- •Часть 1
- •I. Случайные события
- •1. Случайные события и соотношения между ними
- •2. Пространство элементарных событий
- •II. Вероятность события
- •1. Классическое определение вероятности
- •2. Геометрическое определение вероятности
- •3. Статистическое определение вероятности
- •III. Основные теоремы теории вероятностей
- •1. Теоремы сложения вероятностей
- •2. Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности
- •3. Независимость событий
- •4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •5. Схема последовательных независимых испытаний. Формула Бернулли
- •6. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
- •7. Теорема Пуассона
- •IV. Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра высшей математики
и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы
по изучению курса
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для студентов направления подготовки бакалавров 080100.62 «Экономика» профилей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы предприятий и организаций»
очной формы обучения
Часть 1
Воронеж 2014
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,
канд. физ.-мат. наук Е.И. Максимова
УДК 517.9
Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению курса «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов направления подготовки бакалавров 080100.62 «Экономика» профилей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы предприятий и организаций» очной формы обучения. Ч. 1. / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, Е.И. Максимова. Воронеж, 2013. 49с.
В методических указаниях содержатся основные теоретические положения курса, которые иллюстрируются большим количеством задач, приводятся задачи и для самостоятельной работы.
Методические указания предназначены для организации самостоятельного изучения студентами второго курса дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержатся в файле «TVMS1. doc».
Ил. 5. Библиогр.: 4 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Н.А. Борщ
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
I. Случайные события
1. Случайные события и соотношения между ними
Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо явления, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. Современное изложение их основано на теории множеств.
Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие или, как мы будем чаще говорить, просто событие. В реальном мире случайное событие - это исход какого-либо испытания, наблюдения или эксперимента, который может произойти (наступить, осуществиться) или не произойти (не наступить, не осуществиться). Исходя из реального смысла понятия события, можно определить следующие частные случаи понятия события и следующие операции над событиями. В тех случаях, когда мы одновременно рассматриваем несколько событий, мы всегда будем предполагать, что эти события могут произойти или не произойти при одном и том же испытании (то есть, при осуществлении заданного комплекса условий ).
Событие, которое обязательно происходит при осуществлении определенного комплекса условий , называется достоверным.
Событие, которое никогда не происходит при выполнении комплекса условий , называется невозможным.
Событие называется случайным при выполнении комплекса условий , если при выполнении этого комплекса оно то происходит, то не происходит.
Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами либо . Достоверное событие обозначим буквой , невозможное – . Приведем примеры событий.
Пример 1.1. Комплекс условий - подбрасывание монеты один раз. События:
={ появление герба };
={ появление цифры };
={ появление герба или цифры };
={ появление двух гербов }.
Пример 1.2. Комплекс условий - вынимание карты из колоды в 36 карт. События:
={ появление дамы пик };
={ появление туза };
={ появление карты бубновой масти };
={ появление карты любой масти };
={ появление тройки пик }.
Введем теперь некоторые соотношения между событиями:
Если каждый раз, как происходит событие , обязательно происходит и событие , то говорят, что влечет за собой :
Здесь -- причина, -- обязательное следствие ( является достаточным признаком события , а - необходимый признак события ).
Если событие влечет за собой событие и в свою очередь влечет за собой , то события и называются равносильными или равными друг другу в данных условиях:
.
Равносильные события по сути дела выражают различные стороны одного предмета. Они являются необходимыми и достаточными признаками друг друга. Они либо вместе происходят, либо вместе не происходят. При вероятностных расчетах их можно заменять друг другом.
Событие, состоящее в наступлении обоих событий и или в их совместном происхождении, называется произведением событий и и обозначается символом
Событие, заключающееся в происхождении хотя бы одного из событий и , называется суммой или объединением событий и и обозначается
Событие, заключающееся в том, что событие происходит, а событие отсутствует при этом, называется разностью указанных событий и обозначается
- .
Понятие произведения и суммы распространяется и на большее число событий. Так, событие означает, что в результате комплекса условий произойдет хотя бы одно из событий . Событие заключается в совместном происхождении всех событий .
Два события называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения:
Событие , противоположное событию , заключается в непроисхождении , т. е. происходит тогда и только тогда, когда не происходит.
Два события называются несовместными или несовместимыми, если их совместное появление невозможно, т. е. если
.
Для несовместных событий наступление одного исключает наступление другого.
Будем говорить, что событие подразделяется на частные случаи, представляющие из себя события , если выполняются два условия:
представимо в виде суммы событий ;
В этой сумме все слагаемые попарно несовместны, т.е.
Например, при бросании игральной кости или игрального кубика событие , состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на частные случаи , состоящие соответственно в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков.
Полной группой событий в некоторых условиях называется такая совокупность или множество событий, которые включают в себя все возможные исходы испытаний в данных условиях, т. е. если – полная группа событий, то .
Для вероятностных расчетов особенно интересны полные группы попарно несовместных событий, т.е. когда
Для лучшего понимания операций над событиями обычно используют условные графические изображения – диаграммы Венна.
П усть комплекс условий состоит в том, что внутрь прямоугольника наудачу бросается точка. Попадание точки внутрь прямоугольника - достоверное событие , за пределы прямоугольника - невозможное событие .
Попадание точки внутрь левого круга - событие , правого круга - событие .
Тогда введенные выше операции над событиями могут быть представлены в виде диаграмм Вьенна, где результаты операций изображены в виде заштрихованных фигур: