Учебное пособие 800583
.pdfРис. 25
Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему
|
x |
|
|
|
пределу, т.е. Ф x |
f |
t dt |
f x . |
|
|
a |
|
|
|
Таким образом, установлено, что любая непрерывная на |
||||
отрезке a, b функция |
f (x) имеет на |
этом отрезке |
||
первообразную, причем |
функция |
Ф(x) |
– интеграл с |
переменным верхним пределом – является первообразной для
f (x) . А так как всякая другая первообразная для |
функции |
||||
f (x) может отличаться от Ф(x) |
только на постоянную, то |
||||
установлена |
связь между |
неопределенным |
и определенным |
||
|
|
|
x |
|
|
интегралами |
в виде |
f x dx |
f t dt |
C, |
где С – |
a
произвольная постоянная.
100
3.6. Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который, как будет показано,
основан |
на |
установленной |
ранее связи |
между |
неопределенным и |
определенным интегралами. |
Было |
||
установлено, |
что функция f (x) - |
непрерывная на отрезке |
a, b , имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из
x
них является функция Ф(x) f (t)dt.
a
Пусть F(x) – любая другая первообразная для функции
f (x) на том же отрезке |
a, b . |
Так как первообразные Ф(x) и |
||||||||||
F(x) отличаются |
на |
постоянную, |
то |
имеет место |
равенство |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) dt |
F (x) |
C, |
a |
x |
b, |
где |
С |
– |
некоторое |
число. |
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в |
это |
равенство |
значение |
x |
a , |
имеем |
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) dt |
F (a) |
C, |
0 |
F(a) |
C, |
C |
|
F(a), т. е. |
для |
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любого x |
a, b |
f (t) dt |
F (x) |
F (a). |
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
x |
b , |
|
получаем |
основную |
формулу |
||||||
интегрального исчисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx |
F (b) |
F (a), |
|
|
|
(3.6) |
a
101
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) F(a) принято условно записывать: F (x) ba , и поэтому
формула (3.6) принимает вид
b
f (x) dx F (x) ba .
a
Подчеркнем, что в формуле (3.6) в качестве F(x) можно
взять любую первообразную для f (x) |
на отрезке |
a, b . |
Формула (3.6) дает простой |
метод |
вычисления |
определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла,
которая достаточно полно изучена. |
Рассмотрим |
п р и м е р ы. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin x dx |
cos x |
cosa cosb. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
(3x2 |
|
|
1) dx (x3 |
|
x) |
(23 |
2) |
(03 |
0) 6. |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
2 dx |
ln x |
|
12 |
ln 2 |
ln1 |
ln 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
arctg1 |
|
arctg( |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11 x |
2 |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
||||||
5. |
|
|
ln x |
|
|
ln(3 |
10). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
1 x2 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е. Формула Ньютона-Лейбница была выведена в предположении, что подынтегральная функция f (x) непрерывна. При некоторых условиях формула НьютонаЛейбница имеет место и для разрывных функций.
3.7. Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть f (x) – непрерывная функция на отрезке
a, b . |
Тогда, если: 1) функция x |
(t) дифференцируема на |
||||
, |
и |
(t) непрерывна на |
, |
; 2) |
множеством значений |
|
функции x |
(t) является |
отрезок |
a, b ; 3) |
( ) a и |
||
( ) |
b |
(рис. 26), то справедлива формула |
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
f |
(t) |
(t)dt. |
(3.7) |
a
Рис. 26
Формула (3.7) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.
З а м е ч а н и е 1. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной
103
от новой переменной t следует возвращаться к старой переменной x , то при вычислении определенного интеграла этого делать не нужно, так как теперь следует найти число, которое согласно доказанной формуле равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 dx. |
|
|
||
|
|
Пример 1. |
Вычислить |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Рассмотрим |
|
подстановку |
x |
sint , |
||||||||
0 |
t |
|
/ 2. |
Проверим |
законность такой подстановки. |
Во- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
первых, |
функция f (x) |
1 |
x2 непрерывна на |
0, 1 ; |
во- |
||||||||||
вторых, |
функция |
x |
sint |
дифференцируема на |
0, / 2 и |
||||||||||
xt |
cost |
непрерывна на |
0, |
|
/ 2 |
|
|
и, в третьих, при изменении |
|||||||
t |
от 0 до |
/ 2 функция |
x sint |
изменяется от 0 до 1, причем |
|||||||||||
x(0) |
0 |
и |
х( / 2) |
1. |
Таким образом, данная подстановка |
удовлетворяет всем условиям теоремы. Применяя формулу (3.7), получаем
1 |
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
/ 2 |
1 |
|
x2 dx |
1 sin2 t cost dt |
cos2 t dt |
|||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 cos2t dt |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
0 |
4 |
|
|
З а м е ч а н и е 2. При использовании формулы (3.7) необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.
Пример 2. Вычислить dx.
0
104
Решение. |
Имеем |
|
|
dx x |
|
0 |
|
|
|
|
. |
С другой стороны, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 sin2 x |
|
|
cos2 x |
0 cos2 x (1 |
tg2 x) |
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Подстановка |
tg x |
|
|
t |
формально приводит к следующему |
|||||||||||||||||
результату: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (tg x) |
0 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
tg2 x |
|
|
1 |
|
t 2 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Получен |
неверный |
результат, |
|
так |
как |
0 . |
Это |
|||||||||||||||
произошло потому, что |
функция |
|
|
t |
|
tg x |
разрывна |
при |
x / 2 и не удовлетворяет условиям теоремы.
