Учебное пособие 800486
.pdf
|
116 |
|||
где |
1 |
|
- кривизна оси ненагруженного бруса; |
|
|
|
|
||
|
|
o |
||
|
|
1 |
- кривизна оси нагруженного бруса. |
|
|
|
|
При расчете бруса большой кривизны нормальные напряжения, обусловленные нормальной силой N , вычисляют, как и при осевом растяжении
– сжатии, прямого бруса по формуле
NF ,
где F – площадь поперечного сечения.
Касательные напряжения, возникающие в сечении бруса большой кривизны при его поперечном изгибе (т.е. обусловленные Qy ), могут быть при-
ближенно определены по формуле Д.И. Журавского, как и для прямого бруса.
При чистом изгибе бруса большой кривизны (рис. 6.24), нормальные напряжения в точках поперечного сечения определяют в предположении, что справедлива гипотеза плоских сечений и давление продольных волокон друг на друга отсутствуют.
Рис. 6.24
Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяют по формуле
|
|
|
|
|
117 |
M x r |
ro |
. |
(6.22) |
||
|
|
|
|
||
Fe |
r |
|
Здесь F – площадь поперечного сечения бруса;
ro – радиус кривизны нейтрального слоя, который в этом случае смещен относительно центральной оси Х на величину e в сторону центра кривизны (см. рис. 6.24);
r – радиус кривизны слоя, которому принадлежит данная точка. Как следует из формулы (6.22), нормальные напряжения изменяются
по высоте сечения не по линейному закону, как в прямом брусе, а по гиперболическому (см. рис. 6.24).
Для определения величины e - смещения нейтрального слоя, представ-
ляющей собой разность радиусов кривизны оси бруса |
o |
и нейтрального |
|
|
|
слоя ro |
|
|
e o ro ,
надо определить величину ro - радиуса кривизны нейтрального слоя. Для этого служит формула
ro |
F |
, |
(6.23) |
|
|
||||
dF |
||||
|
|
|
F r
на основе которой можно получить выражения для определения ro для сечений различной формы.
Так для прямоугольного сечения с размерами b и h (рис. 6.25) полу-
чим
ro |
|
h |
. |
|
|
|
|||
ln |
rН / rb |
|||
|
|
Для поперечного сечения в форме круга с диаметром d (рис. 6.26)
ro |
|
|
d 2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 2 |
|
4 |
|
|
||||
|
o |
2 |
d 2 |
|||||
|
|
|
|
o |
|
|
|
118
Для поперечного сечения в форме трапеции (рис. 6.27)
|
|
b |
b |
h2 |
|
|
ro |
|
1 |
2 |
|
|
. |
2 rH b2 |
rbb1 ln rH |
/ rb |
|
|||
|
b2 b1 h |
Рис. 6.25 |
Рис. 6.26 |
Рис. 6.27 |
Для сечений других форм значения ro приводятся в справочниках. |
||
Заметим, что вычисление e как разности между |
o и ro содержит в |
себе значительные неудобства, особенно в случае небольшой кривизны бруса. Дело в том, что разность больших величин o и ro очень мала, но должна быть вычислена точно, поскольку от этого зависит погрешность расчета на-
пряжений |
по формуле (6.22). Поэтому величину ro приходится вычислять |
|||
с большим числом знаков. В случаях, когда отношение h / |
o |
0,5 |
, доста- |
|
|
|
|
|
точную точность дает определение e по приближенной формуле Н.Н. Давиденкова
e |
|
I x |
|
|
|
|
, |
(6.24) |
|
|
o F |
|||
где I x |
- момент инерции поперечного сечения относительно главной цен- |
|||
тральной оси Х перпендикулярной плоскости кривизны бруса. |
|
119
Если в сечениях кривого бруса возникают как изгибающий момент M x , так и нормальная сила N, то нормальное напряжение определяют согласно принципу суперпозиции, как сумму напряжений обусловленных M x и N
N |
|
M x r |
ro |
. |
(6.25) |
||
|
|
|
|
|
|
||
F |
|
Fe |
r |
|
Из формулы (6.25) следует, наибольшие по абсолютной величине растягивающее и сжимающее напряжения будут возникать в наружных и внутренних волокнах. Тогда условие прочности можно записать в виде
N |
|
M x r |
ro |
. |
(6.26) |
||
F |
|
Fe |
|
|
r |
||
|
|
|
6.4.3. Расчет на прочность бруса большой кривизны
Задача. Проверить прочность кривого бруса прямоугольного сечения
нагруженного |
сосредоточенной силой |
Р (рис. 6.28), если известно, что |
R 25 см, |
а 5 см, Р 70 кН , |
160 МПа . |
Рис 6.28
Решение.
