Учебники 80107
.pdfдом полураспад соотношением ln2 .
T1/2
Число распавшихся к моменту времени t ядер выразим как разницу между начальным числом ядер и числом нераспавшихся к данному моменту впемени ядер
N N0 N N0 N0e t N0(1 e t ). |
||||||||||||||
Согласно условию задачи за год распалось 60% ядер, |
||||||||||||||
следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
N0(1 e |
t |
) |
1 e t 0,6. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
N0 |
|
|
|
|||||||
|
N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выразим постоянную радиоактивного распада |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 e t 0,6, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e t 0,4, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e t |
2,5, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
ln2,5 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда период полураспада |
|
|
t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
T |
|
ln2 |
|
t ln2 |
0,76года. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
1/2 |
|
|
|
|
ln2,5 |
Пример 2. Сколько ядер, содержащихся в 1 г трития 13H , распадается за среднее время жизни этого изотопа?
Решение.
Согласно закону радиоактивного распада число нерас-
павшихся ядер N к моменту времени t
N = N0 e– t, (1)
где N0 – число нераспавшихся ядер в момент времени t = 0; – постоянная радиоактивного распада, имеющая смысл вероятности распада ядер за 1 сек.
Среднее время жизни радиоактивного изотопа есть величина, обратная постоянной распада
8
|
1 |
. |
(2) |
|
|||
|
|
|
По условию задачи время t= . Подставим в (1) выражение (2) и получим
|
|
|
|
|
N |
|
N0 |
. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число атомов распавшихся за время t= равно |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
N N0 N N0(1 |
|
). |
(4) |
||||||||||||||||
e |
||||||||||||||||||||
Найдем число атомов N0 , содержащихся в массе m 1г |
||||||||||||||||||||
изотопа трития 13H : |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N |
|
|
N |
A |
, |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
где M 3 10 3кг/ моль |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
13H , |
|||||||
|
- |
|
молярная |
масса изотопа |
||||||||||||||||
NA 6,02 1023моль-1 - число Авогадро. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
С учетом (5) выражение (4) примет вид |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
M NA |
(1 e). |
(6) |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
Подставляя в (6) численные значения, получим |
|
|||||||||||||||||||
N |
10 3 6,02 1023 |
(1 |
1 |
|
) 1,27 1023 . |
|
||||||||||||||
|
2,72 |
|
||||||||||||||||||
|
3 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. При археологических раскопках были обнаружены сохранившиеся деревянные предметы, активность 146C
которых оказалась равной 106 распадов в минуту на 1 г содержащегося в них углерода. В живом дереве происходит в среднем 14,5 распадов за минуту на 1 г углерода. Исходя из этих данных, определить время изготовления обнаруженных предметов.
Решение.
Активностью радиоактивного препарата А называется число распадов, происходящих за единицу времени:
9
A = A0 e– t, |
(1) |
где A0= N0 – активность в момент времени t = 0, А – активность препарата в момент времени t, – постоянная радиоактивного распада.
Активность, приходящаяся на единицу массы вещества, называется удельной активностью
a A . m
Активность препарата выразим через удельную актив-
ность А=am, тогда выражение (1) можно записать в виде
а = а0 e– t, |
(2) |
Выразим из (2) момент времени, к которому активность
достигла указанного значения
|
|
|
|
|
|
a0 |
e t , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
ln2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ln |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a t T |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
t (ln |
a0 |
)/( |
ln2 |
) T |
|
(ln |
a0 |
)/(ln2). |
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
T1/2 |
1/2 |
|
|
|
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Известно, что период |
полураспада |
изотопа |
146C |
Т1/2=5700лет.
Подставляя численные значения, получим возраст обнаруженных сохранившихся деревянных предметов
t 5700 (ln14,5)/(0,693) 3056лет. 10
Метод определения возраста различных объектов, в составе которых есть какой-либо радиоактивный изотоп, называется радиоизотопным анализом.
10
Пример 4. В образцах урановой руды всегда содержится некоторое количество атомов тория-234,образовавшегося в результате α-распада урана-238. Торий также радиоактивен Сколько атомов тория содержится в образце урановой руды, в которой находится m = 1 г урана-238. Периоды полураспада урана и тория соответственно равны Т1=4,5·109 лет и Т2=24
сут.
Решение.
