Учебное пособие 800652
.pdfнейных интегралов вытекает также, что имеют место следующие формулы:
1. |
af |
z |
bg z |
dz |
a f z dz |
b g z dz , |
(3.4) |
|
L |
|
|
|
L |
L |
|
где a и b – любые комплексные числа. |
|
|
|||||
2. |
f |
z dz |
f |
z |
dz , |
|
(3.5) |
|
L |
|
L |
|
|
|
|
т.е. при изменение ориентации кривой интеграл меняет знак.
3. |
|
|
f z |
dz |
|
f |
z dz |
|
f |
z dz . |
|
|
(3.6) |
||||||||||
|
|
|
L1 |
L2 |
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценки интегралов |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Лемма 1. Пусть функция |
f |
z |
непрерывна на кривой . |
||||||||||||||||||
Тогда имеет место оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
z dz |
|
|
f |
z |
|
dz |
|
, |
|
|
(3.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
|
dz |
|
|
dx 2 |
|
dy 2 |
ds – элемент дуги кривой . |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Следствие. Из неравенства (3.7) вытекает оценка |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
z |
dz |
|
M |
l |
, |
|
|
(3.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где M max |
f z |
|
, l |
|
|
– длина кривой . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна в области D |
||||||
|
|
Лемма 2. Пусть функция |
f |
z |
|||||||||||||||||||
и кривая |
|
лежит в |
D . Тогда интеграл f |
z |
dz |
можно с |
|||||||||||||||||
любой точностью приблизить интегралом от |
f |
z |
по лома- |
||||||||||||||||||||
ной, лежащей в области D , т.е. для любого |
0 существует |
||||||||||||||||||||||
ломаная C , лежащая в области D , такая, что |
|
|
|
51
|
f z dz f z dz |
|
. |
(3.9) |
|
C |
|
|
|
Лемма 3. Пусть D – ограниченная односвязная область, |
||||
– граница области D . Если функция f |
z |
непрерывна в об- |
||
ласти D вплоть до границы, то интеграл |
f z dz можно с |
любой точностью приблизить интегралом от f z по замк-
нутой ломаной, лежащей в области D . |
|
|
|||
Рассмотрим неодносвязную область. Пусть граница |
|
||||
ограниченной области D состоит из кривых |
1, 2 , , |
n : |
|||
n |
|
|
|
|
|
k . Если функция f |
z |
непрерывна |
в области |
D |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
вплоть до границы , то |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
f z dz |
|
f |
z dz . |
(3.10) |
|
k |
1 |
k |
|
|
|
Из леммы 3 вытекает |
|
|
|
|
|
Следствие. Если функция |
f |
z |
непрерывна в области D |
||
вплоть до границы, то интеграл от |
f z по границе области |
D можно с любой точностью приблизить суммой интегралов от f z по замкнутым ломаным, лежащим в области D .
Лемма 4. Кривую , лежащую в области D , можно по-
крыть конечной системой кругов, принадлежащих области D
.
Методы вычисления интегралов
Если кривая L задана уравнением y y x , то в формуле (3.3) можно записать dy y x dx и, следовательно,
52
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z dz |
|
u x, y(x) |
v x, y(x) y (x) dx |
|
|||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
v |
x, y(x) |
u |
x, y(x) y (x) dx , |
|
(3.11) |
|||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x1 |
и x2 |
– абсциссы начальной и конечной точек кривой L . |
|||||||||||||
|
|
Если кривая L задана парой параметрических уравнений |
|||||||||||||
x |
x |
t |
и |
|
y |
y t |
, |
то |
в |
формуле (3.3) можно |
записать |
||||
dx |
x |
t |
dt , |
dy |
y |
t |
dt и, следовательно, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z dz |
u x(t), y(t) x (t) v x(t), y(t) y (t) dt |
|||||||||||
|
|
L |
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
v |
x(t), y(t) |
x (t) |
u x(t), y(t) y (t) |
dt , |
(3.12) |
||||
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x1 |
x(t1) , x2 |
x(t2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если |
кривая |
L |
задана |
параметрическим |
уравнением |
||||||||
z |
|
z |
t , |
причем начальная и конечная точки дуги соответст- |
|||||||||||
вуют значениям параметра t |
t1 |
и t |
t2 соответственно, то |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
z |
dz |
f |
z(t) |
z (t)dt . |
|
(3.13) |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если путь интегрирования является полупрямой, выхо- |
|||||||||||||
дящей из точки |
z0 , то полезно сделать замену переменной |
||||||||||||||
z |
|
z0 |
rei |
. В этом случае |
|
0 =const , расстояние от точки |
|||||||||
z |
0 |
меняется от 0 до |
r |
, dz |
ei |
0 dr , поэтому |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
r0 |
|
|
rei 0 dr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
z |
dz |
0 |
f |
z |
|
(3.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
53
Если путь интегрирования является или дугой окружности с центром в точке z0 , то также полезно сделать замену пе-
ременной z |
z |
0 |
|
rei |
. В этом случае r |
r |
const , угол меня- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ется от |
1 |
до |
|
2 |
, |
dz |
ir ei d |
, поэтому |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
r ei |
|
ei d |
|
|
|
|
|
f |
|
z dz |
ir |
f |
z |
0 |
|
. |
(3.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция F |
z называется первообразной функции |
f z |
|||||||||||||
в области D , если F |
z дифференцируема в этой области и |
||||||||||||||
F z |
f z |
|
z |
D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функция |
f z |
аналитична в односвязной области |
|||||||||||||
D , а L – некоторая кривая, целиком лежащая в D . Тогда |
|
||||||||||||||