Оценку прочности кривого бруса постоянного сечения начинают с определения положения опасного сечения. Для этого строят эпюры внутренних силовых факторов.
120
Построение эпюр начинают с определения реакций опор. Заменим шарнирно-неподвижную опору А реакцией, которую представим в виде го-
ризонтальной RAx и вертикальной RAy составляющих. Шарнирно-подвижную опору B заменим реакцией RB , перпендикулярной плоскости качения. Из
уравнений статики определяем эти реакции. |
|
|
|
||||||||
P |
|
|
Rx |
Pcos50 |
0., отсюда следует: Rx |
|
cos50 |
0,643P . |
|||
y |
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|||
m |
|
|
R |
|
2R |
PR sin 50 |
0 , отсюда: R |
1 |
Psin 50 |
0,383P . |
|
A |
B |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
B |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mB |
RAy 2R |
PR sin 50 |
0, отсюда находим: |
|
|||||||
RAy |
1 |
Psin 50 |
0,383P. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве проверки используем уравнение проекцией всех сил на вертикальную ось y:
P |
R y |
R Psin 50 |
0,383P 0,383P 0,766P 0. |
y |
A |
B |
|
Разбиваем брус на два участка AC и CB и запишем выражения внутренних силовых факторов для произвольного сечения, каждого из этих уча-
стков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I участок, |
|
0 |
I |
130 ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N I |
RAy cos I |
|
RAx sin |
|
I ; |
QyI |
RAy sin I RAx cos I ; |
||
M I |
Rx |
Rsin |
I |
R y R 1 |
cos |
I |
. |
|
|
x |
A |
|
A |
|
|
|
|
Используя полученные выражения, вычисляем значения N I , QyI и
M xI для пяти сечений первого участка:
I |
0 |
30 |
60 |
90 |
130 |
N I , кН |
- 26,81 |
- 45,71 |
- 52,36 |
- 45,01 |
- 17,22 |
QyI , кН |
- 45,01 |
- 25,55 |
+ 0,7 |
+ 26,81 |
+ 49,49 |
|
|
|
|
|
|
M xI , кН м |
0 |
+ 4,725 |
+ 6,388 |
+ 4,55 |
- 2,398 |
121
II участок, |
0 |
II |
50 , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N II |
RB cos |
II ; |
QyII |
|
|
RB sin |
II ; |
|
M xII |
RB R 1 |
cos |
II . |
|
|
|
|
|
Вычисляем значения N II , QyII |
и M xII |
в трех сечениях этого участка |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
0 |
|
|
|
30 |
50 |
|
N II , кН |
- 26,81 |
|
|
|
- 23,24 |
- 17,22 |
||
QyII , кН |
|
0 |
|
|
|
- 13,44 |
- 20,51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M xII , кН м |
|
0 |
|
|
|
- 0,898 |
- 2,398 |
По полученным данным строим эпюры (рис.6.29).
Рис. 6.29
122
Из анализа эпюр следует, что опасным является сечение первого участ-
ка, где |
I |
60 . В этом сечении максимальны нормальная сила и изгибаю- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щий момент, они равны: |
|
|
|
|
|
|
|||
N |
|
52,36кН; |
|
M x |
6,388кН м . |
|
|
|
|
Проверим теперь прочность кривого бруса. Из условия задачи следует, |
|||||||||
что h |
1,5a 7,5см, |
а |
|
R 25см , значит |
h |
7,5 |
0,3 0,2 , а, |
||
o |
|
|
|
||||||
|
25 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
o |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, рассматриваемый брус относится к брусьям большой кривизны. Условие прочности такого бруса имеет вид:
N |
|
M x r |
ro |
. |
||
F |
|
Fe |
|
|
r |
|
|
|
Определим ro и e . Для бруса прямоугольного сечения радиус кривизны нейтрального слоя
ro |
|
h |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln rН / rb |
|
|
|
|
|
|
||||
В рассматриваемом случае |
|
|
|
|
|
|
||||||
rH |
R |
|
h |
287,5 мм, rB |
R |
|
h |
212,5 мм , |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ro |
|
|
|
|
75 |
|
248,1136 мм. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ln 287,5 / 212,5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Смещение нейтрального слоя е |
o |
ro . Т.к. o R 250 мм , получаем |
e 1,886 мм. Проверим это значение с использованием приближенной фор-
мулы e I x . Для рассматриваемого бруса
F o
F a 1,5a 1,5a2 |
3750 мм2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
|
I |
|
a 1,5a 3 |
1,5 50 |
4 |
1757812,5 мм4 . Подставляя найденные зна- |
|||||
x |
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чения Ix , F и |
o в приближенную формулу, получим |
|||||||||
|
|
e |
1757812,5 |
1,875 мм , что близко к ранее полученному значе- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3750 |
250 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
нию, следовательно, значение e 1,886 мм - правильное.
