Учебное пособие 1816
.pdfВарианты расчетно-графических работ
Характеристика задания
Предлагаемые задания индивидуальны для каждого студента. Каждый вариант состоит из 20 задач, которые необходимо выполнить четко, с кратким описанием решения.
В первой задаче требуется вычислить значение выражения a A + b B + c C , от студента потребуется знание приемов сложения матриц и умножения матрицы на число (лекция 1, см. также [3, §2, с. 11]).
Во второй задаче необходимо найти произведение матриц; естественно, следует обратить свое внимание на то, что произведение двух матриц AB имеет смысл только в том случае, когда матрицы A и B являются согласованными. Поэтому сначала проверьте, являются ли матрицы согласованными, а затем найдите их произведение (лекция 1, см. также [2,
гл.5, §6, с. 174]).
Втретьей задаче требуется найти матрицу Х, удовлетворяющую условию a A +λ X = b B. Для решения этого задания требуется выразить матрицу Х через матрицы A и B , а затем, используя правила сложения матриц и умножения матрицы на число, вычислить элементы матрицы Х (лекция
1, см. также [3, §2, с. 11]).
Вчетвертой задаче необходимо найти значение многочлена f (x) от
матрицы А. Для решения задачи подставьте в многочлен вместо аргумента
матрицу А: так как An = A A ... A , то решение задания сводится к умноже-
14243 n раз
нию, сложению матриц и умножению матрицы на число. (лекция 1, см. также
[2, гл.5, §6, с. 174]).
Пятая задача посвящена вычислению определителей. Определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника [1, см. также гл.1, §1, с. 13], а определитель четвертого порядка – разлагая его по строке или столбцу (лекция 2, [3, см. также §1, с. 4]).
В шестой задаче требуется решить уравнение с определителем третьего порядка в левой части относительно неизвестного х. Для решения задания необходимо разложить определитель по строке или столбцу (лекция 2, см. также [3, §1, с. 4]), а затем полученное выражение приравнять к нулю и решить полученное алгебраическое уравнение.
В седьмой задаче требуется проверить свойство определителя det(A B)=det(A) det(B). Для этого отдельно вычислите выражение det(A B) в левой части равенства и det(A) det(B) в правой части (отметим, что данные
определители могут быть посчитаны либо по правилу треугольника, либо разложением по строке или столбцу) (лекция 2, см. также [1, гл.1, §1, с. 13],).
Восьмая задача посвящена отысканию обратной матрицы A−1 . Как известно, обратная матрица существует только у невырожденных матриц,
121
поэтому предварительно следует вычислить определитель матрицы А: если он отличен от нуля, то матрицы A невырожденная и можно переходить к
отысканию обратной матрицы A−1 (лекция 2, см. также [3, §2, с. 14]).
Вдевятой задаче необходимо решить простейшее матричное уравнение с использованием обратной матрицы, для этого требуется умножить обе части данного уравнения на матрицу, обратную к одной из данных, таким образом, чтобы в левой части уравнения осталась только матрица Х . При решении помните, что обратная матрица существует только
уневырожденных матриц (лекции 2,3, см. также [2, гл.5, §6, с. 179]).
Вдесятой задаче требуется найти ранг матрицы методом эквивалентных преобразований и указать какой-нибудь базисный минор. Как известно, при эквивалентных преобразованиях ранг матрицы не меняется, поэтому задача состоит в преобразовании исходной матрицы в матрицу, ранг которой легко находится. Напомним, что базисный минор представляет собой определитель r -го порядка (где r - это ранг матрицы), составленный из элементов данной матрицы, отличный от нуля (лекция 3, см. также [1, гл.1, §7, с. 36])
Водиннадцатой задаче необходимо найти значения параметра λ, при котором ранг данной матрицы равен указанному числу r . Для решения задачи следует вспомнить определение ранга матрицы: рангом матрицы A называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля (лекция 3, см.
также [2, гл.5, §4, с. 159]).