1) существует первообразная F |
z |
для |
f z в D и вер- |
||||||||||||
на формула Ньютона-Лейбница: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
z dz |
|
F |
|
z2 |
F |
z1 , |
|
(3.16) |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z1 и z2 – начальная и конечная точки кривой L ;
2) если L – любой замкнутый кусочно-гладкий контур в
области D , то верна теорема Коши: |
|
f z dz 0 ; |
(3.17) |
L
Если функции f z и z – аналитические в односвяз-
ной области D , а z1 и z2 – произвольные точки этой области, то имеет место формула интегрирования по частям:
z2 |
|
|
|
z2 |
z2 |
|
|
f z |
z dz |
f z |
z |
z f z dz . |
(3.18) |
||
z1 |
|||||||
z1 |
|
|
|
z1 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного производится аналогично случаю функции
54
действительного переменного. Пусть аналитическая функция z w отображает взаимно однозначно контур C1 в плоско-
сти w на контур C в плоскости z . Тогда
f z dz |
f w |
w dw . |
(3.19) |
C |
C1 |
|
|
1
2
D
3
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
Если функция |
f z |
аналитична в многосвязной области |
|||
D , ограниченной контуром |
и внутренними по отношению к |
||||
нему контурами 1 , |
2 , |
, |
k , и непрерывна в замкнутой об- |
||
|
|
|
|
|
|
ласти D D |
1 |
|
k , где знаки в верхних индексах |
означают направления обходов (рис. 3.2), то верна теорема Коши для многосвязной области:
55
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
z dz |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.20) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить интеграл |
|
|
|
1 |
i |
2z dz |
по лини- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ям, соединяющим точки z1 |
0 и z2 |
1 |
|
|
i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) по параболе y |
x2 |
(рис. 3.3, а); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) по прямой (рис. 3.3, б); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) по ломаной z1z3z2 , |
z3 |
1 (рис. 3.3, в). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
x |
|
0 |
|
z1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
z1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
z1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Запишем подынтегральную функцию в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 i |
2z |
1 i |
2(x iy) |
(1 |
2x) |
i(1 |
|
2 y) |
|
u |
|
iv . |
Проверим |
||||||||||||||||||||||||||
эту функцию |
на аналитичность: |
|
|
u |
2 |
, |
|
|
|
v |
2 . |
Так |
как |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
u |
|
v |
, то функция не является аналитической. Применяя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
формулу (3.3), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
i |
2z dz |
|
(1 2x)dx |
(1 2 y)dy i |
(1 |
|
2 y)dx |
(1 2x)dy. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) Для параболы y |
x2 |
имеем dy |
2x dx ( 0 |
x |
1). Сле- |
|||||||||||||||||||||||||||
довательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
2z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x (1 2x2 )2x dx i 1 2x2 |
|
|
(1 2x)2x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x |
2 |
x |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
i x x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
4 |
|
|
i . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Уравнение прямой, |
проходящей через точки z1 0 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 1 i , будет y |
x ( 0 |
|
|
x |
|
1), а значит, |
|
|
dy |
dx . Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
2z |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2x) (1 2x) dx i (1 2x) (1 2x) dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
1 |
|
i 2x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
На отрезке |
z1z3 : y |
|
0 , |
|
0 |
|
x |
1. |
|
|
На отрезке |
|||||||||||||||||||||||||||
z3z2 : x |
1 , dx 0 , |
0 |
|
|
y |
1. |
Используя свойство линейности |
||||||||||||||||||||||||||||||||
криволинейных интегралов, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 i 2z dz |
|
|
|
|
|
|
1 i 2z dz |
|
|
|
|
|
|
1 i 2z dz |
||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
z1z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1 2x) dx i |
|
|
dx |
|
(1 |
2y)dy |
i (1 |
2 1)dy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x x2 |
|
1 |
|
|
i x |
|
1 |
|
y y2 |
|
1 |
i y |
|
1 |
2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. Вычислить |
I |
e |
|
|
Re z dz , где C – отрезок |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
прямой, соединяющей точки z1 0 и z2 |
|
1 |
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение (первый способ). Выделим действительную и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мнимую часть подынтегральной функции |
|
|
f |
|
z |
e |
|
z |
|
2 |
Re z . Для |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
57
этого перепишем ее в виде e |
|
|
z |
|
2 |
Re z |
|
|
|
ex2 |
y2 x . Отсюда следует, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u x, y |
|
xex2 |
|
y2 , |
|
v |
x, y |
|
|
0 . Применим формулу (3.3). Полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
z |
|
2 |
|
Re zdz |
|
|
|
|
xex2 |
y2 dx |
|
|
i |
|
xex2 |
y2 dy . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение прямой, |
проходящей через точки z1 |
|
0 и z2 1 i , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
будет y |
x , а значит dy |
|
