Учебное пособие 800145
.pdf8.28.а) |
y 16x3 |
6x2 |
1, |
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б) |
y |
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x3 4 |
. |
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x |
2 |
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8.29. а) |
y x3 |
3x2 |
9x 11, |
б) |
y |
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x3 |
27x 54 |
. |
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x3 |
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y ( x 1)(x 3) |
2 |
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x |
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2 |
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8.30. а) |
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, |
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б) |
y |
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x 3 |
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ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ |
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Задание 1. Вычислить пределы числовых последова- |
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(5 4n)2 |
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2 |
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n2 |
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тельностей: |
а) lim |
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, |
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б) lim |
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8n |
3n 1 |
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. |
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(n 2) |
3 |
(n 3) |
3 |
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2 |
3n 3 |
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n |
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|
n |
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8n |
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Решение. |
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а) В пределе lim |
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(5 4n)2 |
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имеем неопределенность |
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3 |
(n 3) |
3 |
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n (n 2) |
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. Для раскрытия неопределенности упрощаем дробь и вы-
носим старшие степени в числителе и знаменателе:
lim |
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(5 4n)2 |
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lim |
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16n2 40n 25 |
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(n 2) |
3 |
(n 3) |
3 |
|
3 |
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2 |
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3 |
2 |
27n 27 |
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|||||||||||||||||
n |
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n n |
6n |
12n 8 n |
9n |
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n2 (16 |
40 |
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25 |
) |
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(16 |
40 |
|
25 |
) |
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lim |
16n2 40n 25 |
|
lim |
|
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n |
n2 |
|
lim |
|
|
n |
|
n2 |
|
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15n |
2 |
15n 35 |
2 |
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15 |
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35 |
15 |
35 |
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n |
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n n ( 15 n n2 ) |
n ( 15 n n2 ) |
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16 . |
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15 |
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Здесь было использовано, что при |
n величины |
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1 |
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и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
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1
n 2
стремятся к нулю (являются бесконечно малыми величи-
нами).
19
б) В пределе |
lim |
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8n2 3n 1 |
n2 |
имеем неопределенность |
2 |
|||||
|
n |
|
8n 3n 3 |
|
|
1 . Для раскрытия неопределенности 1 преобразуем дробь
и показатель степени так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом.
lim |
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8n2 3n 3 4 |
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n2 |
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|
lim |
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4 |
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n2 |
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n |
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8n2 3n 3 |
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n |
1 |
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|
8n2 3n 3 |
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|||||||||||||||||
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1 |
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(8n2 3n 3) |
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( 4) |
2 |
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( 4) |
n2 |
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lim |
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4 |
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n |
|
lim |
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e (8n2 3n 3) |
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||||||||||||||||||||
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( 4) |
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(8n2 3n 3) |
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8n |
2 |
3n 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
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|
n |
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|||||||||||||||
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4n2 |
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n2 |
(8 |
3 |
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3 |
) |
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4 |
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1 |
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lim |
e |
n |
2 |
e |
8 |
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. |
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n |
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n |
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e |
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Задание 2. Вычислить пределы функций |
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x3 4 x 3 |
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3 |
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а) |
lim |
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, |
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|
б) |
lim |
|
x 6 2 |
, |
|
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|
x |
2 |
3x 2 |
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3 |
8 |
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|
x 1 |
|
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x 2 |
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|
x |
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lim |
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sin 2 6x |
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, |
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lim |
ln( 2 3x) |
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в) |
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г). |
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x 1 . |
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1 |
cos 8x |
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x 0 |
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x 1 |
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|
Решение. |
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а) |
В пределе |
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lim |
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x3 4 x 3 |
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имеем неопределенность |
0 |
. |
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2 |
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x 1 |
x 3x 2 |
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|||||||||||
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0 |
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Многочлены числителя и знаменателя разлагаем на множите-
ли. Для этого многочлен x3 4x 3 |
разделим нацело на (x 1) , |
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используя, например, деление уголком. В результате имеем |
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|
x3 4x 3 (x 1)(x2 x 3) . |
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||||
Многочлен знаменателя разлагается на множители в со- |
|||||||||
ответствии с легко определяемыми корнями x1 1, |
x1 2 . |
||||||||
lim |
x3 4 x 3 |
lim |
( x 1)( x2 x 3) |
lim |
( x2 x 3) |
|
|
1 |
1. |
2 |
( x 1)( x 2) |
|
|||||||
|
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|||||||
x 1 |
x 3x 2 |
x 1 |
x 1 |
( x 2) |
1 |
|
20
б) В пределе lim 3 x 6 2 имеем неопределенность 0 .
x 2 x3 8 0
Для выделения множителя (x 2) в числителе умножим
числитель и знаменатель на иррационально сопряженное выражение, позволяющее собрать разность кубов, и упростим.
