Учебное пособие 1881
.pdfС4, А4, В4, которые должны лечь на одну прямую.
2 этап |
|
|
Выбирают плоскость π5, параллельную плоскости |
АВС. Для этого: |
|
- проводят ось х2, параллельную проекции С4А4В4, и находят проекции |
||
С5А5В5; |
|
|
- треугольник С5А5В5 является натуральным видом |
АВС. |
|
Если плоскость |
АВС проецирующая (например, фронтально- |
проецирующая), то задача решается одной заменой плоскостей, то есть используется только второй этап. В этом случае новая плоскость π4, параллельная АВС (ось х1 ║А2В2С2), образует с плоскостью π2 ортогональную систему π2/π4. Новая проекция А4В4С4 на плоскость π4 представляет собой истинный вид АВС.
Для решения задачи можно использовать не только горизонталь h, но и фронталь f. Тогда построения пойдут "вверх" от плоскости π2.
Домашнее графическое задание №2
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
При выполнении второго графического задания необходимо изучить следующие темы:
-многогранники;
-пересечение гранной поверхности плоскостью и прямой линией;
-поверхности вращения;
-пересечение поверхности вращения плоскостью и прямой линией;
-нахождение натурального вида сечения способом замены плоскостей проекций.
Варианты заданий представлены в таблицах по вариантам.
На тех изображениях, где указаны не все размеры, допускается отдельные элементы геометрических тел принимать в произвольном масштабе (по согласованию с преподавателем). Остальные (неуказанные) размеры необходимо назначать из условий сохранения пропорций чертежа.
Задание выполняется на двух листах формата А3 – лист 1 и лист 2.
Лист 1
Пример выполнения листа приведен на рис. 4.
Задача 1. Даны многогранник и секущая плоскость – для всех вариантов секущая плоскость является проецирующей (рис. 4, задача 1). Требуется:
1)построить линию пересечения секущей плоскости с поверхностью многогранника (варианты заданий приведены в табл. 3);
2)определить натуральный вид полученного сечения. Для нечетных номеров вариантов использовать секущую плоскость α, а для четных – β.
11
|
|
1 |
|
|
34 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
α2 |
F2 |
М2 |
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
НВ |
|
|
|
|
||||||
|
|
х1 |
π4 |
S2 |
|
|
|
12 |
|
N2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
||||
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
||
|
|
|
|
12 |
|
|
24 |
12 |
|
|
|
Е2 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
А2 |
|
|
С2 |
В2 |
о |
||
|
|
|
|
|
22 |
α2 |
х |
|
|
|
||||
|
π2 |
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
С |
2 21 |
В |
о |
А1 |
|
|
|
|
|
||
х |
π1 |
|
|
|
|
В2 |
|
11 |
|
31 |
В1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
S1 |
Е1 |
|
||
|
|
А1 |
|
|
|
|
|
|
F1 |
М1 |
N |
|
||
|
|
11 |
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
Иванов И.И. 711 гр. |
лист |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
Рис. 4. Пример выполнения графического задания № 2, лист 1 |
|
Указания к задаче 1. Для решения этой задачи используют правило: если одна проекция искомой линии уже дана на чертеже, то другая проекция линии пересечения строится по принадлежности точек этой линии поверхности многогранника. Рассмотрим два возможных варианта.
На рис. 5, а изображена пирамида и точки 1 и 2, принадлежащие разным граням ее боковой поверхности. Фронтальные проекции точек 12 и 22 совпадают. Требуется найти их горизонтальные проекции.
Решение:
-через точки 12 и 22 проводят фронтальный след α2 вспомогательной секущей горизонтальной плоскости α и строят сечение пирамиды этой плоскостью. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным следом α2. Горизонтальной проекцией сечения является фигура, подобная основанию пирамиды;
- на ребре S2А2 отмечают точку 12′ и находят 11′. Из 11′ проводят прямые, параллельные сторонам основания, и получают искомое сечение. Горизонтальные проекции 11 и 21 находят с помощью линий связи. Видимость точек определяют методом конкурирующих точек.