3.8. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Теорема. Если функции |
u(x) и |
v(x) имеют |
непрерывные производные на отрезке a, b , то справедлива формула
b |
|
b |
b |
|
u dv uv |
|
v du. |
(3.8) |
|
|
||||
a |
|
a |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
Формула (3.8) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
e
Пример 1. Вычислить ln xdx.
1
105
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
Положим |
|
|
|
u |
|
ln x , |
dv dx ; |
|||||||||||||||||||
du |
|
dx |
, |
|
v |
|
x |
|
и |
|
|
|
по |
|
|
формуле |
|
(3.8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln xdx |
|
x ln x |
|
e |
|
x |
|
(x ln x |
|
x) |
e |
1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
Вычислить |
|
x ex |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
Положим |
|
|
|
u |
|
x, |
|
|
dv |
ex dx; |
||||||||||||||||
du |
dx, |
|
v |
ex |
|
|
|
и |
по |
|
|
|
|
формуле |
(3.8) |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x e |
x |
dx xe |
x |
|
2 |
|
e |
x |
dx e |
x |
(x 1) |
2 |
e |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить |
|
arctg x dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
Положим |
|
u |
arctg x , |
dv |
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x и по формуле (3.8) находим |
|||||||||||||||||||||||
du |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
v |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 xdx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
arctg x dx |
(x arctg x) |
|
|
|
x arctg x |
ln(1 |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 1 |
x |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ln |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда
находим
отсюда
имеем
отсюда
1
x2 )
0
3.9. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на плоскости Oxy дана фигура, ограниченная отрезком a, b оси Ох, прямыми x a , x b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y f (x) на a, b . Это
106
криволинейная трапеция, площадь s которой может быть вычислена по формуле
|
b |
|
s |
f (x) dx. |
(3.9) |
a
Итак, определенный интеграл от неотрицательной
непрерывной функции |
f (x) по |
a, b |
численно равен |
||
площади криволинейной |
трапеции |
с |
основанием |
a, b , |
|
ограниченной сверху графиком функции |
y |
f (x) . В |
этом и |
заключается геометрический смысл определенного интеграла.
|
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной |
||||||||||||
графиком функции y |
x |
, |
|
0, |
прямой x |
1 и осью Ох. |
|||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
По |
формуле |
(3.9) |
имеем |
||||
|
1 |
|
x |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
s |
0 x dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если |
|
|
1, то s |
1/2; |
если |
2, то s |
1/3, и т. д. |
|||||
|
Пусть фигура ограничена снизу и сверху графиками |
||||||||||||
функций |
y |
f1(x) |
и |
|
y |
f2 (x), f1(x) |
f2 (x), a |
x b |
|||||
(рис. 27), |
где |
f1 (x), |
f2 (x) |
две непрерывные функции. Если |
обе функции неотрицательны, то площадь s данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций
y f2 (x), y f1(x).
Следовательно,
b |
|
b |
b |
|
s |
f2 (x)dx |
f1(x)dx |
f 2 (x) f1(x) dx. |
(3.10) |
a |
|
a |
a |
|
Заметим, что формула (3.10) справедлива и тогда, когда f1(x) и f2 x не являются неотрицательными.
107
графиками функций y |
f (x) x |
и y |
f |
2 |
(x) |
2 |
x2 (рис. 28). |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. Найдем |
абсциссы |
точек |
|
пересечения прямой |
||||||
y |
x |
с параболой y |
2 |
x2 . |
Решая |
|
систему |
уравнений |
|||
y |
x, |
получаем |
x1 |
2, |
x2 |
1. |
|
Это |
и есть пределы |
||
|
|
|
|||||||||
y |
2 |
x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирования. Искомая площадь фигуры согласно формуле
(3.10) |
такова: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x |
3 |
|
x |
2 |
|
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
s |
f |
|
(x) |
f (x) dx |
(2 x2 ) x dx |
2x |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е. Для вычисления площади криволинейной трапеции в случае, когда верхняя граница задана
параметрически |
уравнениями |
x |
(t), y |
(t), |
t |
, |
причем ( ) a , |
( ) b , в |
формуле (3.9) |
надо |
сделать |
||
|
108 |
|
|
|
|
|
замену переменной, положив x |
(t), dx |
(t)dt . Тогда |
|
получим |
|
|
|
s |
(t) |
(t)dt . |
|
Рис. 29 |
|
Рис. 30 |
|
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной |
|||
эллипсом |
|
|
|
x |
a cos t, |
0 t 2 . |
|
y |
b sin t, |
||
|
Решение. Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, находящейся в I четверти (рис. 29). Следовательно, искомая площадь равна
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
s 4 b sin t(a cost) dt |
4ab |
sin2 tdt |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2ab |
(1 cos2t)dt |
2ab t |
sin 2t |
|
ab. |
||||
|
|
||||||||
2 |
0 |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a b |
R , |
|
|
|
|
|
|
|
В частности, |
если |
то |
получаем |
известную |
|||||
формулу площади круга |
R2. |
|
|
|
|
|
|
|
109