Учебное пособие 800446
.pdfгде y искомая функция, а p(x), q(x) и f (x) непрерывные функции на
некотором интервале (a,b), называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Если f (x) 0, то уравнение (4.1) называется линейным однородным уравнением. Если же f (x) 0, то уравнение (4.1) называется линейным неоднородным уравнением.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных
уравнений. |
|
|
Теорема 1. Если функции y1(x) и y2(x) решения |
уравнения |
|
y p(x)y q(x)y 0, |
(4.2) |
|
то функция y C1y1(x) C2y2(x) |
при любых значениях |
постоянных C1 и C2 |
также является решением, уравнения (4.2). |
|
|
Итак, функция вида |
y C1y1(x) C2y2(x) |
с произвольными |
постоянными C1, и C2 является решением уравнения (4.2). Естественно возникает вопрос, не является ли это решение общим решением уравнения (4.2). Покажем, что при некоторых условиях функция y C1y1(x) C2y2(x) является общим решением уравнения (4.2). Предварительно введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций y1(x) и y2(x).
Функции y1(x) и y2(x) называются линейно зависимыми на (а,b), если существуют такие числа 1 и 2, из которых хотя бы одно отлично от нуля,
что для любого x (a, b) |
имеет место равенство |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1y1(x) 2y2(x) 0. |
(4.3) |
|||
Очевидно, что если функции y1(x) |
и y2(x) линейно зависимы, то они |
||||||||||||
пропорциональны. Действительно, если 1y1(x) 2y2(x) 0, причем 1 |
0 и |
||||||||||||
y2(x) 0, то |
|
y1(x) |
|
|
2 |
|
const. Верно и обратное. |
|
|||||
|
y2(x) |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функции y1(x) и y2(x) называются линейно независимыми на (а,b), если |
|||||||||||||
не существует таких чисел |
1 и 2, из которых хоть одно отлично от нуля, |
||||||||||||
что для любого x (a, b) |
имеет место равенство (4.3). Другими словами, |
||||||||||||
равенство (4.3) выполняется сразу для всех x (a, b), если только 1 2 |
0. |
||||||||||||
Очевидно, что если функции y1(x) |
и y2(x) линейно независимы, |
то их |
|||||||||||
отношение |
|
y1(x) |
const, |
т. е. |
они не |
пропорциональны. Так, например, |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
y2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции y (x) x2 |
и y |
2 |
(x) x3 |
линейно независимы на любом интервале |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100
(а,b), поскольку |
y1 |
(x) |
|
1 |
const, а |
функции |
y (x) 4x2 |
и |
y |
2 |
(x) x2 |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
y2 |
(x) x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
y1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|||||
линейно зависимы на любом промежутке, так как |
|
4 const . |
|
|
|
|||||||||
|
y2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
||
Предположим теперь, что функции |
y1(x) и |
y2(x)являются решениями |
уравнения (4.2). Вопрос о том, являются ли они линейно зависимыми или линейно независимыми, решают с помощью определителя Вронского:
|
y1 |
y2 |
|
|
(4.4) |
|
|
|
y1y2 y2y1. |
||
|
y1 |
y2 |
|
|
|
Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, опре- |
|||||
деленной на (а, b), и обозначается W(y1, y2) или просто W(x). |
|
||||
Теорема 2. Если функции y1(x) и y2(x) |
линейно зависимы на (а,b), то |
определитель Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале. Теорема 3. Если решения y1(x) и y2(x) уравнения (4.2) линейно независимы на (а,b), то определитель Вронского, составленный из них,
отличен от нуля на этом интервале.
Итак, установлено, что если функции y1(x) и y2(x) являются на (а,b) решениями линейного однородного уравнения (4.2), то составленный из них определитель Вронского на (а,b) либо равен нулю ( y1(x) и y2(x) линейно зависимы), либо отличен от нуля ( y1(x) и y2(x) линейно независимы).
Установим теперь, при каких условиях функция y C1y1(x) C2y2(x) является общим решением линейного однородного уравнения (4.2).
