Учебное пособие 800421
.pdfРис. 2.11. Временная и векторная диаграммы ёмкостного элемента
В общем случае напряжение и ток сдвинуты друг относительно друга на угол φ. Для конкретики приняв начальную фазу напряжения ψu>0, а начальную фазу тока ψi=ψu-φ <0, причем по величине ψu>ψi, имеем сдвиг фаз между напряжением и током
φ>0.
Тогда выражение для мгновенной мощности имеет следующий вид:
p(t) u(t) i(t) Um sin(ωt ψu ) Im sin(ωt ψi ) |
|
|||||
Um sin(ωt ψu ) Im sin(ωt ψu φ) |
|
|||||
|
UmIm |
cos φ cos(2ωt ψ |
|
ψ |
) |
(60) |
|
u |
|
||||
2 |
|
i |
|
|
||
|
ψi ). |
|
||||
UIcos φ UIcos(2ωt ψu |
|
Временная диаграмма, иллюстрирующая изменение мгновенных значений тока, напряжения и мощности для указанного выше случая, представлена на рис. 2.12, там же показана векторная диаграмма действующих значений тока и напряжения.
Из выражения для мгновенной мощности следует, что мощность имеет постоянную составляющую UIcosφ и переменную, изменяющуюся с двойной частотой.
51
Положительная мощность соответствует поступлению энергии из внешней сети в цепь, а отрицательная – возврату энергии во внешнюю сеть.
Рис. 2.12 [1]
Так как мощность определяется произведением тока и напряжения, то потребление энергии в цепи происходит в интервалы времени, когда обе величины имеют одинаковый знак
(рис. 2.12).
Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности p(t) за период Т:
|
|
|
|
|
1 |
T |
1 |
T |
|
|
|
|
|
P |
p(t) dt |
u(t) i (t)dt . |
(61) |
||||
|
|
|
T |
T |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда можно записать: |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
||
P |
Um sin(ωt ψu ) Im sin(ωt ψi ) dt |
|
||||||||
T |
(62) |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
UmIm |
cos φ UIcos φ RI2 . |
|
|||||||
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде тепло-
52
ты на участке цепи с сопротивлением R. Единица измерения активной мощности Ватт (Вт).
Под реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения на участке цепи на ток, протекающий по этому участку, и на синус угла φ между напряжением и током:
Q UIsin φ ХI2 . |
(63) |
Единица измерения реактивной мощности – вольтампер реактивный (ВАр).
Величина, объединяющая активные реактивные мощности, называется полной мощностью:
S UI . |
(64) |
Единица измерения полной мощности – вольт-ампер
(ВА).
Полная мощность не имеет физического смысла, но её можно определить как максимально возможную активную мощность, т.е. активную мощность при cosφ=1.
Для того, чтобы вычислить полную мощность нужно комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:
~ |
|
|
|
|
|
S U I . |
(65) |
|
Можно расписать |
|
|
S UIej ψu ψi UIcos φ jUI sin φ P jQ . |
(66) |
Таким образом, активная мощность Р является действительной частью (Re), а реактивная Q представляет собой мнимую часть (Im) полной мощности.
53
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ R, L, C ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Пусть по участку электрической цепи с последовательно соединенными резистивным, индуктивным и ёмкостным элементами протекает синусоидальный ток, и известны его мгновенное значение i(t)=Im ∙sin(ωt+ψi) и численные значения параметров R, L, C (рис. 2.13, а).
|
|
|
|
|
|
Необходимо |
опре- |
|||
|
|
|
делить |
выражение |
для |
|||||
|
|
|
мгновенного значения на- |
|||||||
|
|
|
пряжения на этом участке. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Сначала |
запишем |
|||
|
|
|
для |
|
этого |
участка |
цепи |
|||
|
|
|
уравнение |
по |
второму |
|||||
|
|
|
закону |
Кирхгофа |
для |
|||||
|
|
|
мгновенных |
|
значений |
|||||
|
|
|
напряжений на пассивных |
|||||||
|
|
|
R, |
|
L, |
C |
|
элементов: |
||
|
|
|
u(t) uR (t) uL (t) uC (t). |
|||||||
|
Рис. 2.13 [1] |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
В интегрально-дифферинциальной форме записи оно |
||||||||||
примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) Ri(t) L |
di(t) |
|
1 |
i(t)dt. |
|
|
(67) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
C |
|
|
|
|
Изобразим синусоидальные напряжения с помощью комплексных величин (рис. 2.13, б). Тогда при переходе к действующим комплексным значениям напряжений справедливо выражение:
54
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
U UR UL UC |
RI |
jωL I |
( j |
ωC |
)I |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[R j(ωL |
|
)] I [R jХ |
|
jХ |
|
|
] I |
(68) |
||||||||
|
|
L |
C |
|||||||||||||
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I ZI, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
[R j(Х |
L |
Х |
C |
)] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Z R jXL |
( jXC ) R j(XL XC ) |
|
комплекс- |
ное сопротивление цепи с последовательным соединением элементов R, L, C элементов.
