Учебное пособие 1969
.pdfH ( ,t) |
H 0 K |
cos[( p |
) |
( |
E )t |
], |
|
0 |
|
|
|
|
|
где H0=Fm/(2 0) - напряженность поля при равномерном зазоре, |
||||||
Fm - амплитуда н.с. слоя тока, |
|
|
|
|
||
K =( / 0). |
|
|
|
|
|
|
Основной вывод |
состоит |
в том, |
что |
при |
наличии эксцентриси- |
|
тета в зазоре появляются поля гармоник p |
, а при р=1 возникает дополни- |
|||||
тельный четырехполюсный поток, пропорциональный , |
и многополюсные |
потоки, пропорциональные различным степеням .
Случай эксцентричного расположения ротора в полости статора рас-
смотрен Г.Бухгольцем [ |
]. При этом используются функции Грина и теорема |
Вилла для вычисления |
комплексного потенциала. Для этого задача форму- |
лируется как краевая первого рода. Поле в зазоре выражается |
не |
через |
векторный потенциал, а через скалярный магнитный потенциал |
, |
являю- |
щийся мнимой частью комплексной функции Xm. Вначале для коаксиального расположения определяется магнитный потенциал
|
( ) iX m ( ) |
0 ( , ) i[ Az ( , )] , |
где - угловая координата произвольной точки на окружностях с ра- |
||
диусами R1 и R2. |
Используется только основная гармоника разложения по- |
|
тенциала (R1,2; |
) в ряд Фурье. |
|
Для применения теоремы Вилла:
X ( ) |
1 |
Ui ( ) |
2 ( , ) |
d |
Ua ( ) |
1 ( , ) |
d |
, |
2 |
|
|
||||||
|
2 ( , ) |
|
1 ( , ) |
|
|
где
51
1 |
|
ln |
|
e i , |
||
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
R2 |
|||
i |
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
ln |
R2 |
, |
|
|
||
|
|
R1 |
|
- тэта-функции с аргументом и модулем , |
|||
Ui( |
) - комплексная часть комплексного потенциала на внутрен- |
||
ней окружности, |
|
|
|
Ui( |
) - то же, но на внешней окружности, отображает располо- |
жение потенциала на границы кольцевой области. Вводится отображающая функция, которая отображает двусвязную область плоскости z между стато-
ром и эксцентрически расположенным ротором на двусвязную область в плоскости с концентрическими статором и ротором. Данная функция ищет-
ся в виде:
z g A z h ,
где A – постоянная, определяемая из условия соответствия того, чтобы
внешнему большому кругу плоскости z соответствовал круг единичного ра-
диуса в плоскости .
g и h – расстояния от центра внешнего большого круга до точек, через которые проходят все окружности пучка, лежащие на линии центров, одна –
внутри внутреннего круга, другая – вне внешнего.
Одна из окончательных форм записи этой функции имеет вид:
|
|
|
|
|
|
(z / R2 ) |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
(z / R ) |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
R2 |
1 |
, |
|
|
|
|
2 |
R2 |
|
h |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
52
причем зависимость 2 от эксцентриситета определяется выражением:
1
2
2
где
R2 R1 ,
R2 R1
|
1 |
|
||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|||
|
, |
|||
1 |
||||
|
|
|
(1 |
2 ) |
, |
(1 |
2 2 ) |
l
R2 R1 ,
l – эксцентриситет.
Далее формируя краевые условия для магнитного потенциала в плос-
кости z и соответствующие краевые условия для кольца в плоскости , поло-
жив:
z |
R2 exp(i |
2 ) ; |
|
|
|
exp(i |
2 ) , |
|
|
|
|
|
||||||||
получают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( 2) |
(1, |
2 ) |
C2 |
M 2 cos |
|
|
2 |
2 |
(1 |
22 ) cos |
2 |
|||||||||
|
|
S |
1 |
2 |
2 2 cos |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||
M 2 sin S |
(1 |
|
22 ) sin 2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
2 |
|
2 2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(1) |
|
(r, |
1 ) |
C1 |
M1 cos |
L |
|
|
(1 |
12 ) sin 1 |
|
, |
||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
1 cos |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|||||
где |
|
|
|
g |
l |
|
R1 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
h |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
затем переходя к тэта-функциям, записывая их логарифмические про-
изводные через дзета-функцию Якоби, получают:
53
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M1 (1 |
|
12 ) |
|
|
|
e i L zn(w N1k ) e i L zn(w N1k ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
2 i |
K |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dw |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
M |
|
(1 |
2 ) |
|
|
|
|
[e i S zn(w N iK k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
w |
|
|
21 |
|
2 |
|
2 i |
K |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i( k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
i S |
zn(w |
N |
iK k )] |
|
dw |
|
|
C2 M 2 2 cos S |
|
d |
ln sn(w N |
k ) |
i |
dw, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
i |
|
dw |
|
1 |
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где N |
k |
ln , |
|
i |
|||
|
|
sn – эллиптическая функция Якоби, zn – дзета-функция Якоби.
Исход из интеграла
|
|
|
|
|
|
X (N ) |
1 |
|
|
|
|
zn(N |
|
|
wk ) |
|
1 |
|
|
F (w)dw, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
w |
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
взятого по прямоугольнику с вершинами в точках +K , +K +2 iK, - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K +2 iK, -K , |
в результате получается: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
M |
|
(1 |
|
2 ) |
e i |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 1 |
|
|
|
|
|
|
e i L |
|
r2 |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 1 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
M |
|
1 |
|
2 |
e i |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e i S |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 r2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
M 2 |
|
2 cos |
S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разлагая дробь |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
|
z |
|
|
|
|
/ |
|
|
в ряд и применяя теорему |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
z(r |
2 |
|
|
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Витали о двойных рядах, окончательно получают: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для внешней окружности, где |
|
|
|
|
|
ei 2 |
|
2 : |
|
|
|
|
|
54
|
|
(ei 2 ) |
|
|
|
|
(1, |
|
|
) |
|
|
|
iA (1, |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
(C |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
L) |
|
|
|
0 |
|
M |
|
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
e |
i |
S |
|
|
e |
i |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
e |
|
|
i |
|
|
S 2 |
|
|
|
|
|
e |
i |
S |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
M |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
e i L |
|
|
|
F ( |
|
|
, |
|
|
|
, r) e i L |
|
|
|
F ( |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 M 2 1 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
2 Fg ( 2 , |
2 , r) e |
|
2 Fg ( 2 , 2 , r) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
для внутренней окружности, где |
|
|
|
|
2ei 1 |
|
|
|
|
2 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(r, ei 1 ) |
|
|
|
|
|
(r, |
) |
iA (r, |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
(C |
|
|
M |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
0 |
M |
|
1 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
1 1 |
|
|
|
S |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e i L |
|
|
|
|
e i L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
M |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
e i L |
|
|
|
|
|
|
|
|
e i L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
M |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
e i L |
|
F ( |
|
, |
|
|
, r) e i L |
|
|
|
|
F ( |
|
|
, |
|
|
|
|
|
, r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 M 2 1 |
|
|
|
|
e |
S |
|
1Fu ( 2 , 1 , r) e |
S |
|
1Fu ( 2 , 1 , r) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fu (z, r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
z(r2 |
|
1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fg (z, r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
z(r2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (zr, z) |
|
1 |
F (z, r), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
z |
, r |
|
|
|
rF (z, r). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В работе И.П. Копылова [ |
|
|
|
] |
также рассматривается неравномерный |
зазор между статором и ротором в ненасыщенной машине. При этом зазор
( ) выражается зависимостью:
R2 cos |
2 cos2 R2 2 , |
где |
|
|
55 |
R1, R2 - радиусы ротора и статора,
- эксцентриситет, - текущее значение угла.
При условии << R производят упрощения, в результате чего получа-
ют:
0 cos
0 R2 R1
Определяют магнитную проводимость и получают для индукции сле-
дующую зависимость:
B( ,t) |
0 Fp |
U |
cos p |
t , |
|
2 |
|
||||
|
0 |
1 |
|
|
|
где U - амплитуда |
-й гармоники. |
|
Подчеркивается, что гармоники с наибольшей амплитудой имеют по-
рядок р±1.
