Учебное пособие 1864
.pdfЗаметим, что на каждом из трех этапов линейного отображения (преобразование подобия, поворот, параллельный перенос) прямые переходят в прямые, а окружности — в окружности. Следовательно, этими свойствами обладает и линейное отображение (1.1).
2. Дробно-линейная функция. Перейдем к изучению
дробно - линейной функции, определяемой равенством |
|
|
ω = az +b |
, |
(1.2) |
cz +d |
|
|
и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как
lim |
az +b = a |
, |
lim az +b |
= ∞, |
z→∞ |
cz +d c |
|
z→−d c cz +d |
|
то естественно определить |
|
ω(∞) = a c , ω(−d c) = ∞ . |
Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости .
Если c = 0 , то ω = da z + db и дробно-линейная функция
сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что c ≠ 0 .
Умножим числитель и знаменатель дроби (1.2) на с и
добавим в числителе |
+ad −ad . |
Тогда |
дробь (1.2) |
можно |
|
представить в виде |
|
|
|
|
|
ω = az +b = a(cz +d) +(bc −ad) = a + |
(bc −ad |
. |
(1.3) |
||
|
|||||
cz +d |
c(cz +d) |
c c(cz +d) |
|
||
Если bc −ad = 0 , то |
ω = a c и |
функция (1.2) сводится к |
постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия c ≠ 0, bc −ad ≠ 0 .
(1.4)
Покажем, что дробно-линейная функция (1.2) осуществляет
взаимно-однозначное отображение |
|
на |
|
|
. С этой целью |
решим уравнение (1.2) относительно |
z (это |
возможно при |
|||
z ≠ −d c , z ≠ ∞, ω ≠ a c , ω ≠ ∞ ): |
|
|
|
|
51
z = −dω +b |
= − d |
+ |
bc −ad |
. |
||
c(cω −a) |
||||||
cω −a |
c |
|
|
|||
Поэтому каждое значение ω ≠ a c |
и ω ≠ ∞ имеет только |
|||||
один прообраз z ≠ −d c и |
z ≠ ∞. Но |
в силу определения |
значению ω = ac соответствует z = ∞, а значению ω = ∞ —
величина z = −d |
c . |
Итак, |
каждая точка |
ω |
|
имеет только |
|||
один прообраз z |
|
, что и требовалось доказать. |
|||||||
|
|||||||||
Установим теперь конформность отображения (1.2). Так |
|||||||||
как |
|
|
|
|
ab −bc |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω′ = |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(cz +d)2 |
|
|
|
||
то при z ≠ −d c |
и |
z ≠ ∞ |
производная |
ω′ существует и не |
равна нулю. По теореме 4.1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.
Для выяснения конформности при z = −dc и z = ∞ нам
понадобится следующее определение.
Под углом между двумя линиями в точке z = ∞ понимается угол между образами этих линий при отображении
ω = |
1 в начале координат. |
|||
|
z |
|
|
|
|
Пример 4.2. Найти угол между ветвью параболы y = x2 , |
|||
x ≥ 0 , и лучем y = |
|
x |
в точке z = ∞ (рис. 4.2, а). |
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
Решение. Любую точку параболы можно записать в виде |
|||
|
|
|
|
z = reiϕ(r ) , |
причем ϕ(r) →π 2 |
при r → ∞ . Любая точка луча имеет вид |
z = reiπ6 . При отображении ω = 1z точки параболы перейдут в
ω =1/ z = (1/ r)e−iϕ(r )
52
При r → ∞ будет ω =1/ r → 0 , arg ω = −ϕ(r) → −π / 2 . Значит, ветвь параболы отобразится в кривую, касающуюся оси OY (рис. 4.2, б). Для точек луча ω = 1z = 1r e−iϕ(r ) .
Рис. 4.2
Значит, луч отобразится в луч, симметричный исходному лучу относительно оси ОХ. Угол между образами кривых в плоскости переменного ω равен, очевидно, π3; это и будет,
по определению, угол между исходными кривыми в точке z = ∞.
Отображение называется конформным в точке z = ∞, если оно сохраняет углы между любыми двумя кривыми, проходящими через эту точку.