Теорема 4. Если функции y1(x) и y2(x) линейно независимые на (а,b)
решения уравнения (4.2), то функция |
|
y C1y1(x) C2y2(x) |
(4.5) |
где C1 и C2 произвольные постоянные, является |
общим решением |
уравнения (4.2). |
|
Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения (4.2) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить выражение (4.2) с произвольными постоянными C1 и C2.
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим теперь основные свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (4.1):
y p(x)y q(x)y f (x).
Имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Общее решение уравнения (4.1) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного
101
уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Пусть Y C1y1(x) C2y2(x) |
общее решение однородного уравнения |
|||||||||
(4.2). Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4.1) в виде |
|
|||||||||
|
|
|
|
y C1(x)y1(x) C2(x)y2(x), |
(4.6) |
|||||
рассматривая |
C1 и |
C2 |
|
как |
некоторые искомые функции от х. |
Про- |
||||
дифференцируем последнее равенство |
|
|
||||||||
y |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
(4.7) |
|
|
C1(x)y1 |
С1(x)y1 |
(x) C2 |
(x)y2(x) C2(x)y2(x). |
||||||
Подберем функции C1(x) |
и C2(x) так, чтобы выполнялось равенство |
|||||||||
|
|
|
|
C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) 0. |
(4.8) |
|||||
Тогда равенство (4.7) принимает вид |
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)y1(x) C2(x)y2(x). |
|
Дифференцируя это равенство, найдем у":
y C1(x)y1(x) С1(x)y1(x) C2(x)y2(x) C2(x)y2(x).
Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1) и группируя слагаемые, получаем
C1(x) y1(x) p(x)y1(x) q(x)y1(x)C2(x) y2(x) p(x)y2(x) q(x)y2(x)
C1(x)(x)y1(x) C2(x)y2(x) f (x).
Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как y1(x) и y2(x) решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство принимает вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
|
|
C1 |
(x)y1 |
(x) C2 |
(x)y2(x) f (x). |
|
||||
Таким образом, функция (4.6) является решением уравнения (4.1), если |
||||||||||
функции C1(x) |
и C2(x) |
удовлетворяют уравнениям (4.8) и (4.9). Объединяя |
||||||||
их, получаем систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
С (x)y (x) C |
(x)y |
2 |
(x) 0, |
|
(4.10) |
|||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) f (x), |
|
|
||||||
|
|
(x) |
неизвестны, |
|
|
|
|
(x) и f (x) |
||
в которой С1(x) |
и С2 |
а y1(x), y2(x), y1 |
(x), y2 |
известны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского
W(x) y1(x) y2(x), y1(x) y2(x)
составленный из линейно независимых решений y1(x) и y2(x) однородного уравнения (4.2), то он по теореме 5 не равен нулю, а значит, система (4.10)
102
имеет единственное решение относительно С1(x) |
и С2(x). Решая эту |
|
систему, получаем С1(x) 1(x), |
С2(x) 2(x), |
где 1(x) и 2(x) |
известные функции, откуда, интегрируя, найдем C1(x) и C2(x). Подставляя
полученные выражения для C1(x) |
и C2(x) в равенство (4.6), получаем искомое |
||||||||||||||||||
частное решение уравнения (4.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найти частное решение уравнения у" у = х. |
|
||||||||||||||||||
Решение. Общее |
решение соответствующего |
|
|
однородного |
уравнения |
||||||||||||||
y y 0 |
имеет вид |
Y(x) C1ex C2e x. |
|
Поэтому |
частное |
решение |
|||||||||||||
неоднородного уравнения будем искать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
x |
C2(x)e |
x |
. |
|
|
|
|
(4.11) |
||||
|
|
|
|
y(x) C1(x)e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Система (4.10) для нахождения С1(x) |
и С2(x) в данном случае имеет вид |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
C2 |
(x)e |
x |
0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
С1(x)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)e |
x. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
C1(x)e |
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Складывая эти уравнения, найдем |
С1(x) |
|
1 |
xe |
x |
. Отсюда, интегрируя, |
