Учебное пособие 1851
.pdfортогональны ортам ei,i и а i , а также ei и аi .
При сборке звена i с уже собранной кинематической цепью орты
ei,i и а i и bi поворачиваются одинаково (поскольку связаны с звеном i)
и превращаются в орты ei , аi , bi . Поэтому можно построить три линейных преобразования на основе матрицы Пi .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пi |
|
ei,i |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ei , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пi |
|
|
|
ˆ |
, |
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а i = аi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пi |
|
|
|
ˆ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi = bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
o |
0 m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ei,i ={e |
} (m=1,2,3), |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
i ,i |
ei ={ei }, |
а i ={аi }, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
аi |
={аi }, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
o |
|
|
|
0 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
bi ={bi |
|
}, bi |
={bi |
} – матрицы-столбцы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Система (4.4) содержит 9 уравнений и 9 неизвестных эле- |
|||||||||||||||||||||||||||
ментов |
|
|
ikl (k, l =1, 2, 3) |
матрицы Пi . |
Коэффициентами при |
||||||||||||||||||||||||
|
а i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
неизвестных являются элементы матриц ei,i , |
и bi . Если |
||||||||||||||||||||||||||||
k |
={ |
|
km |
}, к-тая строка матрицы Пi и |
i = { |
1 |
2 |
|
3 |
} |
T |
= |
|||||||||||||||||
i |
|
|
i |
|
i , |
i |
, |
|
i |
|
|||||||||||||||||||
{ |
|
i11 , |
i12 , |
|
|
i13 , … , |
i31 , |
i32 , |
i33 }Т – девятимерная матри- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kl |
о Т |
o Т |
o Т |
T |
|
|
о 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = { eˆ i,i |
, аˆ i |
ˆ |
|
|
|
|
||||||
ца-столбец неизвестных |
i , а |
, bi |
} |
|
|
= {ei,i |
, |
||||||||||||||||||||||
о 2 |
|
|
|
|
|
о 2 |
|
|
о 3 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, … , bi , |
bi } |
– девятимерная матрица-столбец, содержа- |
|||||||||||||||||||||||||||
eT |
|
щая правые части системы (1), ˆ = {0, 0, 0} – нулевой трех-
0
мерный вектор, то система (4.1) может быть записана в виде
38
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
eˆ i,i |
ˆ |
ˆ |
aˆ i |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
b i |
0 |
0 |
|
||
ˆ |
eˆ i ,i |
ˆ |
ˆ |
aˆ i |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
i = . |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
b i |
0 |
|||
ˆ |
ˆ |
eˆ i ,i |
ˆ |
ˆ |
aˆ i |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
b i |
|
||
Поскольку векторы ei,i и а i , bi |
не коллинеарны, их ком- |
поненты линейно независимы. Тогда строки блочной матрицы системы (4.5) также линейно независимы и определитель этой матрицы отличен от нуля. Поэтому система (4.4), а значит и система (4.5) имеет единственное решение, т.е. матрица Пi является единственной.
Для решения системы (4.4) необходимо иметь правые час-
o |
o |
o |
о |
|
ˆ |
||||
ти eˆi |
ˆ |
Z . |
||
аi |
и bi , заданные в неподвижной системе координат |
Поскольку звено i-1 присоединено к звену i-2, то матрица Пi-1
|
|
o |
|
o |
|
|
o |
о |
|
|
ˆ |
и |
ˆ |
1,i по формулам |
ˆ |
ˆ |
|
известна и можно определить ei |
ri |
ei = ei,i = |
||||||
о |
o |
|
|
|
o |
o |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|||
eˆi |
ˆ |
1,i , |
ˆ |
- по ра- |
||||
1,i = Пi-1 ei 1,i , r i 1,i |
= Пi-1 r i |
а матрицы аi и bi |
||||||
нее полученным формулам (4.1) – (4.3). |
|
|
|
|||||
|
Систему (4.4) можно решить методом исключения Гаусса. |
|||||||
Поскольку орты осей системы Z i |
при сборке поворачиваются |
также, как и орт ei,i , можно записать систему
|
|
|
|
о k |
|
ˆ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
= Пi |
|
(к=1,2,3), |
|
|
|
|
|
|
|
qi |
qi |
|
|
|||
|
ˆ k |
о mk |
ˆ k |
mk |
|
|
|
k |
k |
k |
|
о |
={ qi |
}, qi |
= { qi } – проекции ортов qi |
и qi |
осей Zi и |
||||
где qi |
||||||||||
Z ik |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
на оси систем координат Z и Z i . |
|
|
|
Поскольку
39
qˆ i1 ={1,0,0}T, |
qˆ i2 ={0,1,0}T, |
qˆ i3 ={0,0,1}T, |
||||||
о k |
|
|
1к |
|
2к |
|
3к |
T |
qˆ i |
={ |
i |
, |
i |
, i |
} , |
то есть элементы k-того столбца матрицы Пi равны проекциям
|
Z ik системы |
|
|
|
орта q ik оси |
Z i |
на оси неподвижной системы |
||
о |
после сборки. |
|
|
|
координат Z |
|
|
||
Для присоединения следующего звена необходимо опре- |
||||
|
|
|
|
о |
делить проекции ei,i 1 |
на |
оси системы Z после сборки, т.е. |
||
|
|
o |
|
|
найти матрицу столбец |
ˆ |
1 . Для этого можно воспользовать- |
||
ei |
||||
ся преобразованием: |
|
|
|
|
|
|
o |
o |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
1 =Пi ei,i 1 , |
|
|
ei 1 |
= ei ,i |
поскольку при сборке звена i векторы ei,i 1 и ei,i поворачиваются одинаково.