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3 |
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|
lim |
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(3 |
x 6 |
2) (3 ( x 6)2 23 |
x 6 |
4) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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lim |
x 6 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
8 |
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( x 6)2 23 x 6 4) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x 2 |
|
x |
|
|
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|
|
x 2 ( x 2)( x2 2 x 4) (3 |
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
( x 6 8) |
|
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x 2 ( x 2)( x2 2 x 4) (3 ( x 6)2 23 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 6 4) |
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
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|
( x 2) |
|
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|
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|
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|
lim |
|
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|
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1 |
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x 2 ( x 2)( x2 2x 4) (3 ( x 6)2 23 x 6 |
4) |
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x 2 |
( x2 2 x 4) (3 |
( x 6)2 23 |
|
x 6 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку неопределенность |
0 |
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исчезла, то предел вычисля- |
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0 |
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|||||||
ется подстановкой предельного значения x 2 . |
144 . |
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lim |
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2 |
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3 |
1 |
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2 |
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3 |
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(4 4 4) |
(4 4 4) |
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1 |
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1 |
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x 2 ( x 2 x 4) ( |
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( x 6) 2 |
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x 6 4) |
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в) В пределе lim |
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sin 2 6x |
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для раскрытия неопределен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
cos 8x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
0 |
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|||||||||||||||||||||||
ности |
0 |
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воспользуемся |
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первым замечательным пределом |
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0 |
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||||
lim |
sin (x) |
1 |
|
и формулой понижения степени из тригоно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( x) 0 |
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||||||||
метрии 1 cos 2x 2sin 2 x : |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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sin 2 6x |
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36x2 |
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|
|||||||||||
|
|
sin |
2 |
6x |
|
|
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36x |
2 |
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|
36x |
2 |
|
|
|
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|
36 |
|
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2sin 2 4x |
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x 0 1 cos 8x |
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x 0 |
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|
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|
|
|
|
x 0 sin 2 4x |
|
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32 |
|
|
8 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
2 |
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|
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|
16x2 |
|
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||||||
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|
2 |
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|
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|||||||||
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|
16x |
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||||||
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|
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|||||
|
|
г). Рассмотрим предел |
|
|
lim |
ln( 2 3x) |
. Для того, |
чтобы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x 1 |
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|
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|
|
воспользоваться вторым замечательным пределом
21
|
|
|
|
|
|
1 (x) |
1 |
e, |
|
|
||
|
|
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lim |
( x) |
|
|
||||
|
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|
( x) 0 |
|
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|
|
произведем замену t x 1. |
|
|
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|
||||||
lim ln( 2 3x) |
lim ln(1 3t ) 3lim ln(1 3t ) 3 lim |
1 |
ln(1 3t ) |
|||||||||
3t |
||||||||||||
x 1 |
x 1 |
|
|
t 0 |
t |
t 0 |
3t |
|
t 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
|
|
3lim ln(1 3t)3t 3ln e 3. |
|
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||||||
t |
0 |
|
|
|
|
|
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|
Задание 3. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y 2x4 3x в точке M(1,1).
|
Решение. |
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Уравнение |
касательной |
к |
кривой |
y f (x) |
в |
точке |
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( x0 ; f (x0 ) ) имеет вид : |
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) . |
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Так как |
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y 8x3 |
3, |
то угловой коэффициент касатель- |
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ной равен y (1) 5 . Получаем уравнение касательной |
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|||||||||||||||||||||
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y 1 5(x 1) |
или y 5x 6 . |
|
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|||||||||||
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Уравнение нормали: y 1 |
|
1 |
|
(x 1) |
или y |
x |
|
4 |
. |
|
||||||||||||||||
|
5 |
5 |
5 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
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||||
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Задание 4. Найти производные: а) y |
(x3 7x2 |
2x 2) |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
5 x 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
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|
|
sin 2 28x |
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
y sin tg 2 |
|
|
|
, |
в) |
y |
|
|
arcsin x, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
56 cos 56x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
y arctg |
|
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|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||
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|
|
|
|
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Решение.
а) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и таблицей производных, имеем
22
|
|
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|
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|
|
2x 2 |
|
|
|
|
||
dy |
|
x3 7x 2 |
|
|
|
|
|
|
x 1 x3 |
7x 2 |
|
|
||||||||||||
|
2x 2 |
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x 2 14x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x 1 (x3 7x 2 |
2x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
x 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x 2 |
14x 2 2(x 1) (x3 7x 2 2x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
10 (x 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5x3 |
27x 2 26x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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10 (x 1)3 |
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||||||||
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б) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и формулами тригонометрии при упрощении, имеем:
dy |
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sin 2 28x |
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sin 2 28x |
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||||||||
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||||||||
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sin |
tg 2 |
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sin |
tg 2 |
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||||||||||
dx |
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56 cos 56x |
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56 cos 56x |
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sin |
2 |
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2 |
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28x cos 56x sin |
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28x cos 56x |
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56 cos 2 56x |
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||||||||||
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sin 2 |
28x sin 56x 56 |
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|||||||||||||||
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2 sin 28x cos28x 28 cos 56x |
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||||||||||||||||||||||||
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56 cos 2 56x |
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|||||||||
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56(sin 28x cos28x cos 56x sin 2 28x sin 56x) |
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||||||||||||||||||||||
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56 cos 2 56x |
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||||||||
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||||||
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sin 28x(cos28x cos 56x sin 28x sin 56x) |
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|||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||
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cos 2 56x |
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||
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sin 28x cos 28x |
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sin 56x |
. |
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|
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||||||||||||
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||||||||||||||||
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|
cos 2 56x |
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|
2 cos 2 56x |
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|
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|||||||||
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1 x 2 |
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|
|
1 x 2 |
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|||||||||
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|
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||||||||||||
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в) |
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arcsin x |
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arcsin x |
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||||||||||||||
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|
x |
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|
|
x |
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||
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23
|
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x 2 (x) |
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|||||||||
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1 x 2 x 1 |
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1 |
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||||||||||||||||||||||
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x 2 |
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||||||||
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1 x 2 |
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|||||||||||||||
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||||||||
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2x |
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|||||||
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|
x |
|
1 x 2 |
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|||||||||
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|||||||||||||
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2 1 x |
2 |
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|
1 |
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|||||||
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||||||||||||
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x 2 |
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|
1 x 2 |
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|||||||||
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|
|
x 2 |
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|
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|||||
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|
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|
1 x 2 |
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|
x 2 |
1 x 2 |
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|||||||||||||
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|||||||||||||||||
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|
|
1 x 2 |
|
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|
|
|
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|
1 |
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|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
x 2 |
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|||||||||
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|||||||||||
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|
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|
|
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|
|
|
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|
1 x 2 |
|
|
x 2 1 x 2 |
1 x 2 |
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 2 1 x 2 |
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
x 2 1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
г) arctg |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 1 |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
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|
1 |
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||
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|
|
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|
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|
|
|
|
x |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||
|
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|
|
|
|
1 |
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|
|
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(x 2 1) x (x |
2 1) (x) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||||||
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|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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2x 2 (x 2 1) |
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||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
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|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
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x 2 |
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x 2 1 |
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x 2 1 |
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x |
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x |
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2x |
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x |
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x |
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x |
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1 |
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2 |
4 |
2 |
1 |
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2 |
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4 |
2 |
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Задание 5. Найти производную функции
y (cos x )ctgx
с помощью логарифмического дифференцирования.
Решение.
Прологарифмируем равенство:
24
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ln y ctgx ln(cos |
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x) . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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Продифференцируем полученное равенство по x, считая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y функцией x: |
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y |
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(ctgx) |
ln(cos |
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x ) ctgx (ln cos |
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x ) |
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y |
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( sin |
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|||||||||||||||||
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ln(cos |
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) ctgx |
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x ) |
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x |
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sin 2 |
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x |
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cos |
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x |
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2 |
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x |
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ln(cos |
x ) |
ctgx |
tg |
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x |
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sin 2 x |
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2 |
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x |
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ln(cos |
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x ) |
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tg |
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x |
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y y |
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ctgx |
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cos |
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x |
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ln(cos |
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x) |
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ctgx |
tg |
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sin |
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x |
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2 |
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x |
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sin |
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2 |
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параметрически за- |
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Задание 6. Найти производную yx |
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x ln(4 t 2 ), |
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||||||||||||||||||||||||||||
данной функции |
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y arcsin |
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4 t 2 . |
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Решение. |
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4 t 2 |
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1 |
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2t |
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|||||||||
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dy |
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yt |
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arcsin |
4 t |
2 |
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1 |
(4 t |
2 |
) |
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t |
2 |
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4 t |
2 |
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3 2 |
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dx |
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2 |
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1 |
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2 |
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2t |
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xt |
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ln(4 t |
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) |
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4 |
t |
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4 t 2 |
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4 |
|
t 2 |
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(4 t 2 ) |
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4 t 2 |
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. |
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||||||
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2 t 2 3 |
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4 t 2 |
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2 t 2 3 |
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Задание 7. Вычислить приближённо значение функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y 4 |
|
3x 10 с помощью дифференциала в точке |
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x 1,87. |
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Решение.