dx . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2x2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2x2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
xe |
dx |
|
i |
xe |
dx |
e |
|
|
i |
e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e2 |
|
1 i |
|
1 |
|
|
|
|
e2 |
1 |
|
|
|
1 |
e2 |
1 1 i . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Решение (второй способ). Так как при движении вдоль |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg z |
||||||||||||||||||||||||||||
отрезка C изменяется только r |
z |
|
|
от 0 до |
|
|
2 , а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
Re z |
r cos |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
re |
|
dz |
|
e |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
dr |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
r |
и для интеграла получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I |
er2 |
|
|
|
|
2 |
r |
2 |
|
|
1 i dr |
1 |
|
|
1 i |
er2 d r 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 i er2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
1 i e2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Пример 3. Вычислить zk dz , где C – окружность еди- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ничного радиуса с центром в точке |
|
z |
0 (обход против часо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вой стрелки, |
k – целое число). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
|
Решение. Так как на окружности |
C имеем |
|
z |
1, то |
|||||||||||||||||||||
z |
ei |
( 0 |
2 |
) и dz |
|
iei |
|
|
d |
|
. Тогда получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, k |
1 . |
||||
|
|
zk dz |
eik iei d |
|
|
|
i ei k 1 d |
|
||||||||||||||||||
|
|
C |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
i, |
k |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При k |
0 результат вычислений согласуется с теоремой Коши |
|||||||||||||||||||||||||
(3.17). При k |
1 функция |
|
|
f |
z |
1 |
не определена и не диф- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ференцируема в точке |
z 0 . |
Интеграл не равен нулю. При |
||||||||||||||||||||||||
k |
2, |
3, подынтегральная функция не определена в точке |
||||||||||||||||||||||||
z |
0 и теорема Коши также не применима, |
но интеграл равен |
||||||||||||||||||||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Вычислить |
|
|
zzdz , где C : |
|
z |
|
1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. Аналогично примеру 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
zzdz |
ei e i iei d |
|
|
|
|
ei d i |
|
|
|
ei |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
C |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
e2 i |
1 |
|
cos 2 |
|
|
i sin 2 |
|
1 |
0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Вычислить интеграл |
|
zdz . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как подынтегральная функция является |
|||||||||||||||||||||||||
аналитической, |
то можно |
использовать |
формулу |
Ньютона- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 i |
|
|
z2 |
|
|
1 i |
|
|
1 |
|
|
|
i 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Лейбница (3.16): |
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i2 |
|
i . |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3.2. Интегрирование многозначных функций |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Пусть функция |
w |
|
f |
|
|
z |
, |
аналитическая в области D , |
|||||||||||||||||
отображает |
D на область G и такова, |
что обратная функция |
59
z |
w |
многозначна в области |
G . |
Если существуют одно- |
||||
значные, |
аналитические в |
области |
G |
функции |
z |
1 w , |
||
z |
2 w , , для которых данная функция w f |
z |
является |
|||||
обратной, |
то функции z |
1 w , |
z |
2 |
w , |
называются |
||
однозначными ветвями функции |
z |
w , определенными в |
||||||
области G . |
|
|
|
|
|
|
||
|
Например, функция w |
zn каждой точке z0 |
ставит в со- |
ответствие единственную точку w0 , но одной и той же точке
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
w |
( w 0 , |
w |
) функция |
z n |
w |
ставит в соответствие n |
|||||||||||
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
различных точек плоскости |
z ; при этом, если w |
rei , то эти |
|||||||||||||||
n значений z находятся по формулам (1.30): |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i( |
2k |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
( |
|
|
|
, k 0, 1, 2, |
, n 1). |
||||
|
w |
|
re |
|
|
|
|||||||||||
|
Пусть односвязная область G содержит точку w0 , но не |
||||||||||||||||
содержит точек w |
0 и w |
|
. Тогда различным фиксирован- |
||||||||||||||
ным значениям k |
( k |
0, 1, 2, |
, n 1) при одном и том же вы- |
||||||||||||||
боре числа |
|
0 (например, |
0 |
arg w0 ) соответствуют различ- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ные ветви функции z |
|
n |
w |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее |
в достаточно малой окрестности влечет за собой переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой разветвления рассматриваемой многозначной функции.
Точками разветвления функции z nw являются точки w 0 и w . После n -кратного обхода вокруг точки w 0 мы вернемся к первоначальной ветви функции z nw ; точки разветвления, обладающие таким свойством, называются ал-
гебраическими точками разветвления порядка n 1. В каждой из этих точек функция z nw имеет только одно значение:
60