Учебное пособие 800174
.pdfряда, абсолютно сходится, т.е. сходится числовой ряд
a0 |
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
... |
|
a |
|
|
|
b |
|
... |
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ряд (3.1) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать на отрезке ; . Вычислим коэф-
фициенты an и bn. Для этого проинтегрируем обе части равенства (3.2) в пределах от –π до π:
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
f x dx |
cosnxdx sinnxdx |
|||||||
|
|
|
||||||
2 |
|
|||||||
dx |
. |
|||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
Вычислим каждый интеграл, встречающийся в правой часи:
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
dx |
|
|
|
x |
a , |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinnx |
|
|
|
|||||
an cosnxdx an cosnxdx an |
|
0, |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosnx |
|
|
|
|
||||
bn sinnxdx bn sinnxdx bn |
|
|
|
0. |
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x dx a0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a0 |
|
f x dx . |
|
|
|
(3.4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Приведем формулы, которые понадобятся нам для вычисления остальных коэффициентов тригонометрического ряда.
40
|
sinnx |
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
cosnxdx |
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 , n 0, |
(3.5) |
||||
|
|||||||||
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
sinnxdx 0 |
при любомn, |
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
0, m n |
|
|||
|
|
|
|
||||||
cosmx cosnxdx |
cos m n x cos m n x dx |
(3.7) |
|||||||
|
|
||||||||
2 |
, m n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
sinmx cosnxdx |
|
sin m n x sin m n x dx 0, |
(3.8) |
||||||
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0, m n |
|
||||
|
|
|
|
||||||
sinmx sinnxdx |
|
|
cos m n x cos m n x dx |
(3.9) |
|||||
|
|||||||||
2 |
|
|
,m n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Формулы (3.5) – (3.9) показывают, что система функций
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,... обладает свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этой системы на интервале, имеющем длину 2π, равен нулю.
Для отыскания коэффициентов an умножим обе части равенства (3.2) на cosmx и проинтегрируем полученное равенстов
впределах от –π до π:
|
|
|
|
f x cosmxdx |
a0 |
cosmxdx |
|
||
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
cosmx sinnxdx |
|
||
|
a |
|
cosmx cosnxdx b |
|
. |
||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
В силу формул (3.5), (3.7), (3.8) из последнего равенства при m n получаем:
f x cosnxdx an .
41
Отсюда
|
1 |
|
|
|
an |
f x cosnxdx. |
(3.10) |
||
|
||||
|
|
|
|
Аналогично, умножив обе части равенства (3.2) на sinmx
и проинтегрировава почленно на отрезке ; , найдем коэф-
фициенты bn:
|
1 |
|
|
|
bn |
f x sinnxdx. |
(3.11) |
||
|
Коэффициенты, определяемые по формулам (3.4), (3.10), (3.11), назыыаются коэффициентами Фурье функции f x , а
тригонометрический ряд (3.1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f x .
3.2. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций
Выясним условия, при которых ряд Фурье функции f x
сходится и ео сумма равна значениям данной функции в соответствующих точках. Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.
Теорема Дирихле. Пусть 2π-периодическая функция f x
на отрезке ; удовлетворяе следующим условиям:
1. f x кусочно-непрерывна, т.е. неррерывна или имеет
конечное число точек разрыва первого рода;
2. f x кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрез-
ке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом изних функция монотонна.
Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке при этом:
42
1. В точках нерерывности функции сумма ряда S x сов-
падает с самой функцией: S x f x ;
2. В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему
арифметическому пределов функции f x |
справа и слева, т.е. |
||
если x0 – точка разрыва функции f x , то |
|
|
|
S x0 |
f x0 0 f x0 0 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
Класс функций, удовлетворяющих условиям теоремы Ди- |
рихле, довольно широк. Поэтому ряды Фурье наши широкое применение в разичных разделах математики и ее приложениях.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f x с перио-
дом 2π, заданную следующим образом:
f x x, x .
Решение. Эта функция кусочно-монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Найдем коэффициенты ряда:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
f x dx |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, dv cosnxdx |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
an |
|
|
|
f x cosnxdx |
|
|
|
xcosnxdx |
du dx, v |
sinnx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
sinnx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
n sinnxdx |
0. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, dv sinnxdx |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
bn |
|
|
|
f x sinnxdx |
|
|
|
xsinnxdx |
du dx, v |
cosnx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
|
1 |
|
|
cosnx |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
n 1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
cosnxdx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем ряд Фурье:
|
1 n 1 2 |
|
sin x |
|
sin2x |
|
sin3x |
n 1 sinnx |
|
|||
f x |
|
sinnx 2 |
|
|
|
|
|
|
... 1 |
|
|
... . |
n |
|
|
|
|
n |
|||||||
n 1 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
Это равенство имеет место во всех точках, |
кроме точек |
разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа слева, т.е. нулю.