|||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
С (x) |
(x 1)e x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произвольную |
постоянную |
|
не |
пишем, |
так |
|
как |
ищем какое-нибудь |
частное решение. Подставляя выражение С1(x) в первое из уравнений системы,
найдем С2(x) |
1 |
|
xe |
x |
, откуда, |
интегрируя, получаем |
С2 |
(x) |
1 |
(x 1)e |
x |
. |
||||||
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя найденные выражения C1(x) и |
C2(x) |
в равенство (4.11), |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем частное решение y данного неоднородного уравнения: |
|
|
|
|
||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
1 |
|
x |
x |
|
1 |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
(x 1)e |
e |
|
|
|
(x 1)e |
e |
|
x. |
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения и зная общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании теоремы 5 можно записать общее решение данного неоднородного уравнения:
~ |
x |
C2e |
x |
, |
y y(x) Y(x) x C1e |
|
|
||
где C1 и C2 произвольные постоянные. |
|
|
|
|
4.2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
спостоянными коэффициентами
Рассмотрим важный частный случай линейных дифференциальных уравнений второго порядка случай, когда функции р(х) и q(x) являются постоянными величинами. Такие уравнения называются линейными
103
уравнениями с постоянными коэффициентами.
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
y py qy 0, |
|
(4.12) |
|
где р и q действительные числа. |
|
|
|
Теорема 6. 1) если число k действительный корень уравнения |
|||
k2 pk q 0, |
|
(4.13) |
|
то функция y ekx является решением уравнения (4.12). |
|
||
2) если числа k1 i |
и k2 i |
( 0) |
комплексные корни |
уравнения (4.13), то функции |
y1 e x cos x |
и y2 |
e x sin x являются |
решениями уравнения (4.12). |
|
|
|
Уравнение (4.13) называется характеристическим уравнением данного уравнения (4.12).
Характеристическое уравнение (4.13) является квадратным уравнением и, следовательно, имеет два корня. Обозначим их k1 и k2.
Теорема 7. 1) если корни характеристического уравнения действительные и различные (k1 k2), то общее решение уравнения (4.12)
имеет вид y C ek1x |
C |
2 |
ek2x; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) если корни характеристического уравнения действительные и равные |
|||||||||||||||||||
(k =k |
2 |
), то общее решение имеет вид |
y C ek1x |
C |
2 |
xek1x; |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
3) если корни характеристического уравнения комплексные (k1 i , |
|||||||||||||||||||
k2 i , 0), то общее решение имеет вид |
y e x(C1cos x C2 sin x). |
||||||||||||||||||||
|
|
Пример 1. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y 2y 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
Решение. |
Характеристическое уравнение имеет вид k2 k 2 0; |
его |
||||||||||||||||
корни |
|
k1= 1, k2= 2 действительные и различные. Соответствующие частные |
|||||||||||||||||||
решения уравнения |
y |
|
ex , |
y |
|
e 2x. |
Общее решение уравнения имеет вид |
||||||||||||||
y C ex C |
|
e 2x. |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 2. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2y y 0. |
|
|
|
|
||
|
|
Решение. |
Характеристическое уравнение имеет вид k2 2k 1 0; |
его |
|||||||||||||||||
корни |
|
k1 k2 |
1 |
действительные и |
равные. |
Соответствующие частные |
|||||||||||||||
решения уравнения |
y |
|
ex , |
y |
2 |
xex. |
Общее решение уравнения имеет вид |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y C ex C |
2 |
xex ex |
(C C |
2 |
x). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|
|
Пример 3. Найти общее решение уравнения y 4y 13y 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 4k 13 0; его корни k1 2 i3, k2 2 i3 комплексные. Соответствующие частные решения
уравнения y1 e2x cos3x, y2 e2x sin3x. Общее решение уравнения имеет вид
ye2x(C1cos3x C2 sin3x).
2.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка
y py qy f (x), |
(4.14) |
где р и q действительные числа; f (x) непрерывная функция.