На рис. 5, б изображена пирамида и точка 1, принадлежащая ее боковой поверхности. Известна горизонтальная проекция точки – 11.Требуется найти ее фронтальную проекцию – 12. Для решения задачи через точку 11 необходимо провести сечение, параллельное и подобное основанию пирамиды. В этом случае 12 будет принадлежать полученному сечению, которое на π2 проецируется в виде прямой, параллельной оси х. Для решения через 11 проводят линию (одну сторону
12
сечения), параллельную основанию пирамиды, и находят 11′. С помощью линий связи находят 12′ и через нее проводят линию сечения, параллельную оси х. На этой прямой находят 12 с помощью линий связи.
Таблица 3*
Исходные данные для задачи 1, лист 1
* Данные таблицы взяты из [5]
13
|
|
S2 |
|
|
|
S2 |
|
|
а) |
|
|
б) |
|
|
|
|
α2 12′ 12≡(22) |
|
|
12′ |
12 |
|
|
х |
А2 |
С2 |
В2 |
х |
А2 |
С2 |
В2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
А1 |
21 |
|
|
А |
|
|
|
|
В1 |
|
|
В1 |
||
|
|
|
|
1 |
|
||
|
11′ |
S1 |
|
|
11′ |
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
С1 |
|
Рис. 5. Последовательность построения проекций точек, расположенных на боковой поверхности многогранника (пирамиды)
На рис. 4 (задача 1) представлено построение сечения поверхности пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью α. Поэтому на чертеже уже известна фронтальная проекция 123222 искомого 123 (она совпадает с фронтальным следом секущей плоскости – α2), а горизонтальная проекция 123 строится по принадлежности точек 1, 2 и 3 соответствующим ребрам пирамиды: SА, SВ и SС (рис. 4, а).
Последовательность решения задачи:
-точки пересечения ребер многогранника со следом плоскости определяют фронтальную проекцию контура пересечения – линию 123222.
-проецируя эти точки на горизонтальные проекции ребер, получают горизонтальную проекцию сечения;
-определяют видимость полученной линии пересечения;
-натуральный вид сечения определяют способом замены плоскостей проек-
ций в одно преобразование. Вводят новую плоскость проекций π4, параллельную секущей плоскости α. Для этого на фронтальной проекции проводят х1 параллельно фронтальной проекции 122232.
Задача 2. Даны: многогранник и пересекающая его прямая (см. рис. 4, задача 2). Требуется найти точки пересечения боковой поверхности многогранника и прямой. Исходные данные приведены в табл. 4.
14
Таблица 4**
Исходные данные для задачи 2, лист 1
** Данные таблицы взяты из [5]
15
Указания к задаче 2. Последовательность решения задачи:
-заключают прямую во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость α;
-строят линию пересечения боковой поверхности многогранника с плоскостью α (см. предыдущую задачу 1);
-находят точки пересечения заданной прямой и найденной линии пересечения. Поскольку прямая ЕF и найденная линия пересечения 1-3-2 лежат в одной
плоскости, то точки М1 и N1 являются горизонтальными проекциями искомых точек пересечения прямой с многогранником. Их фронтальные проекции М2 и N2 находят с помощью линий связи на проекции Е2F2;
-определяют видимость отдельных участков прямой ЕF методом конкурирующих точек (см. задача 1, рис. 2).
|
|
|
|
|
Лист 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Дана поверхность вращения и проецирующая секущая плоскость |
||||||||||||
(рис. 6, задача 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
S2 |
|
|
2 |
α2 |
Е2 |
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(М2) |
|
|
||
|
|
′ |
32 |
|
|
|
|
|
|
(О2)≡(С2)≡D |
||
|
|
32 |
|
42 |
110 |
|
|
|
|
А2 |
|
110 |
|
|
22 |
|
|
|
|
β2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
π2 |
|
52 |
о |
|
|
|
|
N2 |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|||||
х |
|
|
х |
|
|
|
|
|||||
π1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
α1 |
11 |
|
|
Ø 80 |
|
Е1 |
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х1 |
π1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3′1 |
|
|
|
М1 |
|
|
|
Ø 80 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
π4 |
21 |
. S |
|
|
|
|
|
S1 О1 |
В1 |
||
|
14 |
|
31 |
41 |
|
|
|
А1 |
|
D1 |
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
24 |
НВ |
|
5 |
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
44 |
|
|
|
|
|
Иванов И.И. 711 гр. |
|
Лист |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6. Пример выполнения задания № 2, лист 2 |
|
|
16
Требуется:
1)построить линию пересечения плоскости с поверхностью вращения;
2)определить натуральный вид полученного сечения. Варианты заданий приведены в табл. 5. Для нечетных номеров вариантов использовать секущую плоскость α, а для четных – β. Для всех вариантов секущая плоскость является проецирующей.