Теперь |
мы |
готовы к |
рассмотрению |
конформности |
отображения (1.2) в точках z = −d c и z = ∞. |
|
|||
Пусть |
γ1 и |
γ2 — два |
пути, проходящие через точку |
|
z = −d c и |
пересекающиеся |
в этой точке |
под углом α . |
Дробно-линейное отображение (1.2) переведет их в кривые γ1′ и γ2′ пересекающиеся в точке ω = ∞ . Чтобы найти угол между ними, следует, по определению, отобразить γ1′ и γ2′ c
53
помощью функции W =1 ω в кривые |
γ1′′, γ2′′ и определить |
||||||||||
угол между γ1′′ и γ2′′ точке W = 0 . Отображение γ1 |
и γ2 |
в γ1′′ и |
|||||||||
γ2′′ имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
1 |
= cz +d . |
|
|
(1.5) |
||||
|
|
ω |
|
|
|||||||
Производная |
|
az +b |
|
|
|
||||||
dW = |
|
|
bc −ad |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dz |
|
|
(az +b)2 |
|
|
|
|
||
в точке |
z = −d c |
существует |
и |
отлична |
от |
нуля. |
|||||
Следовательно, угол между γ1′′ и γ2′′ |
в точке W = 0 равен α ; |
||||||||||
значит, угол между γ1′′ |
и γ2′′ |
|
также равен α . Таким образом, |
||||||||
отображение (1.2) сохраняет |
|
|
угол между кривыми в точке |
||||||||
z = −d c . |
Растяжение |
в этой |
точке |
|
при отображении (1.2) |
равно ∞ по любому направлению и, следовательно, не зависит от направления. Поэтому отображение (1.2) является конформным в точке z = −dc .
|
Рассмотрим конформность в точке |
z = ∞. Пусть кривые |
||||||||||
γ1 и γ2 пересекаются |
в |
точке |
z = ∞ |
под углом α . Это |
||||||||
означает, что образы γ1′ |
и γ2′ этих кривых при отображении |
|||||||||||
W = |
1 пересекаются под углом α в точке W = 0. |
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через γ1′′ и γ2′′ кривые, в которые переходят γ1 |
|||||||||||
и γ2 |
при отображении (1.2). Надо доказать, что угол между γ1′′ |
|||||||||||
и γ2′′ |
в точке ω = a c (образе точки z = ∞) |
равен α . С этой |
||||||||||
целью найдем отображение, переводящее γ1′ |
и γ2′ в γ1′′ и γ2′′ |
|||||||||||
Выразим z из равенства W =1 z и подставим в (1.2): |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
a |
+b |
= a +bW . |
|||
|
z = |
, |
ω = |
|
W |
|||||||
|
|
|
c |
|
||||||||
|
W |
|
|
|
|
+d |
c +dW |
|||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
54
Производная этого отображения по переменному W равна
ω′ = bc −ad 2 ; (c +dW )
в точке W = 0 она существует и отлична от нуля. Поэтому угол между γ1′ и γ2′ в точке W = 0 равен углу между γ1′′ и γ2′′ в точке
ω = ac . Это и означает, по определению, что отображение
(1.2) является конформным в точке z = ∞.
Полученные результаты сформулируем в виде
следующей теоремы. |
|
|
|
|
|||||
|
|
Теорема 4.1. Дробно-линейная функция |
|
|
|
|
|||
|
|
ω = |
az +b |
, ad −bc ≠ 0 , ω(∞) = a c , ω(−d c) = ∞ , |
(1.6) |
||||
cz +d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
осуществляет |
взаимно-однозначное |
и |
конформное |
||||||
отображение расширенной комплексной плоскости |
|
на всю |
|||||||
|
|||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 4.1, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме
4.1.
Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.
Теорема 4.2. При дробно-линейном отображении (1.6) окружности всегда переходят в окружности.