Как известно, общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы находить умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Для нахождения частного решения можно применять метод вариации произвольных постоянных. Однако если в правой части уравнения (4.14) многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция sin x или cos x, либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.
Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (4.14). |
|
|||||||||||
1. Правая часть имеет вид f (x) Pn(x), |
где |
|
|
|
||||||||
P (x) a |
0 |
xn a xn 1 |
... a |
n 1 |
x a |
n |
многочлен степени п. |
|||||
n |
|
|
1 |
|
|
~ |
|
r |
|
|||
Тогда частное решение |
~ |
|
|
|
Qn(x)x |
, где Qn(x) |
||||||
y можно искать в виде y |
|
|||||||||||
многочлен той же степени, что |
и Pn(x), а r число корней |
|||||||||||
характеристического уравнения, равных нулю. |
|
|
|
|
||||||||
Пример 4. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y 2y y x 1. |
|
|
|
||||
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения |
||||||||||||
имеет вид Y (C |
|
C |
2 |
x)ex (см. пример |
2). Так как правая часть уравнения |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения
k2 2k 1 0 |
не |
равен нулю |
(k |
2 |
k |
|
1), |
то |
частное |
решение |
ищем |
в виде |
||||
~ |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ax B, |
где |
|
А |
и |
В |
|
неизвестные |
коэффициенты. |
||||||||
y (Ax B)x |
|
|
||||||||||||||
Дифференцируя |
дважды |
~ |
|
|
|
|
|
и |
подставляя |
~ ~ |
и |
~ |
данное |
|||
y Ax B |
|
y, y |
y в |
уравнение, найдем
2A Ax B x 1.
105
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях
равенства: |
A 1, 2A B 1, |
находим: A 1, B 3. |
Итак, |
частное решение |
|||||||||||
данного |
уравнения имеет |
вид |
|
~ |
а |
его |
общее |
решение |
|||||||
|
y x 3, |
||||||||||||||
y (C C |
2 |
x)ex (x 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
f (x) e xP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Правая часть имеет вид |
|
(x), |
где |
P (x) многочлен |
||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
n |
|
|
n |
~ |
|
r |
|
x |
|
степени п. |
Тогда частное решение |
следует искать в виде |
|
e |
, |
||||||||||
y |
y Qn(x)x |
|
|
||||||||||||
где Qn(x) |
многочлен той же степени, что и |
Pn(x), |
а r |
число корней |
характеристического уравнения равных . Если 0, то f (x) Pn(x), т. е. имеет место случай 1).
Пример 5. Найти общее решение уравнения |
|
||||
|
|
y 4y 3y xex. |
|
||
Решение. |
Характеристическое уравнение k2 4k 3 0 |
имеет корни |
|||
k1 1, k2 |
3. |
Значит, общее решение соответствующего |
однородного |
||
уравнения |
имеет |
вид Y C ex C |
2 |
e3x. В правой части этого |
уравнения |
|
|
1 |
|
|
произведение многочлена первой степени на показательную функцию e x при1. Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k1 1, то r = 1. В данном случае Pn(x) x многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде
~ |
B)xe |
x |
(Ax |
2 |
Bx)e |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y (Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Ax 2A 2B x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
равенства: |
4A 1, |
|
2A 2B 0, |
|
|
находим: |
|
A |
1 |
, |
|
B |
1 |
. Подставляя |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
найденные значения A и В |
в |
|
выражение для |
~ |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y , получаем частное решение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данного уравнения y |
|
|
|
(x |
|
x)e |
|
; общее решение имеет вид |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
x |
|
3x |
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
y |
|
Y |
C1e |
|
|
C2e |
|
|
|
(x |
|
x)e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
где a, |
b |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Правая часть имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
|
f (x) acos x bsin x, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
известные |
числа. |
Тогда |
частное решение |
|
~ |
|
|
надо |
искать |
в |
|
виде |
|||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
, где |
A и |
B неизвестные коэффициенты, |
a |
|
r |
||||||||||||||||||||
y (Acos x Bsin x)x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
число корней характеристического уравнения, равных |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Найти общее решение уравнения y y sin x. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Характеристическое уравнение |
k2 1 0 |
|
имеет корни |
k |
|
i, |
||||||||||||||||||||||||||||
