Учебное пособие 1830
.pdfИз условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряжённости одинаковы. Поэтому напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2πr, где r- радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.
2 r
H d H d 2 rH.
L0
Сдругой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:
n
H d Ii .
L i 1
Приравняв правые части равенств этих выражений получим
n
2 rH Ii .
i 1
Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому
2πrН = NI,
откуда
H NI . 2 r
С учетом радиуса средней линии r = (R1+ R2)/2= (d1+ d2)/4, получим
H 2NI .
(d1 d2 )
Магнитная индукция В0 в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением В0=μ0Н. Следовательно,
19
|
B0 |
2 0NI |
|
|
. |
|
(d d |
2 |
) |
||
|
1 |
|
|
||
Произведя вычисления, получим |
|||||
|
Н =1,37 кА/м, В0 =1,6 мТл. |
||||
Пример 12. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор |
|||||
длиной 0 = |
5мм. Длина средней линии кольца равна 1 м. |
Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I = 4А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.
Решение
Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем
IN = H + H0 0 .
По графику зависимости индукции от напряженности магнитного поля для ферромагнетиков (см. приложение) находим что при B = 0,5 Тл, напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 1,5 кА/м. Так как для воздуха μ = 1, то напряжённость поля в воздушном зазоре
H0 B 0 0,4 МА/м.
Искомое число витков
N = (H +H0 0) / I = 900.
20
2.КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
2.1.Основные формулы
Механические колебания
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки и его решение
x 02x 0, x Acos( 0t 0),
где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А – амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение от положения равновесия; ω0 – собственная частота колебаний.
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях
x2 |
|
y2 |
|
2xy |
cos( |
|
) sin2 |
( |
|
). |
|
A2 |
A2 |
|
|
|
|||||||
|
|
A A |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Амплитуда и фаза результирующего колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных колебаний с одинаковыми частотами.
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ( 2 - 1),
|
tg |
A1 sin 1 |
A2 sin 2 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
A1 cos 1 A2 cos 2 |
|||
|
Период колебаний физического маятника |
||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
T = 2 |
L g |
||
где |
L =I/ma – приведенная длина физического маятника, |
||||
I – момент инерции маятника относительно оси колебаний, |
|||||
а - |
расстояние центра масс маятника от оси колебаний. |
||||
|
21 |
|
|
|
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
иего решение
x 2 x 02x 0, |
x A0e tcos( t ), |
где =r/2m – коэффициент затухания; r – коэффициент сопротивления; 02 2 – угловая частота затухающих
колебаний; А = A0 e- t – амплитуда колебаний в момент времени t.
Логарифмический |
декремент затухания λ и |
|||
добротность Q колебательной системы |
||||
ln |
A(t) |
T , Q |
|
Ne, |
A(t T) |
|
|||
|
|
|
где А(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период; Ne – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е=2,73 раз.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний:
x 2 x 02x f0 cos вt,
x Acos( вt ),
где F0 cos ωв t - внешняя периодическая сила, действующая на
материальную точку; f0=F0/m; A f0 |
02 B2 2 |
4 2 B2 - |
амплитуда вынужденных колебаний; |
|
|
tg 2 в
02 в2
22
Резонансная частота и резонансная амплитуда
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|
|
рез |
2 |
2 2 |
, |
А |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
||||||||||
|
0 |
|
рез |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
2.2.Электрические колебания
Дифференциальное уравнение собственных электрических колебаний в контуре и его решение
q 02q 0, q q0 cos( 0t ),
1
где |
ω0= |
|
|
|
– собственная частота |
колебаний; |
|
|
|
|
|||||
|
LC |
||||||
L – индуктивность катушки; С – электроемкость конденсатора. |
|||||||
|
Дифференциальное |
уравнение |
затухающих |
||||
электрических колебаний в контуре и его решение |
|||||||
|
|
q 2 q 02q 0, |
q qme t cos( t ), |
||||
где |
= R/2L – коэффициент затухания; R – сопротивление |
контура, 02 2 - частота затухающих колебаний.
Добротность контура
1 L
Q = R C
Закон сохранение энергии в идеальном колебательном контуре (LС-контур)
qm2 LIm2 = q 2 LI 2 const,
2C 2 2C 2
23
Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний при последовательном включении в контур переменного напряжения и его решение
q x 2 q 02q Um cos вt, L
q qm cos( вt ),
I Imcos( вt 1),
где - разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС; в - частота внешней ЭДС; Im=ωв qm – амплитуда тока,1 = - /2 – сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R2 |
|
||||
|
рез |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2L2 |
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|||||||||||
|
Im |
|
|
|
|
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(R2 ( |
L |
1 |
)2 ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
вС |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
tg |
|
|
|
R |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
вС |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
2.3.Волны
Уравнение плоской бегущей волны
(x,t) A |
cos (t |
x |
) A cos( t kx), |
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
где - смещение точки, имеющей координату x в момент времени t, k = 2 / - волновое число, υ – фазовая скорость,- длина волны.
