Учебное пособие 1991
.pdf(a11 |
)x1 |
a12 x2 |
a1n xn |
0 , |
|
|
a21 x1 |
(a22 |
)x2 |
a2n xn |
0 , |
(4.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 x1 |
an 2 x2 (ann |
)xn |
0 . |
|
||
Система (4.3) имеет ненулевое решение в случае |
||||||
равенства нулю еѐ определителя: |
|
|
|
|
||
a11 |
|
a12 |
|
a1n |
|
|
a21 |
a22 |
|
a2n |
=0 . |
(4.4) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
an1 |
|
an 2 |
ann |
|
|
|
Уравнение (4.3) |
называется |
характеристическим |
уравнением.
Раскрывая определитель, получаем многочлен n-ой
степени относительно :
n+p1 n-1+...+pn-1 +pn=0.
Корни характеристического уравнения и являются собственными значениями линейного оператора. Для нахождения собственных векторов по полученным собственным значениям необходимо решить однородную систему (4.3).
Пример 1. Найти собственные значения и собственные
векторы линейного оператора A , заданного в некотором базисе матрицей:
1 3 3
A |
2 6 13 . |
1 4 8
Решение. Составим характеристическое уравнение:
91
1 |
3 |
3 |
|
2 |
6 |
13 |
=0. |
1 |
4 |
8 |
|
Раскрыв определитель, после приведения подобных |
|||
получим уравнение: |
|
|
|
|
3-3 2+3 |
-1=0, |
|
или ( -1)3=0. |
|
|
|
Таким образом, 1= 2= 3=1 .
Найдем теперь собственные векторы, подставив число =1 в систему (4.3):
3x2 3x3 0 , 2x1 7x2 13x3 0 ,
x1 4x2 7x3 0 .
Определитель системы равен нулю, следовательно, ранг матрицы системы меньше трех, один из миноров второго порядка отличен от нуля:
M2= |
3 |
3 |
9 0 |
, |
|
4 |
7 |
||||
|
|
|
значит, ранг системы равен двум. Составим укороченную систему уравнений, эквивалентную заданной, определитель которой совпадает с базисным минором M2.
3x2 3x3 0 ,
4x2 7x3 x1 .
Пусть x1=1, тогда, решив систему, имеем x2=x3=1/3. Таким образом, для данного линейного оператора, имеющего три равных собственных значения, существует только один
собственный вектор: x ={1,1/3,1/3}.
92
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы оператора A , заданного в некотором базисе матрицей:
4 |
0 |
5 |
A 7 |
2 |
9 . |
3 |
0 |
6 |
Решение. Составим характеристическое уравнение и
решим его: |
|
|
|
|
4 |
|
0 |
5 |
|
7 |
2 |
|
9 |
0 |
3 |
|
0 |
6 |
|
(-2- )((4- )(6- )-15)=0 |
|
|
(2+ )( 2-10 +9)=0 |
|
( +2)( -1)( -9)=0 |
|
|
1=1, |
2=9, 3=-2. |
При 1=1 получим следующую систему для нахождения координат собственного вектора:
3x1 5x3 0 ,
7x1 3x2 9x3 0 , 3x1 5x3 0 .
Отбрасывая третье уравнение, получаем:
3x1 5x3 0 ,
7x1 3x2 9x3 0 .
Пусть x3=1, тогда x1=-5/3, x2=62/9.
При 2=9 получим:
5x1 5x3 0 ,
7x1 11x2 9x3 0 , 3x1 3x3 0 .
93
В данной системе первое и третье уравнения эквивалентны, поэтому координаты соответствующего собственного вектора определим как решения системы:
x1 x3 0 ,
7x1 11x2 9x3 0 .
Пусть x3=1, тогда x1=1,x2=16/11. При 3=-2 получим
6x1 5x2 0 ,
7x1 9x2 0 ,
3x1 8x2 0 .
или x1=0,x3=0,x2=1.
Итак, мы получили следующие собственные векторы:
|
1={-5/3,62/9,1}, |
|
2={1,16/11,1}, |
|
3={0,1,0}. |
x |
x |
x |
Пример 3. Найти собственные значения и собственные
векторы линейного оператора A , заданного в некотором базисе матрицей:
2 |
1 |
1 |
A 1 |
0 |
1 . |
1 |
1 |
2 |
Решение. Найдем собственные значения матрицы A:
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
( 1)2 ( |
2) 0 . |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда 1=1 - корень характеристического уравнения второй
кратности, |
2=2 - простой корень. |
|
Для |
1=1 все три уравнения системы (4.3) совпадают: |
|
|
x1-x2+x3=0 |
x1=x2-x3. |
94
Придавая неизвестным x2 и x3 различные значения, например x'2=1, x'3=0 и x"3=1, x"2=0, получим два линейно независимых вектора:
|
1={1,1,0}, |
|
2={-1,0,1} |
x |
x |
отвечающих собственному значению 1=1.