k2 i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y C1cosx C2 sin x. |
В |
правой части |
равенства |
|
тригонометрическая |
|
функция sinx, т. |
е. |
a 0, b 1, |
1. Так |
как |
i i |
корень |
характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать в виде
~y (Acosx Bsin x)x.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( Asin x Bcosx) sin x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
B 0. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
1 |
|
|
|||||||||||||
откуда |
A |
|
|
, |
частное решение |
y |
|
xcosx; общее |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
Y C1 cosx C2 sin x |
|
|
|
|
xcosx. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 7. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y sin 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего только тем, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Так как i i2 не является корнем характеристического уравнения, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
Acos2x Bsin 2x. |
|
||||||||||||
r 0 и частное решение следует искать в виде y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Acos2x 3Bsin 2x sin 2x, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
A 0, B |
|
|
, |
т.е. частное |
решение |
y |
|
|
sin2x, |
общее |
решение |
||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y Y C1 cosx C2 sin x |
|
|
|
|
sin 2x. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
Правая часть имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) e x P |
(x)cos x P |
|
|
(x)sin x , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Pn(x) многочлен степени n, |
а Pm(x) многочлен степени m. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
частное решение следует искать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
x |
r |
e |
x |
Q1(x)cos x Q2(x)sin x , |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где Q1(x) и Q2(x) |
|
многочлены степени s, s max n, m ,а r число корней |
||||||||||||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения, равных i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 8. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y 3e2x cosx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Здесь характеристическое уравнение |
k2 1 0 |
имеет корни |
||||||||||||||||||||||||||||||||
k1 1, k2 |
1. |
|
Общее |
|
решение |
однородного |
|
уравнения |
таково: |
|||||||||||||||||||||||||
Y C ex |
C |
2 |
e x. |
В |
|
правой |
части |
уравнения |
произведение многочлена |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нулевой |
степени, |
показательной |
и |
тригонометрической функций, |
так что |
|||||||||||||||||||||||||||||
Pn(x) 3, Pm(x) 0, |
|
s |
= 0. |
|
Число |
i 2 i1 |
не |
является |
корнем |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристического уравнения, поэтому |
r = 0, |
и частное решение ищем в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде |
|
~ |
|
|
2x |
(Acosx Bsin x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2A 4B)cosx (2B 4A)sin x 3cosx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Приравнивая коэффициенты при cosx и sin x, находим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A 4B 3, |
4A 2B 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
откуда |
|
|
|
A |
|
|
3 |
, |
|
|
B |
3 |
. |
|
|
Таким |
образом, |
|
|
частное |
решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y |
e |
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
sin x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
Y e |
|
|
|
|
cosx |
|
|
sin x C e |
|
C |
2 |
e |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пример 9. По данным корням характеристического уравнения и правой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
части f (x) |
записать частное решение у линейного неоднородного уравнения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
k |
3 i2, |
|
|
|
|
k |
2 |
3 i2, |
f (x) 8e3x sin2x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
б) |
k |
k |
2 |
|
3, |
|
|
|
|
f (x) 2xe 3x sin x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) ex(1 x)cos3x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
k |
1, |
|
k |
2 |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) ex(cos2x 3sin2x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
г) k |
1 i2, |
|
k |
2 |
|
1 i2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x (x3 1)cos |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
д) k |
2 i |
, k |
2 |
2 i |
, |
f (x) e |
|
xsin |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Решение. а) имеем: |
3, |
2, |
|
Pn(x) 0, Pm(x) 8, |
|
|
s 0. |
