Учебное пособие 800414
.pdfв центре плана, а полученную при этом композицию используют для получения математического описания процесса в виде многочлена второй степени. Отсюда и произошло название метода: центральное композиционное планирование.
Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:
n |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,000 |
|
1,215 |
1,414 |
1,547 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования. Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП ищут в следующем виде:
y b* b X |
1 |
b |
X |
2 |
... b |
n |
X |
n |
|
|||
0 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
b12 X1X2 |
|
... b(n 1)n Xn 1 Xn |
|
(2.23) |
||||||||
b |
X* ... b |
nn |
X *. |
|
|
|
|
|||||
11 |
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Переменные величины
|
|
|
1 |
N |
|
|
X*ji |
X 2ji |
|
X 2ji |
|
||
N |
(2.24) |
|||||
|
|
|
j 1 |
(j -номеропыта;i-номерфактора)
введены для того, чтобы матрица планирования была ортогональна и коэффициенты регрессии определялись независимо друг от друга по результатам опытов.
Для того, чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме
30
y b0 b1X1 b2X2 ... bnXn
b12X1X2 ... b(n 1)nXn 1Xn |
|
|
(2.25) |
b11X12 b22X22 ... bnn X2n ,
находят величину
|
b |
N |
|
b |
N |
|
|
b0 b0* |
11 |
j 1 |
X2ji ... |
nn |
j 1 |
X 2jn. |
(2.26) |
N |
N |
В табл. 2.6. приведена в качестве примера матрица ортогонального ЦКП для двух факторов, а на рис. 2.3 изображена схема этих опытов.
Таблица 2.6
Ортогональное ЦКП для двух факторов
Система |
Номер |
X1 |
X2 |
X1X2 |
X1* |
X2* |
|
опытов |
опыта |
|
|
|
|
|
|
Полный |
1 |
1 |
1 |
+1 |
+0,33 |
+0,33 |
|
факторный |
2 |
1 |
1 |
1 |
+0,33 |
+0,33 |
|
эксперимент |
3 |
1 |
+1 |
1 |
+0,33 |
+0,33 |
|
Опыты |
4 |
1 |
+1 |
+1 |
+0,33 |
+0,33 |
|
5 |
+1 |
0 |
0 |
+0,33 |
-0,67 |
||
в звездных |
6 |
1 |
0 |
0 |
+0,33 |
-0,67 |
|
точках |
|||||||
7 |
0 |
+1 |
0 |
0,67 |
+0,33 |
||
|
|||||||
Опыт в |
8 |
0 |
1 |
0 |
0,67 |
+0,33 |
|
центре плана |
9 |
0 |
0 |
0 |
0,67 |
0,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31
|
X2 |
||
|
*+1 |
||
–1* |
|
|
*+1 X 1 |
|
|
||
|
|
||
|
–1* |
Рис. 2.3. Схема опытов ортогонального ЦКП для двух факторов:
— опыты полного факторного эксперимента; * – опыты в звездныхточках; — опыт в центре плана
Коэффициенты регрессии при ортогональном ЦКП рассчитываются по следующим формулам:
|
|
* |
|
1 |
N |
|
|
|
|
b |
|
|
|
j 1 |
y |
, |
(2.27) |
|
|
N |
||||||
|
0 |
|
j |
|
|
|||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
X ji yj |
|
|
|
|
|||
bi |
j 1 |
|
|
|
(гдеi 0), |
(2.28) |
||
N |
|
|
|
|||||
|
(X ji )2 |
|
|
|
|
j 1
32
|
N |
|
|
|
X ji X jk yj |
|
|
bik |
j 1 |
(гдеi k), |
(2.29) |
N |
(X ji X jk )2 j 1
N
X*ji yj
bii |
j 1 |
. |
(2.30) |
N |
(X*ji )2
j 1
Для расчета оценок дисперсий в определении коэффициентов регрессии используют следующие выражения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2* |
|
|
y |
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
N |
||
|
|
Sb2 Sb2* |
nSb0 |
|
|
X 2ji , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
N |
|
|
j 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sb2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
(гдеi 0), |
||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i |
|
|
|
(X ji )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
(гдеi k), |
|||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
bjk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(X ji X jk )2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|||||
|
|
|
|
|
Sb2 |
|
|
|
|
y |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ii |
|
(X |
|
*ji )2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
33
Коэффициент bi, считается значимым, если |
bi |
Sb t ,n . |
|
|
i |
Аналогично проверяется значимость остальных коэффициентов регрессии. Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера (2.18).