Во всех рассмотренных четырех работах лишь |
в |
работе |
Г.Бухгольца не делаются упрощающие предположения типа |
<< R, однако |
полученный результат не обладает в полной мере практической ценно-
стью, делающей его пригодным для инженерной методики расчета.
Для случая орбитального расположения роторов целесообразно учесть ряд особенностей данной конфигурации поля:
Во-первых, это относится к большей разности радиальных состав-
ляющий поля на поверхности ротора и статора, чем у обычных машин, с не-
значительно отличающимися по диаметру статором и ротором.
Так, при рассмотрении модели |
синхронной машины по данным [ ], |
выражения для тангенциальной Н |
и радиальной Нr составляющей |
поля имеют вид: |
|
56
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
r 2 |
|
|
|
r 2 |
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
r 2 |
|
|||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
2 |
1 |
K |
|
|
|
1 |
|
1 |
cos |
K |
|
r |
|
|
2 |
1 sin ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
r |
2 |
r |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
r 2 |
|
|
|
2 |
|
r 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
r 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
r 2 |
|
|
|
r 2 |
|
|
|
r 2 |
|
|
|
||||||
|
Hr |
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
r |
|
2 |
|
1 cos |
|
|
|
|
K |
|
2 |
1 |
K |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
sin |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
r 2 |
|
r 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
r 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
r 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Там же рассмотрен пример, в котором для случая r1=0.50 м, r2=0.51 м, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
граничных |
|
|
условиях H 2 |
|
|
|
K2 cos |
, |
H 1 |
|
|
K1 |
cos |
K1 sin , |
|||||||||||||||||||||||||||
K1 |
1,6K , K1 |
|
|
|
K2 |
|
K , |
находится: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
H r1 / K |
|
51cos |
|
|
133,5sin |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
H r 2 / K |
|
50cos |
|
|
131,0sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь при тех же граничных условиях взять r1=0.25 м, r2=0.51 м,
что соответствует двум роторам, орбитально расположенным в расточке статора, то соответственные выражения различаются гораздо сильнее:
Hr1 / K |
1,64cos |
4,26sin , |
Hr 2 / K |
0,64cos |
0,325sin . |
Естественно, изменение радиальной составляющей, сопро-
вождается изменением тангенциальной.
Во-вторых, естественной особенностью расчета орбитальных сис-
тем является желание связать поле ротора с сегментным участком статора,
прилегающим к ротору, а не со всем статором, поскольку разница в диамет-
рах ротора и статора значительна и увеличивается при увеличении числа ро-
торов. Кроме того, такой подход предпочтительнее и в случае наличия второ-
го, внутреннего статора.
Для определения чисто геометрических характеристик в данном случае можно также воспользоваться электростатической аналогией (особенно в случае двух роторов), когда для двух заряженных осей эквипотенциалы в по-
перечном сечении представляются окружностями радиусом R:
R2 x02 a2 ,
57
где 2а - расстояние между осями,
x0 - расстояние от центра координат в середине отрезка 2а до центров окружностей, а потенциал любой из окружностей равен:
lnk ,
где
/ 2 |
0 |
|
|
k r / r |
|
- заряд на единицу длины.
Для орбитальных систем характерным является случай, когда один из проводов (аналог статора) радиусом R1 охватывает другой радиусом R2<<R1
при том, что расстояние между их центрами S<R1-R2 считается заданным.