Для 2=2 система уравнений (4.3) примет вид: x2 x3 0 ,
x1 2x2 x3 0 , x1 x2 0 .
Заметим, что второе уравнение является суммой первого и третьего и его можно отбросить. Получается система:
x2 |
x3 |
0 , |
x1 |
x2 |
0 . |
или x3=x2, x1=x2. Пусть x2=1, тогда x3=1, x1=1 и
соответствующий собственный вектор будет иметь |
вид |
|
|
|
|
x 3={1,1,1}. |
|
|
|
Легко проверить, что система собственных векторов |
|
|
x 1, |
|
|
|
|
x 2, |
x 3 линейно независима. |
|
Приведенные выше примеры показывают, что не всегда линейный оператор имеет столько же собственных векторов, какова размерность пространства.
Так как определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса, то и собственные значения также не зависят от выбора базиса.
Теорема. Если все собственные значения матрицы A линейного оператора различны, то соответствующие
собственные векторы линейно независимы. |
|
|
|||||
Доказательство. |
|
Пусть |
1, 2,.., |
n |
- различные |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
собственные значения, |
а |
x |
1, x |
2,.., x n |
- |
|
соответствующие |
собственные векторы.
95
Предположим противное: система собственных
векторов линейно зависима, т.е. существуют |
такие n |
чисел |
|||||||
1, 2,.., n, не все из которых равны нулю, что |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5) |
Пусть n 0. |
1 x 1+ |
2 x 2+...+ |
n x n=0. |
A к |
обеим |
||||
Применим оператор |
частям |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенства и, учитывая, что |
|
|
|
|
i |
n, получим |
|
||
A x i= i |
x i, 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
1 |
1 x 1+ 2 2 x 2+...+ |
n |
n x n=0. |
|
|||||
Умножим теперь равенство (4.5) на |
|
1, и вычтем его из (4.6): |
|||||||
2( |
|
2+ |
+ n( |
n- |
|
|
|
||
2- 1) x |
1) x |
n=0. |
|
(4.7) |
|||||
К полученному равенству снова применяем оператор A : |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2( |
2- |
|
|
|
|
|
||
|
1) x 2+...+ |
n n( n- 1) x n=0 . |
(4.8) |
||||||
Умножим (4.7) на |
2 и вычтем из (4.8), тогда: |
|
|
||||||
3( 3- 1)( |
|
3+...+ n( n- |
1)( |
|
|
||||
3- 2) x |
n- 2) x n=0. |
|
|||||||
Повторив этот процесс n-1 раз, придем к уравнению |
|
||||||||
n( n- 1)( |
n- 2)...( |
|
|
|
|
|
|
||
n- n-1) x n=0 |
|
|
|||||||
Но так как |
n 0 по предположению и все собственные |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения различны, то x n=0,что противоречит тому, что x n - |
собственный вектор. Полученное противоречие доказывает теорему.
4.7. Приведение матрицы оператора к диагональному виду
Пусть оператор A действует из линейного пространства L размерности n в это же пространство. Предположим, что у
оператора |
A |
есть |
n |
линейно |
независимых |
собственных |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов |
|
x |
1, x 2,.., x n |
соответствующих |
собственным |
||||
значениям |
|
1, |
2,.., |
n. |
Тогда в качестве нового базиса можно |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принять систему собственных векторов x 1, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2,.., x n. Покажем, |
что |
в этом |
случае матрица линейного |
|||||
оператора |
|
преобразуется в диагональную матрицу A' вида: |
|||||||
A |
96
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
0 |
2 |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
столбцы |
этой |
|
матрицы |
состоят из |
|||||||
координат векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A x |
1, A |
x 2, |
, A x n: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x k= |
k x k=0 |
x 1+0 |
x 2+...+0 |
x k-1+ |
|
k x k+0 |
x k+1+...+0 |
x n. |
Таким образом, матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, причем на
диагонали стоят собственные значения. |
оператора |
A |
к |
|||||
Пример. Привести |
матрицу |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диагональному виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
A |
2 |
1 |
2 . |
|
|
||
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
Решение. Составим характеристическое уравнение: |
|
|||||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 |
|
2 |
|
0 . |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Раскрывая определитель, получаем |
( |
-1)( +2)( -4)=0. |
|
|
Итак, 1=1, 2=-2, 3=4.
