Учебное пособие 2087
.pdf13. |
2y |
|
|
x |
|
|
|
|
y, y(4) |
|
1. |
|
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
e |
|
x |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14. |
y |
|
(2y |
|
|
1)ctgx, |
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
Ответ: |
|
|
y |
2sin2 x |
|
1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15. |
x2y |
|
|
|
|
y 2 |
0, |
y( |
1) |
|
1. |
|
Ответ: |
y |
|
|
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
16. |
(1 |
|
e x ) yy |
e x , |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
2ey2 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y(0) |
1. |
|
|
|
e(1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
2 |
|
y ln x, |
y(e) |
1. |
|
|
|
y |
|
|
x ln x |
|
|
x |
1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
xy |
|
|
|
|
y |
|
, |
y(e) |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
ln x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19. |
y tg x |
|
|
|
y |
1, |
|
y |
|
|
|
1. |
|
Ответ: |
y |
|
2sin x |
1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
y sin x |
|
|
y ln y, |
y |
|
|
|
1. |
|
Ответ: |
|
|
y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
(1 |
|
y2 )dx |
xydy |
|
0, |
|
|
y(2) |
1. Ответ: |
|
|
x2 |
2 |
|
|
2 y 2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
22. |
2 ydx |
|
dy, |
y(0) |
1. |
|
|
Ответ: |
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
23. |
(2x |
|
|
1)dy |
y 2 dx |
|
0, |
|
|
y(4) |
1. |
Ответ: ln |
2 |
x |
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
1 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
9 |
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
24. |
xydx |
|
(x |
1)dy |
0 . |
|
|
Ответ: |
y |
C(x |
|
1)e x , |
|
|
x |
|
|
1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
y ctgx |
|
|
|
y |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y |
2 |
|
C cos x, |
|
y |
2 |
|
3cos x. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
26. |
|
1dx |
xydy. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
ln |
x |
|
C |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
27. |
2x2 yy |
|
|
|
|
|
y2 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y2 |
2 |
|
|
|
Ce1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
28. |
y |
|
xy3 |
|
|
|
2xy. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (Ce |
x 2 |
|
1) y |
2, |
|
|
y |
0. |
|
||||||||||||||||||||||||||
29. |
x2 y |
|
|
|
|
cos2y |
1, y( |
) |
|
|
|
|
. |
|
Ответ: |
y |
|
arctgx 1 |
2 |
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30. |
( y2 |
|
|
|
2xy)dx |
x2dy |
0 . |
|
|
Ответ: x( y |
x) |
|
ln y, |
|
y |
0. |
90
31. |
y2 |
|
x2 y |
xyy . |
|
|
|
Ответ: y |
|
Ce y x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
32. |
xy |
|
y |
|
|
(x |
y) ln |
x |
y |
. |
|
Ответ: ln |
x |
y |
|
|
|
|
|
Cx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: arcsin |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
33. |
xy |
|
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
y. |
|
|
|
|
ln(Cx) sgn x. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
34. |
x |
y |
1 |
|
|
|
( y |
|
|
x |
|
2) y |
0. Ответ: ( y |
|
x |
|
2)2 |
|
|
2x |
C. |
||||||||||||||||||||||
35. (y |
2)dx |
|
|
|
(2x |
|
|
y |
|
4)dy . |
Ответ: (y 2)2 |
|
C(x |
y |
1), |
y |
1 x. |
||||||||||||||||||||||||||
36. |
( y |
|
1) ln |
|
|
y |
|
x |
|
y |
x |
. |
Ответ: ln |
y |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
C |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xarctg |
|
y |
2 |
|
|
|||||||||||||||
37. |
y |
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
Ответ: |
y |
2 |
|
Ce |
|
x |
3 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
38. |
y |
|
y |
|
|
e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
(x |
|
C)e x . |
|
|
|
|||||||||||||||||
39. |
y |
|
x |
|
|
y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
Ce x |
|
|
|
x |
1. |
|
|
|
||||||||||||||
40. |
y |
|
x 2 y |
|
|
|
x 2 . |
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
1 |
Ce x3 / 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
41. |
xy |
|
y |
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
3 |
|
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
42. |
xy |
|
y |
|
|
e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
|
e x |
|
|
|
|
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
43. |
y |
|
3y |
|
|
|
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
Cx3 |
|
|
|
|
|
x2 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
44. |
y |
2xy |
|
|
|
2xe x2 . |
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
(x2 |
|
|
|
|
C)e x2 . |
|
|||||||||||||||||||||||
45. |
y |
1 |
|
2x |
y |
|
1. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
y |
|
Cx2e1/ x |
|
|
x2 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
46. |
y |
|
y |
|
|
cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y |
|
Ce x |
|
|
1 |
(cos x |
|
|
sin x). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
47. |
y cos x |
|
y sin x |
|
sin 2x. |
Ответ: |
y |
|
C |
|
cos2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
48. |
xy y |
ln x 1. |
||||
|
|
2 y |
|
e |
x2 |
|
49. |
y |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
x |
50. |
y |
|
y tg x |
ctg x. |
|
|
||||||||
51. |
y |
y cos x |
sin 2x. |
|
||||||||||
52. |
xy |
|
2 y |
|
|
x2 . |
|
|
|
|
||||
53. |
y |
2 |
|
y |
|
|
ex (x |
2) |
. |
|
||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
54. |
(2x |
|
|
1) y |
4x |
2 . |
|
|||||||
55. |
(xy |
|
|
ex )dx |
|
x |
xdy . |
|||||||
56. |
(xy |
|
|
|
1) ln x |
|
2y . |
|
|
|||||
57. |
(2e y x) y |
1. |
|
|
|
|
||||||||
58. |
(sin2 y |
|
x ctg y) y |
|
1. |
|||||||||
59. |
y |
|
y |
|
e x |
, y(1) |
|
2 . |
||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
||||||||
60. |
y |
|
y |
|
sin x |
, |
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
61.y 2 y y2e x .