Очевидно, что при последовательном соединении в цепях синусоидального тока комплексные сопротивления отдельных участков цепи складываются так же, как и в цепях постоянного тока, но с учетом их характера.
Комплексное действующее значение напряжения на всем участке имеет вид:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 (ωL |
)2 e jφ Iejψi |
R 2 (X |
L |
X |
C |
)2 e jφ Iejψi |
(69) |
||||
|
||||||||||||
|
|
ωC |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Uejψu , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
U |
R2 (ωL |
)2 |
I |
R2 (X |
L |
X |
C |
)2 |
|
I |
|
||
|
||||||||||||||
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
действующее значение напряжения на всем участке; |
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
i |
начальная |
фаза |
напряжения |
|
на |
всем |
участке; φ угол сдвига фаз между напряжением на всем
участке и током.
Амплитудные значения тока и напряжения в 2 больше действующих, поэтому выражение для амплитудного значения напряжения на всем участке имеет вид:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
m |
|
R 2 (ωL |
)2 I |
m |
R 2 |
(X |
L |
X |
C |
)2 |
I |
m |
. |
(70) |
|||
ωC |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда искомое выражение для мгновенного значения |
||||||||||||||||||
напряжения на всем участке имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) Um sin(ωt ψu ) R 2 (Xl XC )2 Im sin(ωt ψi φ).
Представим комплексное сопротивление в символической форме (комплексной форме):
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z R2 |
(ωL |
|
)2 e jφ |
|
R2 |
(X |
L |
X |
C |
)2 e jφ zejφ , (71) |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
z R2 |
(ωL |
)2 |
|
R 2 (X |
L |
X |
C |
)2 |
модуль |
|||||||||||
ωC |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексного сопротвления, который называют полным сопротивлением цепи с последовательным соединением элементов R, L, C элементов;
|
|
|
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
C |
|
arctg |
XL |
XC |
аргумент |
|
|
|
|
||||||||
u |
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексного сопротивления явлеется уголом сдвига фаз между напряжением и током на данном участке цепи.
Сдвиг фаз определяется соотношением реактивных и активных параметров сопротивлений, включенных на участке цепи.
Возможны три ситуации соотношения реактивных и активных параметров:
1)если L 1 C , ХL>XC, то угол φ>0, ток отстает
по фазе от напряжения или напряжение опережает ток по фазе, в данном случае цепь имеет активно-индуктивный характер;
2) |
если L 1 C , ХL>XC, то угол φ<0, ток |
опережает напряжение по фазе или напряжение отстает от тока по фазе, в данном случае цепь имеет активно-ёмкостной характер;
3)если L 1 C , ХL=XC, то угол φ=0, ток
совпадает по фазе с напряжением и цепь ведет себя как чисто активное сопротивление (характер цепи чисто активный). Такой режим работы цепи называют режимом резонанса напряжений.
56
Выше были рассмотрены характеры напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. И было отмечено, что на сопротивлении ток и напряжение по фазе совпадают, на индуктивности напряжение опережает ток на 900, а на ёмкости напряжение отстаёт от тока на 900, то есть должно быть повернуто относительно вектора тока на угол 900 в отрицательном направлении (а на индуктивности в положительном). Это обстоятельство будем учитывать при построении векторных диаграмм на комплексной плоскости. В соответствии с тремя возможными ситуациями соотношения между реактивными сопротивлениями XL и XC, рассмотренными выше, построим три векторные диаграммы для каждого из случаев (рис. 2.14, а, б, в).