24
Уравнение стоячей волны
(x,t) 2A0 coskx cos t,
Длина стоячей волны, т.е. расстояние между двумя соседними пучностями или двумя соседними узлами, и длина бегущей волны связаны соотношением:
ст = / 2
Скорость распространения в веществе:
а) упругой продольной волны
E ,
где E – модуль Юнга, - плотность вещества.
б) упругой поперечной волны
G ,
где G – модуль сдвига,
в) упругой продольной волны в газах
RT ,
где = Сp /Cv – показатель адиабаты, - молярная масса.
г) электромагнитной волны
|
|
c |
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|||||
|
|
|
|
где , - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, с 3 108 м/с - скорость электромагнитных волн в вакууме.
25
Эффект Доплера для акустических волн
зв пр 0 ,
зв ист
где ν – частота звука, воспринимаемого движущимся приёмником, υзв - скорость звука, υпр – скорость приемника ( υпр > 0 , если приемник приближается к источнику), υист – скорость источника (υист > 0, если источник приближается), 0 - частота звука, испускаемого источником.
2.4. Примеры решения задач по колебаниям и волнам
Пример 1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия x=0, частота колебания 0=4с-1. В некоторый момент времени координата частицы x0 = 25 см и ее скорость 0х = 100 см/с. Найти координату x и скорость частицы через t = 2,4 с после этого момента.
Решение
Запишем уравнение гармонических колебаний частицы
в виде:
x = Acos( 0t + 0),
тогда уравнение проекции скорости на ось Ox будет иметь вид:
x x A 0 sin( 0t 0 ) .
Для нахождения параметров данных уравнений воспользуемся начальными условиями. При t = 0 имеем:
х0 = Аcos 0,
26
|
|
0 |
|
|
x0 = -А 0sin 0, |
|
|
|
||||||
откуда tg 0 |
|
|
|
1 и |
φ0= - /4, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
0x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A x2 |
|
2 |
252 |
1002 |
|
|
|
|
||||||
|
|
25 2 35см. |
||||||||||||
|
0x |
|
|
|
|
|||||||||
02 |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
Координата и проекция скорости частицы х в момент времени t = 2,4 с
x= 35·cos(4·2,4 –π/4)=-28,8см,
x 35 4sin(4 2.4 /4) 79,6см/с.
Пример 2. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,6 с и амплитудой А = 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она проходит путь А/2: а) из положения равновесия; б) из крайнего положения.
Решение
Выберем за начало отсчета времени момент, когда точка проходит положение равновесия. Тогда уравнение колебаний имеет вид:
х = Аsin 0t.
Исходя из этого уравнения определим момент времени t1, соответствующий смещению точки х = А/2. Имеем:
A |
|
A sin |
2 |
t |
|
, |
2 |
|
1 |
||||
|
|
T |
|
откуда t1 = T /12 .
Значение средней скорости точки при ее движении из положения равновесия определяется из формулы:
S A
cр1 t 2t1 ; ср1 = 100 см/с.
Время движения точки из крайнего положения до половины амплитуды будет равно:
27
Сучетом этого:
cр2
t |
|
|
T |
t |
|
T |
. |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
4 |
1 |
16 |
|
|||
|
A |
; |
ср2 = 50 см/с. |
|||||
|
||||||||
|
2t2 |
|
|
|
|
Аналогичные результаты могут быть получены при использовании формулы:
|
|
|
1 |
t2 |
cр |
|
|
|
(t)dt. |
t |
2 |
t |
||
|
|
1 t |
||
|
|
|
|
1 |
Пример 3. Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных колебаний, выражаемых уравнениями: х1 = 3cos( t + /3) см, х2 = 8sin( t + /3) см.
Написать уравнение результирующего колебания.
Решение
Вначале, используя тригонометрические формулы, приведем уравнение второго колебания к виду
х2 = 8 cos( t - /6) см.
Затем построим векторную диаграмму сложения однонаправленных колебаний (рис.9). Согласно теореме косинусов получим
A |
A2 |
A2 |
2A A cos , |
|
|
|
||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
A1 |
|
|
|
где = 2 - 1 . |
|
|
|
|
||||
Произведя |
вычисления, |
1 |
|
|
||||
найдем |
А |
= |
8,5см. |
Тангенс |
|
|
|
|
2 |
Apeз |
|||||||
начальной |
|
|
|
фазы |
||||
|
|
|
|
|||||
результирующего |
|
колебания |
|
A2 |
||||
определится |
|
|
|
|
||||
из рисунка |
|
|
|
|
Рис.9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
28 |
|
|
|