|
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f x |
с перио- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
дом 2π, заданную следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
1, |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. Эта функция кусочно-монотонная и ограни- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ченная. Вычислим ее коэффициенты Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a0 |
f x dx |
|
1 dx 1dx |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinnx |
|
|
0 |
sinnx |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
an |
|
|
|
|
|
1 cosnxdx |
cosnxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosnx |
|
0 |
cosnx |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
bn |
|
|
|
1 sinnxdx sinnxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
при четном n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cosn 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
при нечетном n. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, для данной функции ряд Фурье имеет вид:
|
2 1 cosn |
|
f x |
|
sinnx |
n |
||
n 1 |
|
|
|
44 |
|
4 |
sin x |
|
sin3x |
|
sin5x |
sin 2k 1 x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... . |
|
1 |
|
5 |
2k 1 |
|||||
|
3 |
|
|
|
Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В точках разрыва сумма ряда равна нулю.
45
3.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция |
f x , |
то |
|||||||||||||||||
произведение |
|
f x cosnx |
есть |
функция |
также нечетная, |
а |
|||||||||||||
f x sinnx – четная. Следовательно: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x dx 0, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
an |
|
|
f x cosnxdx 0, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
bn |
|
|
f |
x sinnxdx |
|
f x |
sinnxdx . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Таким образом, ряд Фурье для нечетных функций имеет вид: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x bn sinnx. |
|
(3.12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
f x , |
|
|
Если в ряд Фурье разлагается четная функция |
то |
||||||||||||||||||
произведение |
f x cosnx |
|
есть четная функция, а f x sinnx |
– |
|||||||||||||||
нечетная. Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
a0 |
|
|
|
f x dx |
|
f x dx , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
an |
|
f |
x cosnxdx |
|
f x |
cosnxdx, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
bn |
|
|
f x sinnxdx 0. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ряд Фурье для четной функции имеет вид:
46
|
a0 |
|
|
|
f x |
an cosnx. |
(3.13) |
||
2 |
||||
|
|
n 1 |
|
Ряды (3.12) и (3.13) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по синусам и косинусам соответственно.
Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при отыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f x x,
x ; , T 2 .
|
Решение. |
Функция |
f x |
|
– нечетная. |
|
Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||
an 0, |
n 0,1,2,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, dv sinnxdx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
bn |
|
xsinnxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosnx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
du dx, v |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosnx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cosnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
cosn |
|
|
|
|
sinnx |
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
1 n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ряд Фурье содержит только синусы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
f x |
|
2 |
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
sin x |
|
|
sin2x |
|
sin3x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sinnx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точках разрыва функции сумма ряда Фурье равна:
S 0. 2
3.4. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
В ряд Фурье можно разлагать и периодические функции с
47
периодом, отличным от 2π. Пусть функция f x , определенная на отрезке l;l , имеет период T 2l (где l – произвольное по-
ложительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.
Сделав подстановку x |
l |
|
t , данную функцию f x пре- |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
образуем в функцию t f |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
t |
, которая определена на от- |
||
|
||||||
|
|
|
|
резке ; и имеет период T 2 .
Функцию t можно разложить в ряд Фурье на отрезке
; :
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
t |
an cosnt bn sinnt , |
||||||
|
2 |
|||||||
где |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
||||
an |
t cosntdt , |
bn |
t sinntdt. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к старой переменной x и заметив, что t x , l
dt dx , получим: l
f x |
a0 |
|
|
|
a |
|
cos |
nx |
b sin |
nx |
, |
(3.14) |
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
n |
l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
f x dx , |
|
|
|
(3.15) |
||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|||
an |
f x |
cos |
dx, |
|
|
|
(3.16) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
l |
l |
|
|
|
l
48
1 |
l |
nx |
|
|
||
f x sin |
|
|
||||
bn |
|
|
|
dx. |
(3.17) |
|
l |
l |
l
Ряд (3.14) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (3.15), (3.16) и (3.17), называется рядом Фурье для функции f x с периодом T 2l .
Все теоремы, которые имели место для рядов Фурье 2πпериодических функций, сохраняются и для рядов Фурье функ-
ций, период которых T 2l . |
В частности, если функция f x |
на отрезке l;l четная, то ее ряд Фурье имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
f x |
an cos |
, |
|
(3.18) |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
l |
|
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
nx |
||||||||||||
|
f x dx, |
f x cos |
||||||||||||||||||
a0 |
|
|
an |
|
|
|
dx. (3.19) |
|||||||||||||
l |
l |
l |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функция f x нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f x |
|
bn sin |
, |
|
(3.20) |
||||||||||||
|
|
|
2 |
l |
|
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
bn |
|
f x sin |
|
|
dx. |
|
(3.21) |
||||||||||
|
|
|
l |
|
l |
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x x на |
|||
Пример. |
Разложить в ряд Фурье |
функцию |
нтервале 4;4 .
Решение. Данная функция нечетная и удовлетворяет условиям Дирихле. По формулам (3.20) и (3.21) при l 4 имеем:
|
nx |
|
|
f x bn sin |
. |
||
4 |
|||
n 1 |
|
|
|
49 |
|
|