Вдвенадцатой задаче требуется решить данные системы линейных уравнений по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса. Отметим, что, начав решение системы по формулам Крамера, целесообразно сразу ответить на вопрос, имеет ли система единственное решение, для этого необходимо вычислить определитель системы, в случае, если он отличен от нуля, ответ однозначен, система имеет решение и притом единственное
(лекция 3, см. также [3, §3, с. 19]).
Тринадцатая задача посвящена исследованию систем линейных уравнений. Для установления совместности системы требуется использовать теорему Кронекера-Капелли. Кроме того, в случае совместности системы требуется ее решить методом Гаусса или методом Крамера (лекция 3, см.
также [3, §3, с. 19]).
Четырнадцатая задача посвящена нахождению собственных значений и собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей А. Вопрос об отыскании собственных значений и собственных векторов
линейного преобразования сводится к решению характеристического (A − λE)= 0 относительно неизвестного λ , далее по каждомууравнения
найденному собственному значению λ составляется однородная система (A − λE) X = 0, ее ненулевое решение и является собственным вектором, отвечающим собственному значению λ (лекция 9, см. также [3, §4, с. 47]).
В пятнадцатой задаче требуется проверить, образуют ли векторы a , b ,
122
c базис линейного пространства R , если да, то с помощью матрицы перехода найти координаты вектора d в базисе a , b , c . Из условия задачи следует, что размерность пространства R равна трем, так как три координаты у заданных векторов. Следовательно, для того чтобы векторы a , b , c образовывали базис, достаточно, чтобы они были линейно независимыми. Если векторы a , b , c – базис линейного пространства R , то матрица, столбцами которой являются координаты этих векторов в базисе e1 , e2 , e3 , и будет матрицей перехода P от базиса e1 , e2 , e3 к новому a , b , c . Связь между координатами вектора d в базисе a , b , c и в базисе e1 , e2 , e3 устанавливается с помощью матрицы перехода (лекция 4, см. также [1,гл. 2, §4, с. 73]).
В шестнадцатой задаче необходимо в евклидовом пространстве вещественных матриц размером 1×3 по данному базису g1, g2 , g3 построить ортонормированный базис e1, e2 , e3 . Как известно, это всегда можно сделать, применив процесс ортогонализации Грама-Шмидта (лекция 7, см. также
[1,гл. 4, §2, с. 139]).
В семнадцатой задаче задано линейные преобразования A x = (x,a )a и B x =[x,a ] евклидова пространства свободных векторов. Требуется найти матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j,k , а также найти в базисе i , j,k координаты векторов u = A x и v = B x . Известно, что линейному преобразованию A ( B ) в ортонормированном базисе i , j,k евклидова пространства свободных векторов соответствует матрица A ( B ). Для ее отыскания необходимо вычислить скалярное произведение в случае линейного преобразования A и векторное произведение в случае линейного преобразования B , взяв в качестве вектора x последовательно базисные векторы i , j,k , полученные координаты образов базисных векторов A i , A j , A k ( B i , B j , B k ) будут являться столбцами матрицы A ( B) (лекция 8, см. также [1,гл. 3, §1, с. 96]).
В восемнадцатой задаче дана матрица A линейного преобразования в базисе e1 , e2 , e3 . Требуется найти матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании №15. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой, связывающей матрицы линейного преобразования в разных базисах (лекция 8).
В девятнадцатой задаче требуется указать базис пространства, в котором матрица линейного преобразования A имеет диагональный вид, и привести матрицу A к диагональному виду. Как известно, матрица линейного оператора A имеет диагональный вид в базисе из своих собственных векторов, поэтому сначала необходимо найти собственные векторы матрицы линейного преобразования A , а затем выписать матрицу A в новом базисе. Для того чтобы проверить полученный результат, воспользуйтесь формулой, связывающей матрицы линейного преобразования в разных базисах (лекция
10, см. также [2,гл. 6, §4, с. 221]).
В двадцатой задаче необходимо привести к каноническому виду
123
уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением. Для решения этой задачи необходимо выписать матрицу квадратичной формы, соответствующей данному уравнению, найти собственные значения и векторы этой матрицы, затем выписать линейное ортогональное преобразование переменных. С его помощью преобразовать уравнение линии, перейдя к новым переменным, далее построить линию, соответствующую новому уравнению (лекция 11, см. также [3, §5, с. 54]).