При построении векторных дианрамм для простоты принимаем начальную фазу тока равной нулю ψi=0.
а) |
б) |
в)
Рис. 2.14. Векторные диаграммы для разных соотношений реактивных параметров [5]
57
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ R, L, C ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Пусть к участку электрической цепи с параллельным соединенными резистивным, индуктивным и ёмкостным элементами приложено синусоидальное напряжение, и известны его мгновенное значение u(t)=Um ∙sin(ωt+ψu) и численные значения параметров R, L, C (рис. 2.13, а).
Необходимо определить выражение для мгновенного значения суммарного тока на этом участке.
Сначала запишем для этого участка цепи уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений R, L, C элементов:
i(t) iR (t) iL (t) iC (t), |
(72) |
в интегрально-дифферинциальной форме записи оно примет
вид: i(t) |
u(t) |
|
1 |
u(t)dt C |
du(t) |
. |
|
|
|
||||
|
R |
|
L |
|
dt |
Изобразим синусоидальные токи с помощью комплексных величин, тогда при переходе к действующим комплексным значениям токов справедливо выражение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I I |
|
|
I |
|
I |
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
U |
|
|
|
|
|
|
||
R |
L |
C |
|
|
|
j / ωC |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
jωL |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[ |
R |
j( |
ωL |
|
ωC)] U [g |
j(bL bC )] U |
|
YU, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
Y [ |
1 |
|
j( |
|
1 |
ωC)] g j(b |
|
b |
|
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
L |
C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
ωL |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(73)
ком-
плексная проводимостью цепи с параллельным соединением элементов R, L, C, которая определяется как сумма проводимостей параллельных ветвей;
58
g R1 активная составляющая проводимости;
bL 1 реактивная индуктивная составляющая проωL
водимости;
bC ωC реактивная емкостная составляющая прово-
димости.
Комплексное действующее значение суммарного тока на всем участке имеет вид:
|
|
|
j |
Ue |
jψu |
yU e |
j(ψu φ) |
Ie |
jψi |
, |
(74) |
|
I YU ye |
|
|
|
|||||||||
где I |
g2 (b |
L |
b |
C |
)2 |
U yU действующее значе- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние суммарного тока;
ψi ψu φ начальная фаза суммарного тока;
Амплитудные значения тока и напряжения в 2 больше действующих, поэтому выражение для амплитудного значения суммарного тока на всем участке имеет вид:
I |
m |
|
g2 (b |
L |
b |
C |
)2 U |
m |
yU . |
(75) |
|
|
|
|
|
m |
|
Тогда искомое выражение для мгновенного значения суумарного тока на всем участке имеет вид:
i(t) Im sin(ωt ψi ) g2 (bL bC )2 Um sin(ωt ψu φ). (76)
Запишем комплексную проводимость с параллельным соединением элементов R, L, C в показательной форме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(bL bC ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jarctg |
ye jφ , (77) |
|
Y g j(bL bC ) g2 |
(bL bC )2 e |
|||||||||||
g |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
y |
g2 (b |
L |
b |
C |
)2 |
|
модуль |
комплексной |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проводимости, который называют полной проводимостью цепи с последовательным соединением элементов R, L, C элементов;
59
arctg |
bL bC |
arctg |
1/ L C |
угол сдвига фаз |
|
|
|||
|
g |
1/ R |
|
между напряжением, поданным на вход участка цепи и суммарным током, который определяется соотношением активной и реактивной проводимостей.
Построим векторную диаграмму токов и напряжения (рис. 2.16) приложенного к данному участку цепи, приняв начальную фазу напряжения, для простоты, за ноль ψu 0.
При построение диаграммы примем, что bL bC .
При построение векторной диаграммы будем учитывать, что ток активного элемента совпадает по фазе с напряжением, поэтому вектор этого тока изображается параллельно вектору напряжения; ток идеального индуктивного элемента отстает от напряжения на 900, поэтому вектор этого ток повернут относительно вектора напряжения на 900 по часовой стрелке; ток ёмкостного элемента опережает напряжение на 900, поэтому вектор этого тока повернут относительно вектора напряжения против часовой стрелки на 900.
Рис. 2.16 [4]
Сдвиг фаз определяется соотношением реактивных и
60