Найдем теперь базис из собственных векторов, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Для 1=1 имеем:
x1 |
2x2 |
0, |
2x2 |
x1, |
|
2x1 |
2x3 |
0, |
|||
x3 |
x1. |
||||
2x2 |
x3 |
0; |
|||
|
|
97
|
|
|
Следовательно, вектор |
x 1={1,2,-1} является |
собственным |
вектором, отвечающим собственному значению |
1=1. |
|
Аналогичным образом получаем собственный вектор |
||
|
|
|
x 2={1,2,2}, отвечающий |
2=-2, и x 3={1,-1,1/2}, отвечающий |
3=4.
Матрицей перехода от старого базиса B к базису из собственных векторов B’ будет матрица:
|
|
1 |
1 |
1 |
|
T |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
0.5 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1.5 |
3 |
|
T 1 |
0 |
1.5 |
3 . |
||
9 |
|||||
|
6 |
3 |
0 |
Следовательно, используя формулу для нахождения матрицы оператора при переходу к новому базису, имеем:
1 0 0 A 0 2 0 .
0 0 4
Выясним, в каком случае существует базис из собственных векторов.
Оказывается, что можно найти базис из собственных векторов не только в случае различных собственных значений, но и в случае кратных собственных значений, если каждому собственному значению соответствует столько линейно независимых собственных векторов, какова его кратность. Таким образом, матрица может быть приведена к диагональному виду, если существует базис из собственных векторов этой матрицы.
Определение. Матрицы, приводимые к диагональному виду, называются матрицами простой структуры.
98
В квантовой механике важную роль играют матрицы, обладающие свойством коммутативности. Зная собственные значения и собственные векторы матриц, можно, пользуясь следующей теоремой, ответить на вопрос коммутируемости матриц.
Теорема. Пусть собственные значения матриц A и B простые. Матрицы А и В коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые собственные векторы.
Доказательство. Пусть матрицы A и B коммутируют.
Пусть |
|
- собственный |
вектор |
матрицы А, |
отвечающий |
|||||
x |
||||||||||
собственному |
|
значению |
, |
т.е. |
|
|
Тогда |
|||
|
А x = |
x . |
||||||||
|
|
=В |
|
т.е. |
|
|
также |
является |
||
АВ x =ВА x |
x |
= В x , |
вектор В x |
собственным вектором матрицы А, отвечающим тому же собственному значению . Так как собственное значение
простое, |
|
|
|
|
то вектор В x |
должен быть коллинеарен вектору x . |
|||
Следовательно, |
можно |
записать условие коллинеарности в |
||
|
= |
|
значит |
|
виде В x |
x , |
x является и собственным вектором |
матрицы В.
Обратно, если А и В имеют одинаковые собственные векторы, то в одном и том же базисе они приводятся к диагональному виду и, очевидно, коммутируют.
Обсудим также некоторые вопросы приближенного нахождения собственных значений и собственных векторов матриц операторов.
В ряде прикладных задач требуется приближенное нахождение всех собственных значений некоторых матриц, а иногда и всех собственных векторов. В такой постановке в вычислительной математике задачу называют полной проблемой собственных значений.
Довольно часто определению подлежат не все собственные значения и не все собственные векторы, а, например, максимальное или минимальное по модулю собственное значение, или же значение, наиболее близко
99
расположенное к заданному числу. Такие задачи являются примерами частичных проблем собственных значений.
Ранее численные методы решения проблемы собственных значений сводились, в основном, к решению характеристического уравнения. Однако, такой подход становится неудовлетворительным для матриц большого размера. Кроме того, хотя задача нахождения собственных значений матриц и корней характеристического уравнения формально эквивалентны, они имеют разную обусловленность, т.к. корни многочлена высокой степени чрезвычайно чувствительны к погрешностям в коэффициентах. Поэтому сейчас наиболее распространены приближенные методы решения проблемы собственных значений, не использующие вычисление характеристического многочлена. В качестве примера таких методов далее будет рассмотрен степенной метод.
Упражнения
1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А линейного оператора, если:
|
1 |
2 |
0 |
|
4 |
1 |
2 |
|||
а) |
A 0 |
2 0 ; б) |
|
A 1 0 |
|
2 ; |
||||
|
|
2 |
2 |
1 |
|
0 |
|
2 |
4 |
|
|
7 |
12 |
6 |
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
в) |
A 10 |
19 10 ; г) |
A 1 2 |
0 |
; |
|||||
|
12 |
24 |
13 |
|
0 |
0 |
|
5 |
||
|
0 |
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
д) |
A 1 |
|
0 |
1 ; |
е) A 5 |
3 |
3 |
; |
||
|
1 |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
2 |
100