Зная эти три величины, определяются величины a, x01, x02 из решения систе-
мы:
R 2 |
x |
2 |
a 2 |
1 |
01 |
|
|
R 2 |
x |
2 |
a 2 |
2 |
02 |
|
|
S |
x01 |
|
x02 |
|
|
|
|
R2 |
R2 |
S 2 |
|
|
R2 |
R2 |
S 2 |
|||
при этом x01 |
1 |
2 |
|
, x02 |
1 |
2 |
|
, |
||||||
|
|
|
2S |
|
|
|
|
2S |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а отношения k1 и k2 |
находят как |
|
|
|
|
|
|
|||||||
k1 |
a |
x01 |
R1 |
|
k2 |
a |
x02 |
R2 |
|
|
|
|
||
a |
x01 |
R1 |
a |
x02 |
R2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Можно предположить, что длина сегмента, примыкающего к ротору в орбитальной системе и оказывающая влияние на конфигурацию поля, не превышает диаметра ротора. Кроме этого, интересно рассмотреть обладаю-
щий максимальной' общностью крайний случай, когда R1 (поле цилин-
дра вблизи плоскости).
И, наконец, в-третьих, для оценки картины поля в орбитальных систе-
58
мах, целесообразно определить коэффициент взаимоиндукции обмоток
статора и ротора и оценить влияние на него такого параметра, как, например,
радиуса ротора.
Определение этого коэффициента для двух пар проводников, располо-
женных на поверхности статора и ротора, рассмотрено, например,
Г.Бухгольцем. Так, при симметричном расположении витков соответственно
на поверхности внешнего R2 и внутреннего R1 цилиндра и в отсутствии маг-
нитополяризующей среды, векторный потенциал А2 в точке посередине внут-
реннего витка с координатами |
и |
равен: |
||||||||
AZ ( , ) |
0 I |
ln |
|
|
, |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где I - ток, а магнитный поток |
через виток статора (2,2'), наведенный |
|||||||||
витком (1,1 ) ротора определяется как: |
||||||||||
(1,1 ,2,2 ) |
|
0 I |
ln |
|
1 ,2 |
1,2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
1 ,2 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражая длины отрезков через R1, R2, угол m поворота витка ротора и угловое расстояние 2 , одинаковое для витков ротора и статора, можно, по-
лучить выражение для коэффициента взаимоиндукции М(L):
M ( L) ( |
m ) |
|
|
0 |
ln |
ch |
cos( m 2 |
) ch |
cos( m 2 ) |
, |
|
2 |
|
|
ch |
cos |
m |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
ln |
R2 |
|
, |
или: |
|
|
|
|
||
R |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( L) ( m ) |
0 |
ln 1 (ch cos |
|
cos2 |
) |
4sin2 |
|
|
4 |
m |
(ch cos |
|
)2 |
||||
|
|
|
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для несимметричного расположения витков на основании выражения для комплексного потенциала для пары проводников в коаксиальном канале,
приводится выражение:
59
|
|
|
|
|
ch |
m |
2 |
ch |
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M ( L) ( |
|
) |
0 |
ln |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
( 2 |
/ |
|
) |
|
4 |
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 ch
m ch 2 1
При построении соответствующих графиков подчеркивается, что для разных 2 , исключая 2 = , имеется горизонтальный участок, соответствую-
щий только 2 2/ .
Данные выражения, очевидно, полезны для упрощенного определения коэффициента взаимоиндукции для орбитальных систем, а именно, для его возможной оценки в случае применения сегментных вставок между роторами и статором, что позволяет рассматривать концентрический ротор большего диаметра, соответствующий орбитальным роторам. Для этого рассмотрим рис. . Как видно, перенос витка ротора на коаксиальную поверхность воз-
можен разными способами. Так, для 2 r< /2, возможно проведение луча OD,
что, однако, приводит к удалению от основной оси ОА (предположим для
простоты |
r= |
s) и к увеличению погрешности. |
Также возможен перенос с |
|
помощью дуги NM, тоже при 2 |
r< /2, тогда длина хорды дуги на коаксиаль- |
|||
ном роторе будет составлять |
2n sin r , где r |
соответствует r. Наиболее |
||
точное приближение дает луч В, параллельный ОA. В этом случае длина дуги |
||||
1 на роторе R1 будет равна: |
|
|
||
1 |
2R1 |
2 (R1 O1 ) 2 O1 , |
|
т.е. пропорциональна произведению отрезка О1', а именно - расстоянию от центра орбиты до точки пересечения луча, проведенного из центра орбиты и второго проводника, при условии, что первый проводник размещается в
60