Так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число |
|
i 3 i2 |
|
|
|
корень |
характеристического |
уравнения, то r = 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
3x |
Acos2x Bsin2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
имеем: |
|
3, |
1, |
Pn(x) 0, |
Pm(x) 2х, |
m 1, |
s 1. |
Число |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i 3 i |
|
не |
|
|
является |
|
корнем |
характеристического уравнения, |
поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = 0. Следовательно, |
|
|
|
~ |
e |
3x |
[(Ax B)cosx (Cx D)sin x]; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
|
имеем: |
1, |
|
3 , |
|
|
|
Pn(x) 1 x, |
Pm(x) 0, |
n 1, |
|
|
s 1. |
Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число |
i 1 i3 |
|
|
не является корнем характеристического уравнения, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = 0. Поэтому |
|
~ |
|
|
|
|
|
x |
|
[(Ax B)cos3x (Cx D)sin3x]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
г) |
|
имеем: |
|
|
|
1, |
|
|
2 , |
|
Pn(x) 1, |
Pm(x) 3, |
|
|
s 0. |
Число |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i 1 i2 |
|
|
|
|
|
корень |
|
|
характеристического |
уравнения, |
|
|
поэтому |
r=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Acos2x Bsin2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y xe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
д) |
|
|
имеем: |
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
P (x) (x3 1), |
|
|
P |
(x) x, |
|
n 3, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1, |
s 3. Число i 2 i |
1 |
корень характеристического уравнения, |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
значит, r=1. Следовательно, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
~ |
2x |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
||
|
y xe |
Ax |
|
Bx |
|
Cx D)cos |
|
(Ex |
|
Fx |
|
Gx H)sin |
|
. |
||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение сформулируем теорему, которую часто применяют при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых сумма нескольких слагаемых.
Теорема 8. Если ~y1 решение уравнения
|
~ |
|
y py qy |
f1(x), |
|
|
(4.15) |
|||
а |
решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y py qy |
f2(x), |
|
|
(4.16) |
|||
то сумма |
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
y1+ y2 является решением уравнения |
|
|
|
|||||||
|
|
|
y py qy f1(x)+ f2(x). |
(4.17) |
||||||
|
|
Пример 10. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|||||
|
|
|
y 2y y sin x e x. |
|
|
|
||||
|
|
Решение. Характеристическое |
уравнение k2 2k 1 0 |
имеет корни |
||||||
k1 k2 1, |
поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения |
|||||||||
|
|
|
Y C ex |
C |
2 |
xex ex(C C |
2 |
x). |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций sinx и e x, то в соответствии с теоремой 8 частное решение данного уравнения можно
искать |
в |
виде |
~ |
|
|
~ |
~ |
|
где |
~ |
|
частное |
решение |
уравнения |
||||||||||||||||
y y1 |
y2, |
|
y1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
частное решение уравнения |
y 2y y e |
x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
y 2y y sin x, а y2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Сначала найдем частное решение |
~ |
. Так как число i i |
|
не является корнем |
||||||||||||||||||||||||||
y1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения |
|
|
(r 0), то частное решение |
|
~ |
|
будем |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
y1, |
|
||||||||||||||||||||||||||
искать |
в |
виде |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
и |
~ |
уравнение |
||||||||||
y1 Asin x Bcosx. |
Подставляя y1, |
y1 |
y1 в |
|||||||||||||||||||||||||||
y 2y y sin x |
и |
сравнивая коэффициенты |
при |
sinx |
|
|
и |
cosx, получаем |
||||||||||||||||||||||
2A 0,2B 1, откуда A 0, B |
1 |
|
|
|
|
|
~ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
и, следовательно, |
y1 |
|
|
|
cosx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
Ae |
x |
, |
|
Теперь найдем частное решение y2 |
. Будем его искать в виде y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
так как |
число |
1 |
|
не |
является |
корнем |
характеристического |
уравнения. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Подставляя |
y2 |
, |
y2 |
|
и |
y2 в уравнение |
y 2y y e |
|
|
, имeeм |
|
A |
|
. |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
y2 |
|
|
|
e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким |
образом, |
|
частное |
решение |
данного |
уравнения |
имеет |
вид |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|