2.8. Метод ротатабельного планирования
Метод ротатабельного планирования эксперимента позволяет получать более точное математическое описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП, что достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного» плеча α. В табл. 2.7 приведены основные характеристики матриц ротатабельного планирования.
При ротатабельном ЦКП для вычисления коэффициентов регрессии и соответствующих оценок дисперсий находят следующие константы:
A |
1 |
|
, |
2B (n 2)B n |
|||
B |
nN |
, |
|
|
|
(n 2)(N N0 )
C N ,
N N0
где n – число факторов;
N – общее число опытов ротатабельного ЦКП; N0 – число опытов в центре плана.
(2.36)
(2.37)
(2.38)
34
Таблица 2.7
Характеристики ротатабельного ЦКП
|
Число опытов |
Число |
Число |
Общее |
|
|
Число |
опытов |
опытов в |
α |
|||
факторного |
число |
|||||
факторов |
планирования |
в звездных |
центре |
опытов |
|
|
|
точках |
плана |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
4 |
5 |
13 |
1,414 |
|
3 |
8 |
6 |
6 |
20 |
1,680 |
|
4 |
16 |
8 |
7 |
31 |
2,000 |
|
5* |
32 |
10 |
10 |
52 |
2,378 |
|
5** |
16 |
10 |
6 |
32 |
2,000 |
*Полный факторный эксперимент.
**Эксперимент по методу дробных реплик.
На основании результатов эксперимента вычисляют следующие суммы:
|
|
N |
|
|
|
S0 |
yj , |
(2.39) |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
N |
|
|
|
Si |
X ji yj |
(гдеi 1,2,...,n), |
(2.40) |
|
|
j 1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
Sik X ji X jk yj |
(гдеi k), |
(2.41) |
||
|
j 1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
Sii |
X 2ji yj |
(гдеi 1,2,...,n). |
(2.42) |
j 1
Формулы для расчета коэффициентов регрессии имеют следующий вид:
35
|
|
|
|
|
2AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S0B(n 2) C Sii , |
(2.43) |
|||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi |
|
|
CSi |
, |
|
|
(2.44) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
C |
2S |
ik |
|
|
|
(гдеi k), |
|
(2.45) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
BN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
AC |
S |
|
|
C B(n 2) n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
ii |
|
N |
|
|
|
|
ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.46) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C(1 B) Sii |
|
2BS0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|||||
Оценки дисперсий в определении коэффициентов |
|||||||||||||||||||||||||||||
регрессии вычисляют по следующим формулам: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Sb2 |
|
2AB(n 2) |
Sвоспр2 , |
|
(2.47) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.48) |
||
Sb2 |
|
Sвоспр |
|
|
|
|
(гдеi 1,2,...,n), |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
N N0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.49) |
||
|
|
Sb2 |
|
|
C |
|
Sвоспр |
(гдеi k), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.50) |
|||
Sb2 |
AC S |
воспр |
B(n 1) (n 1) . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ii |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В ротатабельном ЦКП принято считать, что коэффициент |
|||||||||||||||||||||||||||||
bi значим, если |
|
bi |
|
Sb |
t ,n . Аналогичные условия значимости |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
справедливы и для других коэффициентов регрессии. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Оценку дисперсии адекватности рассчитывают по |
|||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||
|
|
(yэj yjp )2 Sвоспр2 |
(N0 1) |
(2.51) |
|||||
Sад2 |
|
j 1 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
N |
(n 2)(n 1) |
|
(N0 1) |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
С ней связано число степеней свободы: |
|
||||||||
fад |
N |
(n 2)(n 1) |
(N0 1). |
(2.52) |
|||||
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Проверку |
|
адекватности |
уравнения |
регрессии |
|||||
осуществляют с помощью критерия Фишера [3, 4, 5]. |
|
Пример. Рассмотрим ротатабельное ЦКП для двух факторов. Матрица планирования и результаты эксперимента приведены в табл. 2.8.