124
ВАРИАНТ № 1
|
|
№1. Вычислить 3А+4В-2С, где |
|
|||||||||||||
|
1 |
0 |
−2 |
|
|
−1 1 |
0 |
|
|
3 4 5 |
||||||
A= |
2 |
1 |
−3 , |
B |
= |
|
2 |
− |
3 |
|
, |
C = |
|
1 |
−3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
−5 |
|
|
|
|
|
−6 |
|
|||
|
−4 3 |
5 |
|
|
|
6 |
|
|
8 |
7 |
№3. Даны матрицы
3 |
4 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
, |
|
2 |
9 |
3 |
|
A = |
5 |
B = |
. |
||||||
|
−1 |
|
|
|
|
7 |
5 |
−2 |
|
|
−2 3 |
|
|
|
Найти матрицу Х из уравнения А – 1/3Х = 2В.
№5. Вычислить определители
|
2 |
|
− 3 |
1 |
|
|
3 |
|
−1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5 |
6 |
8 |
, |
− 6 |
1 |
1 |
2 |
|
. |
|
|||
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− 3 |
2 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
||||||||||||||
№7. Найти detAB и проверить, что |
||||||||||||||
|
|
|
det(AB)=det(A) det(B) |
|
|
|
|
|||||||
|
2 1 3 |
|
3 |
2 −1 |
||||||||||
|
|
−1 3 1 |
|
|
|
−1 0 2 |
|
|||||||
A = |
, |
B = |
. |
|||||||||||
|
|
−1 − |
1 1 |
|
|
|
1 |
− |
2 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№9. Решить матричное уравнение |
|
|||||||||||||
|
|
−1 |
2 |
|
|
5 |
|
−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
X = |
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
−2 |
−7 |
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг матрицы равен указанному числу
|
2λ |
1 |
|
r = 2. |
|
|
|
, |
|
|
4 |
λ |
|
|
|
|
|
№2. Найти произведение матриц
|
3 |
1 |
2 |
−1 |
|
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
0 |
1 |
−1 |
|
2 |
0 |
||
|
|
||||||||
|
−1 |
3 |
0 |
− 4 |
|
|
1 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
№4. Найти значение многочлена f(x)= 3x5 + 2x - 7 от матрицы
|
|
A = |
|
1 |
0 |
||
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
−1 |
|||
№6. |
Найти x из уравнения |
||||||
|
3 − x |
8 |
1 |
|
=0. |
||
|
|
||||||
|
0 |
2 − x |
3 |
|
|||
|
0 |
|
0 |
8 − x |
|
|
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
−3 |
|
|
|
−1 . |
|||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
№10. Найти ранг матрицы и указать какой-нибудь базисный минор
|
1 |
−1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
− 2 |
0 |
6 |
−1 |
2 |
|
|
|
|||||
|
−3 |
0 |
4 |
− 4 |
2 |
. |
|
|
|||||
|
1 |
− 2 |
−8 − 2 |
− 2 |
|
|
|
|
№12. Решить системы уравнений: а) по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса
1) |
x1 + 3x2 − x3 = −1 |
4x +2x |
|
− x |
|
= 0 |
||||
|
2) |
x |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4x1 + 4x2 + 3x3 = 3 , |
|
+2x |
2 |
+ x |
3 |
=1 . |
|||
|
3x1 − 2x2 + 5x3 =13 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− x3 = −3 |
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
2x1 − x2 = 3 |
2x1 − 3x2 |
− x3 = 0 |
|
x1 − x2 + x3 − x4 = 3 |
|
x1 + x2 + x3 = |
0 |
|||
а) |
б) x1 + x2 + x3 = |
1 |
|
в) 2x1 + x2 |
−3x3 + x4 = 0 |
|
||||
, |
, |
г) |
= 0. |
|||||||
x1 −3x2 = −5 , |
|
|
|
|
|
|
3x1 + x2 + 2x3 |
|||
4x1 +5x2 = −7 |
3x1 − 2x2 |
=1 |
|
|
3x1 |
+ x2 |
− x3 + 3x4 = −1 |
|
5x1 − 2x2 − x3 = 0 |
|
|
|
|
= −1 |
|
− x2 |
−3x3 +3x4 = 7 |
|
|
|
|
|
x1 − 2x2 − 2x3 |
6x1 |
|
|
|
125
№14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного матрицей |
A = |
|
2 |
−1 |
−1 |
|
|
0 |
−1 |
0 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
№15. |
Даны |
координаты |
|
векторов |
a = (2,2,3) , |
|
|
= (1,3,2) , |
c = (3,1,1) и |
||||||||||
|
b |
||||||||||||||||||||
|
|
= (7,1,6) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
б) найти координаты вектора d |
в базисе a , b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
№16. |
В евклидовом пространстве вещественных матриц |
размеров |
1×3 |
со |
|||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
|
|
где |
x = (x1 |
x2 |
x3 ), |
|||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