Далее описанный процесс можно повторить для звеньев i+1, i+2 и так далее вплоть до присоединения последнего звена механизма. Алгоритм сборки механизма очевиден. Процесс
сборки начинается с определения проекций орта e 0 ,0 базового
о
(нулевого) звена в системе Z , что соответствует установке ба-
зового звена в рабочем помещении. Можно считать, что Z 0
о
совпадает с Z . В этом случае По= I. |
|
|
|
|
|||
Поскольку матрицы Пi |
известны, |
известны и положения |
|||||
|
~ |
|
|
~ |
о |
|
|
всех звеньев ММ. Матрицы |
преобразований |
Z можно |
|||||
Кi |
Zi |
||||||
|
~ |
|
о |
|
|
|
|
определить, зная положение |
относительно Z . Но, посколь- |
||||||
Zi |
|||||||
|
|
~ |
о |
, К~i = Пi |
1 . |
||
ку Пi матрица преобразования Z i Zi |
и Z i = Z |
40
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
ˆ |
и |
ˆ |
1 проекции вектора |
r |
в системах Zi |
и |
||||||||
~ |
Пусть r i |
r |
||||||||||||||
Zi 1 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
o |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
= |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
Кi 1 r i 1 |
Кi r i |
= Кi Кi ,i 1 ri 1 , |
|
|
||||||||
|
~ |
1 матрица перехода |
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Кi ,i |
Zi 1 |
|
Zi . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
|
~ |
-1 |
~ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Кi |
1 = Кi |
Кi ,i |
1 |
и Кi ,i 1 |
=( |
Кi |
) |
Кi 1 =Пi |
Пi |
1 . |
(4.6) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
Следовательно, |
матрицы |
Кi ,i 1 |
перехода |
Zi 1 |
Zi для |
||||||||||
конфигурации qˆ =0 определяется на основе матриц Пi |
. В этом |
|||||||||||||||
и заключается основное назначение сборки механизма. |
|
|
||||||||||||||
|
Для |
конфигурации |
ˆ |
|
0 |
матрицы |
перехода |
Кi |
||||||||
|
q |
|
||||||||||||||
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zi+1 |
Zi |
1 |
Zi определяются по формулам: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
~ |
1 Кq (I+1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кi = Кi ,i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
|
|||
где Кq (I+1) – матрица преобразования Zi+1 |
~ |
1 при qi+1 |
0, |
|||||||||||||
Zi |
||||||||||||||||
компоненты которой зависят только от qi+1 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Для поступательной кинематической пары с номером i+1 |
|||||||||||||||
|
|
Кq (I+1) = I, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
|
поскольку относительное вращение отсутствует и поворот на угол qi+1 не
~
возможен. Тогда Кi = Кi ,i 1 .
2.4.1.Второй способ сборки.
|
~ |
|
|
|
Пусть оси Z j ориентированы также как и оси системы координат |
||
~ |
~ |
~ |
~ |
Zi |
звена i, Ki, j -матрица [1] преобразования Z j |
Zi . Сборку звена j со |
|
|
|
~ |
|
звеном i можно считать описанной, если |
Ki, j |
известна. Способ сборки, |
~
описанный выше, основан, кроме прочего, на определении Ki, j из систе-
мы 9 линейных уравнений, и поэтому требует значительных вычислений и ориентирован на использование ЭВМ.