Таблица 2.8 Матрица планирования и результаты эксперимента
Система |
Номер |
X1 |
X 2 |
|
X3 |
X12 |
X22 |
yэj |
yjp |
опытов |
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полный |
1 |
1 |
1 |
|
+1 |
+1 |
+1 |
66,8 |
67,4 |
факторн |
2 |
+1 |
1 |
|
1 |
+1 |
+1 |
66,2 |
66,8 |
ый |
3 |
1 |
+1 |
|
1 |
+1 |
+1 |
74,8 |
75,4 |
экспери- |
4 |
+1 |
+1 |
|
+1 |
+1 |
+1 |
67,8 |
68,4 |
мент |
5 |
+1,41 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
62,1 |
62,8 |
|
6 |
1,41 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
67,5 |
68,1 |
Опыты в |
7 |
0 |
+1,41 |
|
0 |
0 |
2 |
76,4 |
76,8 |
"звездны |
8 |
0 |
1,41 |
|
0 |
0 |
2 |
69,6 |
70,2 |
х" точках |
9 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
66,3 |
66,7 |
|
10 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
67,2 |
66,7 |
Опыты в |
11 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
67,0 |
66,7 |
центре |
12 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
66,2 |
66,7 |
плана |
13 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
67,2 |
66,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
Для нахождения коэффициентов регрессии вычислим следующие вспомогательные коэффициенты:
|
2 13 |
|
B |
|
0.81; |
|
||
|
(2 2)(13 5) |
1
A 2 0.81(2 2) 0.81 2 0.5;
C 13 1.63. 8
На основании результатов опытов вычислим вспомогательные суммы:
13
S0 yэj 885.1;
j 1
13
S1 Xj1yэj 15.2;
j 1
13
S2 Xj2 yэj 19.2;
j 1
13
S12 Xj1Xj2yэj 6.4;
j 1
13
S11 X2j1yэj 535.6;
j 1
38
13
S22 X 2j2 yэj 567.6.
j 1
Коэффициенты регрессии рассчитываем по формулам
(2.43) — (2.46):
b |
2AB |
S |
|
B(n 2) C(S |
S |
|
) |
|
2 0.5 0.81 |
[885.1 0.81 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
N |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(2 2) 1.63(535.6 567.6)] 66.7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
CS1 |
|
|
1.63( 15.2) |
|
1.89; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
CS2 |
|
|
1.63 19.2 |
2.41; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
N |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
C2S |
22 |
|
|
(1.63)2 ( 6.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.61; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.81 13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
BN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
b |
AC |
S |
|
C B(n 2) n C(1 B)(S |
|
|
S |
|
|
) 2BS |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
N |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
22 |
|
|
0 |
|
||||||
|
0.5 1.63 |
{535.6 1.63[0.81(2 2) 2] 1.63(1 0.81) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(535.6 567.6) 2 0.81 885.1} 0.6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
AC |
S |
|
|
C B(n 2) n C(1 B)(S |
|
S |
|
) 2BS |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
22 |
|
22 |
11 |
22 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 1.63{567.6 1.63[0.81(2 2) 2] 1.63(1 0.81) 13
(535.6 567.6) 2 0.81 885.1} 3.4.
Оценку дисперсии воспроизводимости можно найти на основании результатов опытов, проведенных в центре плана.
39