(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)
Доказательство. Рассмотрим уравнение
A(x2 + y2 ) + Bx +Cy + D = 0, (1.7)
где А, В, С, D — действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Bx +Cy + D = 0 , т.е. уравнение прямой. Если A ≠ 0 ,
то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству
55
(x − x0 )2 +( y − y0 )2 = ±R2 ,
которое определяет либо окружность, если справа +R2 , либо
точку, если R = 0, либо пустое множество, если справа −R2 . С другой стороны, любую окружность (в частности, прямую) можно задать уравнением вида (1.7).
Докажем вначале круговое свойство для отображения ω =1z . Возьмем произвольную окружность на комплексной
плоскости. Она задается |
|
уравнением |
(1.7). Обозначим |
||||||||
z = x +iy , ω = u +iv . Равенство ω =1 z |
дает z =1 ω , или |
||||||||||
x +iy = |
|
1 |
|
= |
u −iv |
, |
|
||||
u |
+iv |
u2 +v2 |
|
||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
||||||
|
u |
|
|
|
|
|
v |
|
|||
x = |
|
|
, |
y = − |
. |
||||||
u2 |
+v2 |
u2 +v2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Чтобы получить уравнение кривой, в которую перейдет
окружность при отображении |
ω =1 z , |
подставим в (1.7) |
||||
найденные выражения для х и у: |
|
|
|
|||
|
A |
+ |
Bu |
− |
Cv |
+ D = 0 |
|
u2 +v2 |
u2 +v2 |
u2 +v2 |
|||
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
A + Bu −Cv + D(u2 +v2 ) = 0 .
Мы пришли к уравнению такого же вида, что и (1.7), но в плоскости переменного ω = u +iv . Как мы видели ранее, такое уравнение определяет либо окружность (в частности, прямую при D = 0), либо точку, либо пустое множество. Но в силу взаимной однозначности дробно-линейного отображения окружность не может перейти в точку или в пустое множество. Значит, она переходит в окружность и круговое свойство
отображения ω =1 z |
установлено. |
|
|
||
Рассмотрим теперь общий случай дробно-линейного |
|||||
отображения |
(1.6). |
Если c = 0 , |
то получим линейное |
||
отображение |
ω = a1z +b1 , |
которое |
сводится |
к растяжению с |
|
поворотом и |
сдвигу. |
Каждое из этих |
преобразований, |
||
|
|
|
56 |
|
|
очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения ω = a1z +b1 данное свойство имеет место.
Пусть теперь c ≠ 0 . Воспользовавшись равенством (1.3),
представим дробно-линейное отображение в виде |
|
|
|||||||
|
ω = az +b = a |
+ |
bc −ad |
|
= E + |
|
F |
, |
|
|
c2 (z +d c) |
z |
+G |
||||||
|
cz +d c |
|
|
|
|||||
|
|
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
где E = a , |
F = bc −ad , |
G = d . |
|
|
|
|
|
|
|
c |
c2 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
Из равенства (1.8) |
следует, |
что |
дробно-линейное |
отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований:
1) ω1 = z +G ; 2) ω2 =1ω ; 3) ω = E + Fω2 . Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.
Чтобы сформулировать еще одно свойство дробнолинейных отображений, нам понадобиться следующее определение.
′ |
|
|
|
|
Точки А и A называются симметричными относительно |
||||
окружности радиуса R < ∞, если они лежат на одном луче, |
||||
выходящем из центра О окружности, и |
|
|||
′ |
= R |
2 |
. |
(1.9) |
OA OA |
|
Если точка А приближается к окружности (см. рис. 4.3), т.е. если OA → R , то OA′ тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если OA → 0 , то OA′ → ∞. Поэтому для точки О
симметричной будет бесконечно
удаленная |
точка. |
Под |
симметрией |
относительно |
|
окружности |
радиуса |
R = ∞ |
понимается обычная симметрия относительно прямой.
Рис. 4.3
57
Лемма 4.1. Для того чтобы точки А и A′ были симметричными относительно окружности Г (возможно, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через А и A′, была перпендикулярна Г (рис. 4.3).
