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cx d |
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||||||||||||
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|
||||||
осуществляется |
|
с помощью дробно-линейной |
подстановки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ax b |
|
tW |
|
, где |
|
|
W |
является |
|
наименьшим |
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|
|
общим |
|
|
кратным |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cx d |
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чисел m, n,....
Тогда
dx t dt
dtW , x |
tW d b |
t , |
|
|
|
a ctW |
|
|
|||
|
|
|
|||
Wt W 1d a ctW tW d b cWt W 1 |
dt. |
||||
a ctW 2 |
|
|
|
||
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|
||
18 |
|
|
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|
|
|
|
Поскольку |
t |
является рациональной функцией, то и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
является |
|
|
|
рациональной функцией. В результате |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получается интеграл от рационального выражения: |
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Пример 1.14. Найти интеграл |
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(1 t 2 ) |
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Разложение рациональной дроби позволяет получить |
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интегрируемые слагаемые: |
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(t 2 1)(t 2 1) |
t 2 1 |
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1 t 2 |
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В итоге имеем |
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