25
Применение дифференциала в вычислениях связано с использованием приближенного приравнивания приращения
функции |
|
y y(xо x) y(xо ) |
|
|
и дифференциала |
функции |
|||||||||||||||||||||||||
dy y (xо ) x : |
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y(xо x) y(xо ) y (xо ) x . |
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В нашем случае |
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x |
о |
2 , |
x 0,13, |
y(x ) 4 |
3 2 10 2, |
||||||||||||||||||||||
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о |
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|||
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3 |
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y (x) 4 |
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3x 10 |
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. |
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||||||||||||||
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(3x 10)3 |
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||||||||||||||||||||||
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4 4 |
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||||||||
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3 |
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Имеем: |
4 |
3 1,87 10 |
4 |
3 2 10 |
|
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( 0,13) |
||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||
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44 (3 2 10)3 |
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|||||
2 |
3(0,13) |
|
2 0,01 1,99. |
|
|
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||||||||||||||
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|||||||||||||||||
|
32 |
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|
Задача № 8. Провести полное исследование функций а) |
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
x3 |
|
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|||
|
, |
б) |
y 3 |
x3 6x2 |
|
|
и построить |
графики этих |
|||||||||||||||||||||||
(x |
3)2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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функций. |
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|||||
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y |
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x3 |
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а) |
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. |
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||||||||
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(x 3)2 |
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||||||||||
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Решение. |
|
1. Найдем |
область определения |
функции |
|||||||||||||||||||||||||
y |
|
x3 |
. Область определения функции |
y(x) ограничена |
|||||||||||||||||||||||||||
(x 3)2 |
нулями знаменателя: D( y) ( ,3)U (3, ) .
2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка
О(0,0).
3.Исследуем функцию на четность или нечетность:
y( x) ( x)3 /( x 3)2 x3 /(x 3)2 .
Очевидно, что y( x) y(x) и y( x) y(x) , поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.
26
Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.
4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.
Вертикальную асимптоту можно искать около выколотой точки x 3 . Для доказательства, что вертикальная прямая x 3 будет асимптотой, вычислим пределы справа и слева от функции y y(x) :
lim |
x3 |
= + ; lim |
x3 |
= + . |
|
(x 3)2 |
(x 3)2 |
||||
x 3 0 |
x 3 0 |
|
Поскольку односторонние пределы стремятся к бесконечности, x 3 действительно будет вертикальной асимптотой.
б) Наклонные асимптоты.
Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями y kx b при x , x
k = lim |
|
y(x) |
lim |
|
|
x3 |
|
|
|
lim |
|
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|
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x3 |
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1 ; |
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|||||
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|||||||||
x |
x |
x x(x 3)2 |
x |
|
x |
3 |
(1 |
3 |
) |
2 |
|
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|||||||||||||||
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x |
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|
|
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|||||
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||
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|
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|
|
x3 |
|
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|
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|
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b lim( y(x) kx) lim |
|
|
|
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
(x |
3) |
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
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||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
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|
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|||||||
. |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
9 |
|
|
||||
x3 x3 6x 2 |
9x |
|
|
|
|
6x 2 9x |
|
|
|
x |
|
|
(6 |
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x |
|
|
(1 |
|
|
|
) |
|
|
||||
|
|
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||||||||
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|
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|
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|
x |
|
|
|
Таким образом, прямая линия с уравнением y x 6 яв-
ляется асимптотой при x . Те же самые значения пределов для k и b получим и при x , поэтому найденная прямая является асимптотой и при x .
5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .
27
y |
3x 2 (x 3)2 x3 2(x 3) |
|
x 2 (x 3)(3x 9 2x) |
|
|||
(x 3)4 |
|
|
(x 3)4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 2 (x 9) |
. |
|
|
||
|
(x |
3)3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Критическими точками являются стационарные точки |
|||||||
x 0 , x 9 . При y >0 функция возрастает, при y |
<0 убыва- |
||||||
ет. Знак производной будет меняться в точках x 9 |
и x 3 . |
||||||
6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости гра- |
фика функции, а так же точки перегиба. Для этого найдем вторую производную
y |
|
(2x(x 9) x2 )(x 3) |
3 x2 (x 9)3(x 3) |
2 |
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x |
3 6 |
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3x((x 6)(x 3) x(x 9)) |
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54x |
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. |
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x 3 4 |
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x 3 4 |
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Точкой, где y может менять знак, является точка х = 0, |
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следовательно, x 0 является точкой перегиба. Если |
y < 0, |
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функция выпукла, при y |
> 0 - вогнута. |
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7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы 1.
8.Строим график функции, нанося асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и точки перегиба графика, соединяя их плавной кривой
(рис. 1).
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Таблица 1 |
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x |
( ,0) |
0 |
(0,3) |
3 |
(3,9) |
9 |
(9, ) |
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+ |
0 |
+ |
не |
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0 |
+ |
y (x) |
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сущ. |
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0 |
+ |
не |
+ |
|
+ |
y (x) |
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сущ. |
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y(x) |
возр., |
Т. |
возр., |
не |
убыв., |
ми- |
возр. |
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вып. |
перег. |
вогн |
сущ. |
вогн. |
ним. |
вогн. |
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|
. |
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