Учебное пособие 1758
.pdf2 |
|
|
|
|
|
|
! |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
(arcsin(x / 2)) |
|
|
|
|
(arcsin(x/ 2))' |
|
|
|
|
|
(x / 2)' |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (x / 2)2 |
||||||||
2 |
|
|
1 |
1 |
(x)' |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 (x / 2)2 2 |
1 (x / 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом шаг за шагом преобразуется только то, что стоит в скобках со штрихом. То есть под знаком производной. Все осталь-
ное просто переписывается. |
|
|
||||
|
Находим |
|
производную |
первого |
слагаемого |
|
|
|
x |
! |
|
|
|
|
3(2cos( x) sin( |
|
)) . Так как последнее действие есть умноже- |
|||
4 |
||||||
|
|
|
|
|
ние на константу 3, то мы выносим константу 3 за знак производной
|
x |
|
! |
|
x |
||
3(2cos( x) sin( |
|
|
)) |
3(2cos( x) sin( |
|
))' . |
|
4 |
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|||
Теперь последнее действие - вычитание. Поэтому получаем |
|||||||
3((2cos( x))' (sin( |
x |
))') |
– здесь мы заменили производную |
||||
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
разности на разность производных. Далее сначала выносим кон-
станту 2 за |
|
знак |
производной в |
первом слагаемом |
|||||||
3(2(cos( x))' (sin( |
x |
))'), |
после чего дважды применяем правило |
||||||||
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) нахождения производной суперпозиции формул: |
|
|
|||||||||
(cos( x))'= sin( x) (x)' и (sin( |
x |
))'=cos( |
x |
)( |
x |
)'. Вспоми- |
|||||
|
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|||
ная, что (x)' 1, |
доводим начатое дело до конца. |
|
|
3(2( sin( x) (x)') cos( x) (x)')
44
3(2( sin( x) ) cos( x) ) 6 sin x 3 cos( x).
4 |
4 |
4 |
4 |
91
Аналогично находим производную от второго слагаемого
|
15 |
! |
|
|
x) 1)' 15( 1)(log2 |
x) 2(log2 x)' |
||||
|
15((log2 |
|||||||||
|
||||||||||
log2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
15( log2 |
x) 2 |
1 |
|
|
15 |
|
. |
|||
|
|
x(log2 x)2 ln2 |
||||||||
|
|
|
|
xln2 |
|
Сначала мы вынесли константу 15 за знак производной и затем применили правило нахождения производной суперпозиции фор-
мул. Здесь внешняя функция x 1. Ее производная по формуле 1
таблицы 1 равна ( 1)x 1 1 x 2 . Внутренняя формула – это функ-
ция log2 x, производная которой равна |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Складывая полученные производные, получаем ответ: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
! |
15 |
! |
|
2 |
|
|
|
|
|
! |
||||||
y'(x) |
3(2cos( x) sin( |
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin(x |
/ 2)) |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
log2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 sin x |
3 |
cos( |
x |
) |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
||||||
|
|
x(log2 x)2 ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
4 |
|
|
|
|
1 (x / 2)2 |
|
В заключение несколько слов о том, как безошибочно определять внешнюю и внутреннюю формулы. Это необходимо для
применения правила (П.3) нахождения производной суперпози-
ции формул:
|
, |
(П.3’) |
( (x))' ( fk (g(x)))' fk '(g(x))·(g(x)) |
Внешнюю функцию надо искать тогда и только тогда, когда
последнее действие в формуле под знаком производной не являет-
ся арифметическим, а совпадает с одной из основных элементар-
ных функций fk (x), перечисленных в таблице П1. Эта функция fk (x) и есть внешняя формула, производную которой fk '(x) мы всегда можем найти из таблицы П1.
92
Все, что было записано в формуле (x) до выполнения по-
следнего действия, образует внутреннюю формулу g(x), которая,
стало быть, нам также известна.
Заметим, что если заменитьg(x) на x, то должна полу-
читься снова наша внешняя формула fk (x). Этот факт можно применить в качестве проверки правильности выбора внешней и внутренней формул.
Теперь для нахождения ( (x))' по формуле (П3’) остается за-
менить в fk '(x) аргумент x на g(x) и затем умножить получившее-
ся выражение fk '(g(x)) на (g(x))'.
Следствие П.1. Если последнее действие в (x) есть fk (x) и g(x) x, то перед нами просто одна из основных табличных функ-
ций. Откуда ( (x))' fk '(x).
Десять из пятнадцати функций, включенных в таблицу П1, имеют свое собственное название, по которому мы сразу понимаем, какая формула внешняя. Остальные формулы таблицы П1 связаны со степенной или показательной функцией. То есть последнее дей-
ствие есть возведение в степень.