В зависимости от направления нормальной силы N и изгибающего момента M x , а также от формы поперечного сечения опасными могут ока-
заться как внутренние (ближайшие к центру кривизны), так и наружные точки опасного сечения бруса. Проверим выполнение условия прочности (6.26) для этих точек.
|
|
|
N |
|
|
M x |
|
|
rH |
ro |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Н |
|
|
F |
|
|
Fe |
|
|
|
|
rH |
3750 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
52,36 103 |
|
|
6,388 |
|
103 |
|
287,5 |
248,11 |
109,8 МПа |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,866 |
|
|
|
287,5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
N |
|
|
M x |
|
|
rВ |
ro |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
|
F |
|
Fe |
|
|
|
rВ |
3750 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
52,36 103 |
|
|
6,388 |
|
103 |
|
212,5 |
248,11 |
165,33 МПа |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,866 |
|
|
|
212,5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценим перегрузку во внутренних волокнах бруса
max
100% |
165,33 |
160 |
100% |
3,33% |
5% . |
|
|
160 |
|
||||
|
|
|
|
|
Такая перегрузка допустима, следовательно прочность кривого бруса обеспечена.
7.СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
7.1.Внецентренное растяжение и сжатие
7.1.1. Основные понятия и зависимости При внецентренном растяжении и сжатии равнодействующая внешних
сил параллельна оси бруса, но не совпадает с ней (рис. 7.1,а).
124
Приводя силу Р к оси бруса, можно представить внецентренное растяжение (сжатие) как сочетание центрального растяжения (сжатия) и чистого косого изгиба.
Внутренние усилия в любом сечении бруса N = P; M y P xp ;
M x P y p . Здесь x p и y p - координаты точки приложения силы Р в сис-
теме главных центральных осей X, Y.
Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения с координатами X и Y.
N |
|
M y |
x |
M x |
y |
P |
1 |
x p |
|
y p |
y , |
(7.1) |
F |
|
J y |
J x |
F |
iy2 |
|
ix2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
где F, ix |
|
J x |
|
; iy |
|
J y |
|
|
- площадь и радиусы инерции сечения относи- |
|||||||||
F |
|
F |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тельно главных центральных осей инерции X, Y. Знак плюс соответствует |
||||||||||||||||||
внецентренному растяжению, минус – сжатию. |
|
|
||||||||||||||||
Уравнение нейтральной линии |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
y0 |
1, |
|
|
(7.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
ay |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где x0 , y0 -координаты точек нейтральной линии; ах , ау |
- отрезки, отсекае- |
|||||||||||||||||
мые нейтральной линией на осях Х, Y (рис. 7.1,б), |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
ix2 |
; ay |
|
ix2 |
. |
(7.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xp |
|
y p |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольшее напряжение возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Условия прочности для точек с наибольшими растягивающими ( А ) и наибольшими сжимающими ( В ) напряжениями
P |
1 |
x p |
xA |
y p |
yA |
p , |
|
F |
iy2 |
ix2 |
|||||
|
|
|
(7.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
P |
1 |
x p |
xB |
y p |
yB |
c . |
|
F |
iy2 |
ix2 |
|||||
|
|
|
|
Здесь xA, yA, xB , yB - координаты точек сечения, наиболее удаленных
от нейтральной линии сечения (см. рис. 7.1,б).
|
|
125 |
|
|
|
Для брусьев из материалов с |
р |
с |
используется то из условий |
||
|
|
|
|
||
(7.4), которое соответствует большему по абсолютной величине напряжению. |
|||||
Z |
P |
|
|
Y |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нейтральная |
|
|
A |
|
y p |
линия |
|
|
||
|
xp |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
y |
A |
x0 |
|
|
|
p |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
Рис. 7.1
Для сечений, имеющих две оси симметрии (прямоугольник, двутавр и т.п.), при одинаковом сопротивлении растяжению и сжатию условие прочности имеет вид
P |
|
M x |
|
M y |
, |
(7.5) |
F |
|
Wx |
|
Wy |
||
|
|
|
|
где Wx ,Wy - моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей Х, Y.
7.1.2. Расчеты на прочность при внецентренном растяжении (сжатии) Задача. Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого
изображено на рис. 7.2, сжимается силой, приложенной в точке А. Требуется: 1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее
напряжение, выразив их через силу Р и размеры сечения;