62.y x y xy2 .
63.y xy y3e x2 .
Ответ: |
y |
ln x |
|
C |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
Ответ: |
y |
|
|
C |
e |
x2 |
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ln C tg |
x |
||||||||||
Ответ: |
y |
1 |
2 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
cos x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
y |
2(sin x |
|
1) Ce sin x . |
||||||||||||
Ответ: |
y |
|
x2 |
|
|
C |
|
. |
|
|
||||||
4 |
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
y |
|
Cx 2 |
|
|
e x . |
Ответ: |
y (2x |
1)(C |
|
|
ln |
2x |
1 |
) 1. |
||||||||||
Ответ: |
y |
e x (ln |
|
|
|
x |
|
|
C), x |
0. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: |
y |
C ln2 |
|
x |
|
|
ln x. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
x |
e y |
Ce |
y . |
|
|
||||||||||||
Ответ: |
x |
(C |
cos y) sin y. |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
e |
e x |
|
|
||||||||||
Ответ: |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 . Ответ: |
y |
|
|
cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
y(e x |
Ce2x ) 1, |
y 0. |
|||||||||||||||
Ответ: |
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x ln Cx |
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
y2 |
|
|
|
|
ex 2 |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2x |
|
C |
|
|
92
64. |
|
y |
y |
xy3. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1/ 2 |
|
|
Ce2x |
|
|
||||||||||
65. |
|
y |
x3 y3 |
xy. |
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ce x2 |
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
66. |
|
x2 y |
|
y 2 |
xy. |
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
67. |
|
xy |
y |
y 2 ln x. |
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
1 |
|
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
68. |
|
y |
xy |
xy3. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Ce x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
69. |
|
xy |
2 y |
x5 y 2 . |
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 3x5 |
|
Cx 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
70. x(2 |
9xy2 )dx |
|
y(4y2 |
|
6x3)dy |
0 . Ответ: |
x2 |
3x3 y2 |
|
|
|
y4 |
C. |
||||||||||||||||||||||||||||||
71. |
|
y |
dx |
( y3 |
|
ln x)dy |
0 . |
Ответ: |
y(4ln x |
y3 ) |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72. |
|
3x2 |
|
y 2 |
dx |
|
2x3 |
5 y |
dy |
0 . Ответ: x3 |
|
xy2 |
|
5y |
|
Cy 2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
73. |
(1 y2 sin 2x)dx |
2y2 cos2 xdy |
|
0 . Ответ: |
x |
|
|
|
y2 cos2 x |
C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
74. |
(x2 |
|
y2 |
|
x)dx |
ydy |
0 . |
Ответ: 2x ln(x2 |
|
|
y2 ) C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
75. |
(x2 |
|
y2 |
|
y)dx |
xdy |
0 . |
Ответ: |
x |
|
|
|
|
arctg |
x |
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76. |
|
xy2 (xy |
y) |
1 . |
|
|
|
Ответ: 2x3 y3 |
|
3x2 |
|
|
C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
77. (2xy2 |
|
3y2 )dx |
(7 |
3xy2 )dy |
0 . Ответ: x2 |
7 |
|
3xy |
|
C, |
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
||
78. (3y 2 |
|
x)dx |
(2y 2 |
6xy)dy |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Ответ: (x |
|
y2)2 |
C |
x y2 |
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
y |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ n –го ПОРЯДКА
3.1. Дифференциальные уравнения n – го порядка.