Указания к задаче 1. Для решения этой задачи используют правило: если одна проекция искомой линии пересечения уже дана на чертеже, то вторая строится по принадлежности ее точек заданной поверхности. Рассмотрим два возможных варианта.
На рис. 7, а показан конус и точки 1 и 2, принадлежащие его боковой по-
верхности. Их фронтальные проекции 12 и 22 совпадают. Требуется найти 11 и 21. Решение: через 12 и 22 проводят вспомогательную секущую горизонтальную плоскость α. Она пересекает конус по окружности радиуса R. На ее горизонталь-
ной проекции находят точки 11 и 21. Профильные проекции точек находят на π3 (построение видно из чертежа).
На рис.7, б показан конус и точка 1, принадлежащая его боковой поверхно-
сти. Известна горизонтальная проекция точки – 11. Требуется найти фронтальную проекцию точки – 12.
Решение: через точку 11 проводят окружность радиуса R, которая является линией горизонтального сечения. Затем берут точку 11′ на горизонтальной проекции крайней образующей – 11′ и находят ее фронтальную проекцию – 12′.
Через 12′ проводят фронтальную проекцию сечения – прямую, параллельную оси Х. На этой прямой находят 12 с помощью линий проекционной связи.
Последовательность решения задачи 1:
-определяют, какая кривая второго порядка получится в сечении конуса: эллипс, парабола или гипербола, что зависит от положения секущей плоскости;
-определяют опорные точки искомой линии: для параболы и гиперболы – вершина и точки, лежащие на основании конуса, для эллипса – точки, определяющие его центр, большую и малые оси. Если секущая плоскость пересекает основание, то эллипс получится неполным; для получения точек, определяющих большую ось, необходимо продлить плоскость до пересечения с контурной (крайней) образующей;
-вводят вспомогательные секущие плоскости для нахождения промежуточных точек в количестве не менее восьми; полученные точки соединяют плавной кривой при помощи лекала;
-определяют видимость полученной линии пересечения;
-определяют натуральный вид сечения способом замены плоскостей проекций в одно преобразование. Для параболы или гиперболы строят ось симметрии, для эллипса – большую ось, параллельную новой оси проекций. Промежуточные точки рекомендуется строить относительно оси симметрии сечения, а не относительно новой оси Х1.
17
Таблица 5
Исходные данные для задачи 1, лист 2
1 2 |
S2 |
3 4 |
S2 |
|
5 6 |
S2 |
7 8 |
S2 |
9 10 |
S2 |
β2 |
|
|
|
β2 |
|
β2 |
β2 |
|
|
β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
110 |
|
110 |
|
110 |
|
110 |
Ø 80 |
Ø 80 |
Ø 80 |
Ø 80 |
Ø 80 |
S1 |
S1 |
S1 |
S1 |
S1 |
|
α1 |
α1 |
α1 |
α1 |
|
α1 |
|
|
|
11 12 |
S2 |
13 14 |
S2 |
15 16 |
S2 |
17 18 |
S2 |
19 |
20 |
S2 |
β2 |
|
|
β2 |
|
β2 |
β2 |
|
β2 |
|
|
|
110 |
|
|
|
|
110 |
|
110 |
||
|
|
|
110 |
|
|
|
||||
|
|
110 |
|
|
|
|
Ø 80 |
Ø 80 |
Ø 80 |
Ø 80 |
Ø 80 |
S1 |
S1 |
S1 |
S1 |
S1 |
|
α1 |
α1 |
α1 |
α1 |
α1 |
|
|||
|
|
|
|
На рис. 8 представлено построение сечения поверхности конуса фронталь- но-проецирующей плоскостью α, пересекающей все образующие поверхности конуса. Сечение получится в виде эллипса. На чертеже уже известна фронтальная проекция эллипса – отрезок А2В2, совпадающий с фронтальным следом секущей плоскости α – α2. Горизонтальная проекция эллипса А1К1С121В111D1Е1 построена по принадлежности точек эллипса горизонтальным вспомогательным секущим плоскостям β, γ и δ (рис. 6, а).