Если показатель степени есть константа, то есть (x) (g(x))a ,
то заменяя g(x) на x, получаем, что последнее действие, то есть внешняя функция, имеет вид y xa . То есть она является степен-
ной функцией и ее производная задается первой формулой таблицы
1.
Если же показатель степени не константа, а константа – ее ос-
нование, то есть (x) ag(x) , то заменяя g(x) на x, получаем, что последнее действие, то есть внешняя функция, имеет вид y ax ,
является показательной функцией и ее производная задается второй формулой таблицы П1.
Если и показатель, и основание степени являются функциями от x, то значит, мы имеем дело со степенно-показательной функ-
93
цией U(x)V (x) . В этом случае следует перейти от такой функции к показательной, с помощью преобразования U(x)V (x) eV (x)ln(U(x)) . В
результате внешняя функция есть exp(x) ex , формула 14 таблицы П1, а внутренняя ― g(x) V(x)ln(U(x)).
Пример П4.
y y(x) sinarctg(3x )
y' sinarctg(3x ) !
f (x) sin x, g(x) arctg(3x )
f '(x) cosx, f '(g(x))(g(x))'
f(x) arctg(x), g(x) 3x
1
f'(x) 1 x2 , f '(g(x))(g(x))'
f (x) 3x,g(x) x
f '(x) 3x ln3, f '(g(x))(g(x))'
cos(arctg(3 x ))(arctg(3 x ))!
cos(arctg(3 |
|
)) |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
! |
|
x |
|
|
x |
||||||||
|
1 (3 |
|
) |
2 |
|||||||
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(arctg(3 |
|
)) |
|
1 |
|
|
3 |
|
ln3( |
|
)' |
|
x |
x |
|||||||||||
|
|
x |
||||||||||
|
1 (3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
x )2 |
cos(arctg(3 |
|
)) |
1 |
|
|
3 |
|
ln3 |
|
1 |
|
|
. |
|
x |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 (3 x )2 |
2 |
|
x |
В этом примере три раза подряд применена операция суперпозиции формул.
Между вертикальными прямыми для каждого случая суперпозиции указываются внешняя f (x) и внутренняя g(x) формулы, приводит-
94
ся табличная производная внешней формулы f '(x) и напоминается
образец (3’) составления производной суперпозиции формул: f '(g(x))(g(x))'.
Выполнив несколько раз такую расшифровку сценария нахождения производной суперпозиции формул, вы скоро запомните как правила дифференцирования, так и таблицу производных. В результате вы уже не будете нуждаться в постоянных подсказках, приводимых между вертикальными чертами, а сможете выписывать окончательный ответ в одну строку. Однако не торопите события. Все должно произойти само собой в свое время. Главное состоит в том, чтобы каждое ваше действие было осмысленным и обоснованным структурой самой формулы. Кроме того не надо спешить. Иначе вы наделаете ошибок.
Желаю удачного дифференцирования, и не забывайте задавать себе наводящие вопросы: «Что перед нами?» и «Какое действие в формуле под знаком производной последнее?»
Библиографический список
1.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. 11-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2005. — 736 с.
2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Том 1. Уч. пособие. — 13-е изд. — М.: Наука, 1985. —
432с.
3.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа в 2-х томах М.: 1968, Наука, — 440 / 463 с.
4.Мышкис А.Д.,Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики. - М.: Наука (1972) — 616 с.
95
Оглавление
Введение……………………………………………………………….3
§1. Задачи, приводящие к понятию производной функции в точке…………………………………………….………...4
§2. Определение производной функции в точке, ее физический и геометрический смысл …………………..…….…8
§3. Таблица производных и правила дифференцирования………16
§4. Дифференциал функции в точке и его применение……...…...23
§5. Точки экстремума функции и их отыскание…………………..26
§6. Дифференцирование функции, заданной неявно и параметрически. Производная обратной функции……………….32
§7. Дифференциальные теоремы о среднем……………...……...38 §8. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя.............47
§9. Многочлен Тейлора функции одной переменной
и его применение……………………………………………………54
§ 10. Исследование поведения функции с помощью многочлена Тейлора…………………………………………….... ..60
§11. Направление выпуклости графика функции…………...........61
§12. Асимптоты графика функции и их нахождение…………….74
§13. Порядок полного исследования функции и построения ее графика………………………………………........78
Приложение ………………………………………………………....81
Библиографический список …......................................................... 95
96
Учебное издание
Барсуков Андрей Иванович Ряжских Виктор Иванович Седаев Александр Андреевич
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИ (ЯВНО)
Учебное пособие
В авторской редакции
Подписано в печать 21.12.2018.
Формат 60х84 1/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 6,1. Тираж 350 экз. Заказ № 214.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026, Воронеж, Московский проспект,14
Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ 394026, Воронеж, Московский проспект,14