Основные понятия
1. Дифференциальным уравнением n – го порядка называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и производные до n – го порядка включительно:
F(x, y, y , y , , y(n) ) 0. |
(3.1) |
|
Будем предполагать функцию F такой, |
что уравнение |
|
(3.1) разрешимо относительно старшей производной: |
||
y(n) |
f (x, y, y , , y(n 1) ). |
(3.2) |
Функция F или |
f может не зависеть от некоторых из |
аргументов x, y, y , , y(n 1) , но в любом случае уравнение n
– го порядка должно содержать производную y(n) .
Если, в частности, функция F является линейной
функцией аргументов y, y , y, , y(n) , то уравнение (3.1)
будет содержать искомую функцию и ее производные только в первой степени и не содержать их произведений. В этом случае уравнение (3.1) принимает вид:
y(n) p (x) y(n 1) |
p |
n 1 |
(x) y |
p |
n |
(x) y f (x) . |
(3.3) |
1 |
|
|
|
|
|
Уравнение такого вида называется линейным уравнением; если при этом f (x) 0 , то его называют линейным
однородным уравнением: если f (x) 0 , то называют линейным неоднородным уравнением.
Всякая функция y y(x) , определенная на (a,b) и n раз
непрерывно дифференцируемая на этом интервале, называется решением уравнения (3.1) в этом интервале, если она обращает это уравнение в тождество:
94
F(x, y(x), y (x), , y(n) (x)) 0,
справедливое при всех x из интервала (a,b) .
Среди дифференциальных уравнений высших порядков
простыми для изучения являются уравнения 2-го порядка |
|
F(x, y, y , y ) 0, |
(3.3) |
или в виде, разрешенном относительно старшей производной,
y |
f (x, y, y ). |
(3.4) |
Такие уравнения |
допускают простое |
механическое и |
геометрическое истолкование. Рассмотрим прямолинейное
движение |
|
материальной |
точки |
|
M |
|
по оси |
OX . |
Тогда |
||||||||||||
x, |
dx |
, |
d 2 x |
выражают |
положение, |
|
скорость |
и ускорение |
|||||||||||||
dt |
|
dt2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки |
|
M |
|
в |
момент |
времени |
|
t |
|
(рис.8). Считая, что |
|||||||||||
действующая |
на материальную |
|
точку |
сила |
есть функция |
||||||||||||||||
f |
t, x, |
|
dx |
|
|
, зависящая |
|
от времени, |
|
положения |
точки |
и ее |
|||||||||
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
скорости, |
а масса m |
1, |
согласно второму закону Ньютона, |
||||||||||||||||||
получим дифференциальное уравнение второго порядка |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
f t, x, |
dx |
|
, |
|
|
|
|
(3.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
dt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
определяющее |
закон |
движения |
|
точки |
x |
x(t) . Основной |
задачей интегрирования уравнения (3.5) является нахождение всех движений x(t) , определяемых этим уравнением, и
изучение их свойств.
x
O |
M(t) x |
Рис. 8
95
В механике наиболее полно эта задача изучена в случае, когда сила f является линейной функцией от положения
точки и ее скорости. В этом случае уравнением движения является линейное уравнение второго порядка:
|
d 2 x |
p(t) |
dx |
q(t)x |
f (t). |
|
dt 2 |
dt |
|||
|
|
|
|
||
Если коэффициенты p(t) и q(t) |
являются постоянными, |
то решение этого уравнения можно найти в квадратурах, а
при некоторых |
функциях f (t) - даже в |
элементарных |
функциях. |
|
|
Рассмотрим |
геометрическое |
истолкование |
дифференциального уравнения второго порядка. Как нам уже известно, дифференциальное уравнение первого порядка задает общее свойство семейства касательных всех его интегральных кривых. Из математического анализа известно,
что кривизна кривой y |
y(x) в каждой ее точке вычисляется |
||||||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
y |
|
. |
|
(3.6) |
||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
( y )2 3 2 |
|
|||||||
Всякое уравнение второго порядка (3.3) можно |
|||||||||
переписать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x, y, y , 1 y 2 |
3 2 |
|
y |
0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
y 2 3 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 x, y, y , |
|
|
y |
0. |
|
(3.7) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
y 2 3 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая геометрический смысл производной y |
tg |
, |
|||||||
где угол, который образует касательная к кривой y |
y(x) |
с |
осью OX , выразим вторую производную через кривизну посредством формулы (3.6). Получим:
96
|
3 2 |
3 2 |
K |
|
y K 1 y 2 |
K 1 tg2 |
|
|
. |
|
cos3 |
|||
|
|
|
|
Подставив выражения y и y через и K , уравнение (3.7) можно переписать в виде
F2 (x, y, , K) 0. |
(3.8) |
Итак, с геометрической точки зрения дифференциальное |
уравнение второго порядка выражает зависимость между координатами точки M (x, y) кривой y y(x) , направлением
касательной и кривизной в этой точке. Поэтому интегральные кривые уравнения 2-го порядка в каждой своей точке имеют заданное этим уравнением соотношение между направлением этой кривой и ее кривизной.