41
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пусть qˆ |
j |
- орт оси z j |
системы Z j . Если ввести символ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кронекера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
lk |
1, при k |
l, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, при k |
|
l, |
|
|||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
qˆ |
j |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
1k , |
2k , |
|
3k |
T . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
qˆ |
j |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица - |
столбец |
~k |
~ |
|
~k |
равна, очевидно, столбцу мат- |
||||||||
|
|
|
qˆ |
K |
i, j |
qˆ |
j |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
рицы |
|
Ki, j с номером k. Таким образом, столбец k матрицы |
Ki, j равен |
||||||||||||||
проекциям орта |
k |
на оси системы |
|
~ |
|
|
Следовательно, |
определение |
|||||||||
q |
j |
Zi . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ki, j |
можно свести к определению проекций ортов осей системы Z j на |
||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оси системы Zi |
после поворота |
Z j |
так же, как и элемента звена j. |
При решении многих задач теории манипуляторов используется формула Родриго (см. раздел 4), которая в матричной форме имеет вид
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
, r |
r |
|
R( |
, )rˆ |
|
r |
|
p |
|
e |
, где |
p ˆ - матрицы, определѐнные в одной систе- |
||
|
|
|
|
ме координат, соответствующие повернутому и поворачиваемому векто-
рам; - угол поворота; eˆ - орт оси, вокруг которой происходит пово-
рот, определѐнный в той же системе координат; |
|
|
R( ,eˆ ) I cos |
( 1 cos )E D( eˆ ) sin |
(4.9) |
|
-матрица Родриго;
42
e1 e1 |
e1 e2 |
e1 e3 |
|
E e2 e1 |
e2 e2 |
e2 e3 |
, |
|
|||
e3 e1 |
e3 e2 |
e3 e3 |
|
0 |
e3 |
e2 |
D( eˆ ) e3 |
0 |
e1 . |
e2 |
e1 |
0 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
ˆ |
- некоторый вектор, направленный вдоль оси вращения, то |
||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
d / d |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
орт |
|
оси вращения определяется по формуле |
e |
ˆ |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Легко проверить следующие свойства матрицы Родриго |
|
|
|
|||||||||
|
R( |
|
,ˆ |
) RT ( , |
eˆ |
) , |
R( |
, |
ˆ |
) R( , |
eˆ |
). |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть e j |
и ei - орты собираемых элементов звеньев i и j. Для оп- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ределения угла поворота звена j нужно иметь проекции ei и |
e j |
на оси |
какой либо системы координат. Анализ объѐма вычислений, необходимых
для описания сборки звеньев i и j, показывает, что наиболее удобно распо- |
|
|
~ |
ложить Z j |
так же, как и систему Zi . |
|
ˆ |
e |
j |
|
Пусть известны |
ei |
и ˆ |
. Тогда, используя формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ci |
e |
j |
e |
i |
c |
i |
ˆ |
e |
i |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
, или формулу ˆ |
e j |
) ˆ |
, получаем матрицу |
ci |
. |
||||||||
|
|
|
D ( |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci e jei sin |
|
sin |
|
|
|
/ c |
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
, а орт e |
c |
указы- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
вает ориентацию оси вращения звена j при сборке его со звеном i. 43
Очевидно, что
|
|
3 |
2 1 / 2 . |
sin |
Ci |
( cik ) |
|
|
k |
|
1 |
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
e j |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
и |
|
совпадают или противоположны по направлению, |
||||||
модуль вектора ci |
равен нулю, поскольку при этом =0 или = . В |
||||||||
этом случае для определения |
можно использовать скалярное произве- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j |
|
ei |
ˆ |
e |
|
|
|
дение векторов e |
|
и |
|
e j |
ˆ |
i |
cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
|
0 , |
то векторы e j |
и ei |
совпадают и поворот на угол |
||||
не нужен. |
Если |
|
|
, то поворот можно произвести относительно |
любого орта. Для определенности поворот будем производить с использо-
ванием матрицы Родриго вокруг орта, направленного так же, как и нор- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мальная к орту e j |
составляющая вектор - радиуса |
r i , j . |
|
|
|
|||||||||||
При повороте звена j на угол |
|
рассмотренным способом всѐ зве- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но j, а значит и система Z j |
, поворачивается на угол |
|
|
. Орты Z j |
в |
|||||||||||
повѐрнутом положении образуют систему координат |
Z j |
звена j, соб- |
||||||||||||||
ранного со звеном i при некотором значении |
qi |
q |
|
0 . Для определе- |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
ния угла поворота q звена j относительно звена i используются векторы |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|||
r iN,i |
( r i,i |
( r i,i ei )ei |
, |
, |
r j,i |
r j,i |
( r j,i |
ei |
)ei , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|||||
нормальные e i . Угол, отсчитанный от r i,i |
до |
r |
|
j,i |
против хода |
|
часовой стрелки, если смотреть противоположно e i , равен q.