y3 ) |
по |
данному базису |
|
g1 = (1 |
−1 0), |
g2 = (2 |
1 |
2), |
||||||||||
|
g3 = (0 |
0 |
3) построить |
ортонормированный базис e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол между |
векторами x = −2e1 + e2 +3e3 , y = 2e1 + 4e2 −e3.
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a и B x =[x, a ] евклидова пространства свободных векторов, найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k , если a = −2i + j +k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j, k , если x = j −6k .
1 |
1 |
0 |
|
|
№18. Дана матрица A = |
0 |
−3 |
2 |
линейного преобразования в базисе e1 , e2 , |
|
4 |
0 |
1 |
|
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании №15.
1 |
−2 |
0 |
|
|
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = |
−2 |
2 |
−2 |
|
|
0 |
−2 |
3 |
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
5x2 + 4xy +8 y 2 −12 5x −12 5y −20 = 0 .
126
ВАРИАНТ № 2
|
|
|
№1. Вычислить 2А+0,5В-С, где |
|
№2. Найти произведение матриц |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 0 −2 |
|
|
|
|
|
−1 1 0 |
3 4 5 |
|
1 −1 0 |
|
1 |
|
1 1 1 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A= |
|
2 1 −3 , B = |
2 −3 4 , C = 1 −3 2 . |
|
|
2 − 2 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
− 3 4 − 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 −5 1 |
7 6 5 − 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
−4 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 6 |
8 |
|
−6 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
6 |
|
0 |
|
|
0 2 0 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
№3. Даны матрицы |
|
|
|
|
|
№4. Найти значение многочлена |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
f(x)= 3x2 + 2x - 7 от матрицы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
A = |
|
|
|
2 5 , B = 2 9 3 . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 5 |
−2 |
|
|
|
|
|
A |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
− 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найти матрицу Х из уравнения X +0,5B =A. |
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№5. Вычислить определители |
|
|
№6. |
Найти x из уравнения |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 3 6 |
|
|
|
2 1 1 −1 |
|
|
|
|
3 − x |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
−2 0 3 |
, |
|
|
−3 0 0 |
0 |
. |
|
|
|
3 − x 3 − x |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
=0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
5 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
−1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
№7. Найти det(AB) и проверить, что |
№8. Найти матрицу, обратную к матрице |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
det(AB)=det(A) det(B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 2 3 |
|
2 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 1 |
|
|
|
2 1 1 |
|
|
|
|
|
−1 −2 −3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A = |
, B = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 2 |
|
|
|
4 |
−3 2 |
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
№9. Решить матричное уравнение |
|
№10. Найти ранг матрицы и указать |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −2 1 1 |
|
|
|
|
|
|
какой-нибудь базисный минор |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−2 |
|
2 |
|
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−2 |
|
3 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№11. |
При каких значениях параметра “λ” |
|
№12. Решить системы уравнений: а) по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ранг матрицы равен указанному числу |
|
формулам Крамера; б) матричным |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
способом; в) методом Гаусса |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