Если задать координаты точки M 0 (x0 , y0 ) ,
принадлежащей интегральной кривой и угловой коэффициент касательной в этой точке (т.е. направление кривой) то, по уравнению (3.8), определится и кривизна интегральной кривой в этой точке. Таким образом, начальные условия вида
y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0 |
(3.9) |
позволяют выделить из семейства интегральных кривых, задаваемого уравнением (3.3), определенную кривую.
Поскольку при данном x задание двух величин y и y
определяет интегральную кривую уравнения (3.3), то можно ожидать, что общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка будет зависеть от двух произвольных постоянных
y (x,C1,C2 ) . |
(3.10) |
Это соображение можно подкрепить таким не вполне строгим рассуждением. Если исключить из (3.10) параметры C1 и C2 для того, чтобы получить общие свойства функции в (3.10), придется это соотношение дважды продифференцировать по x :
y (x,C1,C2 ) , y (x,C1,C2 ) , y(x,C1,C2 ) ,
97
где штрихи у функции |
означают производные по x . |
Исключение параметров C1 и C2 из этой системы приведет
нас к дифференциальному уравнению, для которого (3.10) является решением.
Пример. Найти дифференциальное уравнение всех прямых на плоскости XOY , не параллельных оси OY .
Решение. Как известно из геометрии, уравнение этого семейства зависит от двух параметров:
y ax b.
Продифференцируем это уравнение дважды: y a ; y 0 . Видим, что в последнем равенстве параметры a и b автоматически исключены. Таким образом, уравнение y 0 представляет общее свойство линий y ax b, состоящее в
том, что кривизна (см. формулу (3.6)) этих линий в каждой точке равна нулю.
Обратно, интегрируя это дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеем:
dy |
0, y C1; dy C1dx, y C1x C2 |
(C1,C2 |
( , )). |
|
|
||||
dx |
||||
|
|
|
Получено то же семейство прямых с переобозначенными параметрами.
Если потребовать, чтобы искомая линия, проходила через точку ( x0 , y0 ) и имела в этой точке угловой коэффициент y k , то получим начальную задачу:
y |
0 , y(x0 ) y0 , y (x0 ) k. |
Из решения дифференциального уравнения y C1x C2 и производной y C1 найдем значения постоянных интегрирования C1 и C2 :
C1 k , y0 C1x0 C2 ; C2 |
y0 |
kx0 . |
Искомое частное решение получено: y |
kx |
( y0 kx0 ). |
2. Рассмотри постановку задачи Коши для уравнения n - го порядка. В п.1 этого параграфа была рассмотрена начальная
98
задача для дифференциального уравнения 2-го порядка
F (x, y, y , y ) |
0, |
или y |
f (x, y, y ), |
(3.11) |
|
y(x0 ) |
y0 , |
y (x0 ) y0 , |
|
||
|
|
||||
где x0 , y0 , y0 |
- заданные |
числа. |
Поставленная задача о |
нахождении решения дифференциального уравнении, удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка.
Перейдем теперь к общему случаю уравнения n – го порядка. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно старшей производной (т.е. уравнения вида (3.2)), то и понятие задачи Коши сформулируем для такого уравнения.
Задачи Коши для уравнения вида (3.2) ставится следующим образом.
Среди всех решений уравнения
y(n) |
f (x, y, y , , y(n 1) ) |
|
|
(3.12) |
||||
найти решение |
y |
y(x) , |
в котором функция |
y(x) |
вместе с |
|||
производными y (x) , |
y (x), , y(n 1) (x) принимает заданные |
|||||||
значения y0 , y0 , y0 , , y0(n |
1) при заданном значении x |
x0 , |
||||||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x0 ) y0 , |
y (x0 ) |
y0 , , y (n |
1) (x0 ) y0(n |
1) , |
(3.13) |
|||
где x0, y0 , y0 , , y0(n |
1) - заданные числа (начальные данные), |
|||||||
так что решение y |
y(x) удовлетворяет условиям |
|
|
|
||||
y y0 , y |
y0 , , y (n 1) |
y0(n 1) при x |
x0 , |
|
||||
которые называют начальными условиями этого решения. |
|
|||||||
Заданные |
числа |
y0 , y0 , y0 , , y0(n 1) |
- |
|
называют |
|||
начальными значениями |
решения y y(x) , число x0 |
- |
||||||
начальным значением независимой переменной. |
|
|
|
|
99