Доказательство. Необходимость. Пусть точки А и A′ симметричны относительно окружности Г. Проведем
произвольную |
окружность |
|
||||||
Г |
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
через точки А и A , и |
|
||||||
пусть В — точка пересечения |
|
|||||||
окружностей |
|
Г и |
Г′. По |
|
||||
известной теореме о секущей |
|
|||||||
и |
касательной |
произведение |
|
|||||
|
|
|
|
′ |
на ее внешнюю |
|
||
секущей OA |
|
|||||||
часть OA |
|
равно |
квадрату |
|
||||
касательной. В то же время, в |
|
|||||||
силу |
|
|
|
симметрии, |
Рис. 4.4 |
|||
|
|
′ |
= R |
2 |
. |
Значит, радиус |
ОВ является касательной к |
|
OA OA |
|
|||||||
окружности |
Г′. Поскольку |
радиус ОВ перпендикулярен |
касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г′ перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г′ — прямая (это будет в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.
Достаточность. Пусть точки А и A′ таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом (см. рис. 4.4). Докажем, что А и A′ симметричны относительно Г. Так как прямая AA′ перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит, точки О, А, A′ лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и A′ лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром AA′ не была бы перпендикулярна Г.
Проведем произвольную окружность Г′ через А и A′ с радиусом R′< ∞ . Пусть В — точка пересечения Г и Г′. По условию, Г и Г′ пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г′. По той же теореме о секущей и
58
′ |
= R |
2 |
. Следовательно, точки А и |
′ |
касательной OA OA |
|
A |
симметричны относительно Г.
Мы доказали лемму 4.1 в случае R < ∞. Если R = ∞, то рассуждение существенно упрощается.
Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):
Теорема 4.3. При дробно-линейном отображении (1.6) пара точек, симметричных относительно окружности (в частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.
Доказательство. Пусть точки z1 и z2 симметричны
относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (1.6) Г перейдет в кривую γ , которая по теореме
1.4 также является окружностью; точки z1 и z2 перейдут в точки ω1 и ω2 . Надо доказать, что ω1 и ω2 симметричны относительно γ . Возьмем любую окружность γ′, проходящую через ω1 и ω2 ,и рассмотрим ее прообраз Г′ при отображении
(1.6) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих в γ′)- Для этого выразим z из уравнения (1.6):
z = −cdωω−+ab при ad −bc ≠ 0 .
Мы видим, что Г′ получается из γ′ также дробно-линейным отображением. Поскольку γ′ является окружностью, то по теореме 4.3 Г′ — тоже окружность. Так как Г′ проходит через точки z1 и z2 , симметричные относительно Г, то по
лемме 4.1 окружность Г′ перпендикулярна Г. |
В |
силу |
конформности дробно-линейного отображения |
и |
γ′ |
перпендикулярна γ . По лемме 4.1 отсюда следует, что точки ω1 и ω2 симметричны относительно γ и доказательство завершено.
59
Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).
Пример 4.3. Найти дробно-линейную функцию,
отображающую |
верхнюю полуплоскость |
Im z > 0 |
на |
||||
внутренность единичного круга |
|
ω |
|
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Пусть z0 — точка верхней |
полуплоскости, |
||||||
переходящая в |
центр единичного круга, т.е. |
ω(z0 ) = 0 . |
По |
теореме 4.3 точка z0 , симметричная точке z0 относительно действительной оси, должна переходить в точку ω = ∞ , симметричную точке ω = 0 относительно окружности ω =1 .
Дробно-линейная функция,
ω(z0 ) = 0 , ω(z0 ) = ∞, имеет вид
ω=
удовлетворяющая условиям
A z − z0 , z − z0
где А — комплексная постоянная. Но эта постоянная не вполне
произвольна, так как при действительном |
значении z = x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка ω должна |
|
находиться на единичной |
окружности и, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
|
ω |
|
|
=1 . Учитывая, что при z = x |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − z0 |
|
|
= |
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x − |
z0 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
x − |
z0 |
|
|
|
A |
|
|
|||||||||||||
1 = |
|
|
ω |
|
= |
A |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − z0 |
x − z0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, A = eiϕ , и искомая функция имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ω = eiϕ |
z − |
z0 |
|
|
|
при Im z0 > 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы видим, что существует бесконечное множество дробнолинейных функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих функций определяется значениями действительного числа ϕ и комплексного числа z0 .
60