Опорные точки эллипса:
1)А и В – концы большой оси эллипса;
2)точки С и D – концы малой оси эллипса;
3)О – центр эллипса.
18
Натуральный вид эллипса на дополнительной плоскости проекций найден способом замены плоскостей проекций.
а) |
S2 |
|
|
S3 |
б) |
S2 |
(12)≡22 |
|
R |
13 |
23 |
12 |
R |
|
|
α2 |
|
1′2 |
||
|
|
|
|
|
||
х |
|
|
|
|
х |
о |
|
|
|
|
|
||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
1′1 |
S1 |
|
|
R |
|
|
|
R |
|
21 |
|
|
|
|
11 |
Рис. 7. Последовательность построения проекций точек, расположенных на боковой поверхности конуса
Рассмотрим другой вариант задачи 1 – пересечение конуса с горизонтальнопроецирующей плоскостью α (рис. 8, задача 1).
Последовательность решения задачи:
-определяют, что в сечении получится гипербола;
-на чертеже уже известна горизонтальная проекция сечения 1121314151, совпа-
дающая с α1.
Опорные точки гиперболы:
1)точка 3 (S131┴ α1) – вершина гиперболы;
2)точки 4 и 5 – лежат на основании конуса. Точки 2 и 4 взяты произвольно.
В этом примере рассмотрено построение только 5 точек. При выполнении задания количество взятых точек должно быть не менее 8.
- фронтальную проекцию гиперболы (кривую 1222324252) строят по схеме, приведенной на рис. 6, б. С помощью лекала полученные точки соединяют плавной кривой;
- определяют видимость полученной линии пересечения; - натуральныйвидсеченияопределяютспособомзаменыплоскостейпроекций.
19
Е2≡(К2) |
|
|
|
|
|
|
(О2)≡(С2)≡D2 |
|
Е4 |
|
|
|
|
|
А4 |
НВ |
|
|
|
|
S2 |
|
D4 |
|
S3 |
|
|
α2 |
|
|
14 |
|
|
|
|
К4 |
О4 |
|
|
(О3) |
|
|
|
С4 |
В4 |
|
А3 |
|
А2 |
|
24 |
К3 |
|
||
|
|
|
|
Е3 |
||
β2 |
|
|
|
|
||
γ2 |
|
|
|
(С3) |
|
(D3) |
δ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
В2 |
|
12≡(22) |
(23) |
(В3) |
(13) |
|
|
|
|
|
|
|
К1 |
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
С |
|
|
S1 |
О1 |
|
В1 |
А |
О |
В |
А1 |
D1 |
11 |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Е1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 8. Последовательность построения линий пересечения |
||||||
фронтально-проецирующей плоскости с поверхностью конуса |
Задача 2. Даны конус и прямая. Требуется найти точки пересечения прямой с поверхностью конуса. Исходные данные приведены в табл. 6.
Указания к задаче 2. Последовательность решения задачи:
-заключают прямую во вспомогательную проецирующую плоскость;
-строят линию пересечения конуса с этой вспомогательной плоскостью (см. предыдущую задачу 1 (рис. 7 или рис. 8));
-отмечают точки пересечения прямой с найденной линией пересечения;
-определяют видимость отдельных участков прямой.
Для примера рассмотрим пересечение конуса с прямой общего положения (рис. 8, задача 2).
Через прямую ЕF проводят фронтально-проецирующую плоскость α. Секущая плоскость α пересекает все образующие конуса, поэтому в сечении будет эллипс.
20