Пусть
44
|
N |
N |
, |
|
N |
N |
, |
a |
ri,i |
/ ri,i |
b |
rj,i |
/ rj,i |
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
|
орты, соответствующие векторам |
r i,i |
, r j,i |
|
и d |
a b . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
a, b |
|
|
|||
Для определения d нужны проекции векторов |
|
|
и |
|
на |
|||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
оси какой либо системы координат, например Z j |
. Тогда |
|
|
|
|
|
||||||
ˆ |
D( |
ˆ |
)ˆ |
, |
|
3 |
|
|
21 2 |
|
||
di |
|
bi |
|
|
|
k |
|
|
|
|
||
|
ai |
|
d ( |
|
) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
( d i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
Очевидно, что d |
a b sinqi sinqi . |
|
|
|
|
|
|
|
При определении q следует помнить, что функция Arcsin имеет глав-
ное значение в первой и второй четвертях, а при q=0 или q= модуль
вектора |
d |
равен нулю, и угол q можно определить только с точностью до |
|
. Поэтому для определения угла q проще использовать скалярное произ- |
||||||
|
|
|
cos q |
aˆ i |
bi |
|
ведение векторов a |
и b |
, поскольку |
|
T |
ˆ |
. |
При определении угла с помощью обратной тригонометрической функции следует помнить, что электронные вычислительные устройства возвращают только главное значение этой функции. Поэтому угол нужно определять с учетом расположения друг относительно друга ортов, образующих этот угол. Для этого удобно использовать изображения этих ортов в системе координат.
Повернув оси системы Z j на угол -q, вокруг орта e j с помо-
~
щью матрицы Родриго, получаем систему Z j . При q=0 поворот не нужен,
так как звено j уже имеет нужную ориентацию.
~ ~
Таким образом, для превращения системы Z j в Zi , нужно сначала
~
,
повернуть Z j на угол -q, а затем на угол . Подобным поворотам соот-
45
~
ветствует матрица Ki, j . Еѐ компоненты получаются двукратным использованием формулы Родриго.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,eˆ |
) - матрица преобразования Z j |
|||||||
|
|
Легко видеть, что R( |
Z j |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q,eˆ |
|
) |
|
|
|
|
Z j . Тогда преобра- |
||||||||
|
Z j , а R( |
j |
- матрица преобразования Z j |
|||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
зование Z j |
|
Z j |
Zi |
определяется матрицей |
|
|||||||||||||
~ |
|
R( |
,eˆ |
)R( |
q,eˆ |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|||||
K |
i, j |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
Следует |
помнить, |
что |
|
подобным способом |
определяется |
матрица |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ki, j |
|
только для вращательной пары, соединяющей звенья i и j. |
|
Для поступательной пары поворот на угол q не возможен. При относи-
тельном движении звеньев в подобной паре ориентация звена j относитель- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Z j |
|
|
|||||
но звена i не изменяется. Поэтому преобразование Z j |
|
Z j |
|
Zi |
||||||||||
вполне определено матрицей |
~ |
R( |
,eˆ |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K |
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
Матрица Ki, j определяет преобразование Z j |
Zi при q |
i |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть K i, j - матрица преобразования Z j |
~ |
~ |
. Тогда |
|
|||||||||
|
Z j |
|
|
Zi |
|
|||||||||
|
|
Ki, j |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ki, j Kqi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где K qi - матрица поворота системы Z j |
на угол qi |
относительно |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если кинематическая пара i поступательная, то K qi |
|
I . |
|
|
|
||||||||
|
Поскольку изменение |
обобщѐнных |
координат |
ql |
|
для |
l |
i |
не |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
влияет на взаимное положение звеньев i и j, матрица |
Ki , j преобразует |
|||||||||||||
Z j |
Zi . Таким образом, |
сборка механизма позволяет определить мат- |
||||||||||||
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рицы преобразований проекций векторов на оси систем координат звеньев, входящих в кинематические пары.
47