λ 1 |
|
|
|
r = 3. |
|
|
|
|
x1 + x2 − x3 = |
6 |
|
|
|
2x |
|
+ x |
3 |
+ 3x |
4 |
= 0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x2 − 4x3 |
|
|
|
2x2 − x1 − x3 − 2x4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2x1 |
= 21, |
2) x |
− x |
2 |
|
+ 4x |
4 |
= 2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 −3x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x1 |
= 6 |
|
|
x |
+ 2x |
2 |
+ x |
3 |
+ 3x |
4 |
= 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
№13. |
Исследовать системы уравнений |
и в случае совместности решить их |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
− x |
|
+ 2x |
|
=1 |
|
|
|
9x1 − x2 = 0 |
|
x1 + 2x2 = −1 |
|
|
2x1 −3x2 + x3 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
+ x + x =1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3x + x + x = −2 |
|
|
|
+ x2 + x3 = 0 , |
в) |
|
|
|
|
|
г) x |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
, |
|
x1 |
|
3x1 − x2 = 4 , |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x1 + x2 + x3 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 +5x2 − x3 = −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
− x |
2 |
+ x |
3 |
|
= 0 |
|
|
|
|
2x1 − x2 − x3 = 0 |
|
5x1 +3x2 = 2 |
|
|
7x +3x + x = |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
№14. Найти собственные |
значения |
и |
собственные векторы линейного |
|||
|
2 |
− 1 |
0 |
|
|
|
преобразования, заданного матрицей |
|
0 |
1 |
− 1 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№15. |
Даны координаты |
|
векторов |
a = (2,2,3) , |
|
|
= (1,3,2) , |
c = (3,1,1) |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (7,1,6) в базисе e1 , e2 , e3 |
линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров |
1×3 |
|
со |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
x = (x1 |
|
x2 |
x3 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
|
|
y3 ) по данному базису |
g1 = (3 |
4 |
|
|
0), g2 = (0 |
3 |
|
1), g3 = (0 0 |
|
2) |
||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
ортонормированный |
базис e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
между |
векторами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 2e1 −5e2 + e3, y = e1 + e2 + e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
евклидова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов, найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
если a = i |
−3 j +4k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
координаты |
векторов |
|
u = A x |
и |
|
v = B x |
в |
базисе |
|
|
|
|
|
|
|
если |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
, j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = i |
+2 j +3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
№18. Дана матрица A = |
1 |
|
|
|
0 |
5 линейного преобразования в базисе |
e1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
и |
c , указанном в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
−1 |
||||||||
|
|
|
|
№19. |
Указать |
базис |
пространства, |
в |
котором |
матрица |
A = 2 |
3 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
2 |
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
8x2 +6xy −6 10x −4 10 y −10 = 0 .
128
ВАРИАНТ № 3
№1. Вычислить - А – В + 3С, где
|
|
1 |
0 |
−2 |
|
|
−1 1 |
0 |
, C = |
3 4 5 |
|||||
A = |
|
2 |
1 |
−3 |
|
, |
B= |
|
2 |
−3 |
|
1 |
−3 |
2 . |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−4 3 |
5 |
|
|
|
|
1 |
−5 |
|
|
−6 |
|||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
8 |
7 |
|
№3. |
Даны матрицы: |
|
|||||
|
3 |
4 |
1 |
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
2 9 |
3 |
|
|
A = |
5 , B = |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 −2 |
|||
|
−1 −2 3 |
|
|
Найти матрицу Х, из уравнения 2A–X = 3B.
№5. Вычислить определители
|
1 |
−1 |
3 |
|
, |
|
2 |
1 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
1 |
5 |
|
|
5 |
4 |
0 |
−1 |
|
. |
|
|
2 |
−3 |
8 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
− 5 |
3 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№7. Найти det(AB) и проверить, что det(AB)=det(A) det(B)
|
1 |
−1 |
1 |
|
3 |
2 |
−2 |
||
|
2 |
−1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
A = |
, |
B = |
. |
||||||
|
2 |
2 2 |
|
|
−3 1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
№9. Решить матричное уравнение
10 |
−1 |
−1 |
2 |
|
|||
X |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
1 |
2 |
|
|
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг матрицы равен указанному числу
−1 |
λ |
− 2 |
r = 2. |
|
|
|
|
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
12 − λ |
|
№2. Найти произведение матриц
4 |
2 |
−1 |
0 |
2 |
−1 |
|
||
|
|
|
||||||
|
5 3 |
−1 |
−1 |
|
6 9 |
|||
|
|
|||||||
|
3 |
1 |
7 |
− 2 |
|
11 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
10 |
−3 |
№4. Найти значение многочлена f(x)= 2x2 - 2x + 7 от матрицы
|
1 |
0 |
A = |
|
. |
|
2 |
|
|
−1 |
№6. Найти x из уравнения
|
3 − x |
8 |
19 |
|
=0. |
|
|
||||
|
0 |
2 − x |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
x −14 |
|
|
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
− 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№10. Найти ранг матрицы и указать |
|
||||||||||||||
|
какой-нибудь базисный минор |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
− 4 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−5 3 |
|
−1 |
−2 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 |
|
0 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№12. Решить системы уравнений: а) по |
|||||||||||||||
формулам Крамера; б) матричным |
|
|
|||||||||||||
|
способом; в) методом Гаусса |
|
|
||||||||||||
x |
+2x |
2 |
+ |
3x |
|
= 6 |
|
4x |
+2x |
2 |
− x |
= |
0 |
||
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
||||
1) 2x1 +3x2 − x3 = 4, |
2) x1 +2x2 + x3 =1 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + x2 −4x3 = 0 |
|
x2 − x3 = −3 |
|
|
|
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2x +3x = 3 |
|
x1 + x2 |
− x3 =1 |
|
x |
− x |
2 |
− x |
3 |
− x |
4 |
=1 |
|
x |
+ x + x = |
0 |
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) |
|
б) |
2 |
+ x |
4 |
= |
2 |
|
2x |
+ x |
|
− x |
|
+ x |
|
= |
3, |
г) 1 |
|
− |
2 |
3 |
|
= |
|
||||||||||
3x − x |
2 |
= 0 , |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
2x1 |
3x2 |
+ |
x3 |
0. |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2x + x |
|
−3x = 0 |
, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
−4x2 |
= −3 |
|
|
|
|
|
+ x4 = 4 |
|
|
|
|
|
|
− 2x2 = 0 |
|
|
||||||||||||||||||
x1 |
|
4x + x − |
4x + x = 7 |
|
3x1 |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
№14. Найти собственные |
значения и |
собственные векторы линейного |
||||
|
|
|
2 |
−1 |
−1 |
|
преобразования, заданного матрицей |
A = |
|
0 |
−1 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№15. Даны координаты векторов |
a = (3,1,5) , |
|
|
= (−1,2,1) , |
c = (1,4,2) |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (12,6,3) в базисе e1 , e2 , |
e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве |
вещественных |
|
матриц |
размеров 1×3 |
|
со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
|
произведением |
(x, y) |
= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
x = (x1 |
|
|
x2 |
|
|
x3 ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
|
y2 |
|
|
|
y3 ) по данному базису |
g1 = (1 |
3 |
|
|
2), g2 = (0 |
1 |
|
0), g3 = |
(0 0 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
|
|
ортонормированный |
базис e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
между |
|
векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = −e1 + e2 + e3 , y = −2e1 + 4e2 +5e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] евклидова |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов, найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
, j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
j |
+k |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
|
|
координаты |
векторов |
|
u = A x |
и |
|
v = B x |
в |
базисе |
|
|
, |
|
|
|
|
|
если |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
j, k , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = i |
+7 j −k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
№18. Дана матрица A = |
2 |
|
|
|
0 |
3 |
линейного преобразования в базисе |
e1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
и |
c , указанном в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−8 |
|
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
№19. |
Указать |
базис |
пространства, |
в |
котором матрица |
A = −8 |
17 |
|
|
−4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−4 |
|
11 |
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
48x2 +64xy +32 5x +16 5y +5 = 0.
130