Период полураспада Т1 материнского вещества существенно больше периода полураспада Т2 дочернего вещества, т.е. Т1>>Т2. По истечении некоторого промежутка времени устанавливается радиоактивное равновесие между этими веществами. Это означает, что число атомов тория, распадающихся за 1 секунду, равно числу атомов того же вещества, образующихся при распаде урана. В результате этого активности обоих веществ становятся одинаковыми А1 А2 , т.е.
|
1N1 2N2 , |
(1) |
||||||||||
где 1,N1 и 2,N2 |
- постоянные радиоактивного распада и |
|||||||||||
число радиоактивных ядер урана и тория соответственно. |
||||||||||||
Учитывая, что |
постоянная радиоактивного распада свя- |
|||||||||||
зана с периодом полураспада соотношением |
|
ln2 |
перепи- |
|||||||||
|
||||||||||||
шем (1) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1/ 2 |
|
|
ln2N1 |
|
|
ln2N2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Откуда |
|
T1 |
|
|
|
T2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
N1T2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
N |
2 |
|
. |
(2) |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Число атомов урана равно
11
N |
m1 |
N |
A |
, |
(3) |
|
|||||
1 |
M1 |
|
|
Подставляя (3) в (2), окончательно получаем выражение для числа атомов тория
N |
2 |
|
m1NA |
|
T2 |
. |
(4) |
|
|
|
|||||||
|
|
M |
1 |
|
T |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
Проведем вычисления
N2 |
10 3 6,02 1023 |
|
24 |
10 |
|
|
|
3,7 10 . |
|
238 10 3 |
4,5 109 365 |
Таким образов в образце урановой руды массой 1 г содержится приблизительно 3,7 1010 атомов тория.
Задачи для самостоятельного решения
1.Определить период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8 начального количества ядер этого изотопа распалось за время 849 с. [600 с]
2.Какова вероятность того, что данный атом в изотопе
радиоактивного йода 13153 I распадается в течение первой секун-
ды?
3.Какая часть первоначального количества радиоактивного изотопа распадается за время, равное средней продолжительности жизни атомов этого изотопа?
4.За один год начальное количество радиоактивного изотопа уменьшилось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за два года? [в 9 раз]
5.Какая часть атомов радиоактивного кобальта 58Co27 распадается за 18 суток, если период полураспада равен 72
суткам. [0,16]
6.Радиоактивный 24Na11 распадается, выбрасывая - частицу. Период полураспада натрия 15 часов. Вычислить ко-
личество атомов, распавшихся из 1 мг данного радиоактивного препарата за 30 часов. [1,9.1019]
7.Какое количество радиоактивного препарата изотопа
12
радия-226 имеет активность 1 кюри?
8. Найти массу полония 84Po, активность которого равна A0=3,7 1010 Бк. Период полураспада полония 84Po равен 138 сут.
9.За время t= 1 сут активность изотопа уменьшилась от А1= 118 ГБк до А2 = 7,4 ГБк. Определить период полураспада T1/2 этого нуклида. [6 часов]
10.Определите возраст минерала, в котором на один атом урана 238U92 приходится один атом свинца. Считать, что в момент образования минерала, свинец в минерале отсутство-
вал. Свинец образовался только в результате радиоактивного распада урана. Период полураспада урана равен 4,5·109 лет. Полученный дайте ответ в годах. [4,5·109лет]
11.Среди радиоактивных загрязнений, вызванных аварией на чернобыльской АЭС, наиболее опасными являются долгоживущие продукты деления, такие, как стронций-90 и цезий-137. Вычислите, сколько времени должно пройти к моменту, когда количество этих загрязнений уменьшится в 10 раз? Периоды полураспада: стронция – 28 лет, цезия – 30 лет. [93 и 100 лет]
12.В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего 24Na, имеющего активность А0=2100Бк.
Активность 1 см3 крови, взятой через t=5 ч после этого оказа-
лась А=0,28 Бк. Найти объем крови человека. Период полураспада 24Na Т1/2 =15 ч.
13.Определить массу m2 радона 222Rn, находящегося в радиоактивном равновесии с радием 226Ra массой m1 = 1 г. [6,5 мкг]
14.Определите массу свинца, который образуется из 1 кг
урана-238 за период равный возрасту Земли [2,5 109 лет].
15. Какому количеству радона соответствует фон, даю-
щий один отброс счетчика за 5 сек?[3,47 10-17 г]
13
1.4. Виды и закономерности радиоактивных процессов
Различают три вида радиоактивных процессов: альфараспад, бета-распад и гамма-излучение.
Альфа-распад – свойство тяжелых ядер (А>200, Z>82), сопровождается испусканием -частиц, т.е. ядер изотопов гелия 24He. Атомное ядро, возникающее в результате радиоактивного распада, определяется правилом смещения, которое является следствием законов сохранения зарядового и массового чисел:
ZA X AZ 42Y 24He,
где X - материнское ядро, Y - дочернее ядро, образовавшееся в результате распада.
Масса материнского ядра должна быть больше суммы масс дочернего ядра и -частицы. При этом энергетический спектр -частиц обнаруживает «тонкую структуру», т.е. состоит из нескольких близких друг к другу энергий. Это связано с тем, что дочернее ядро при радиоактивном распаде может оказаться не только в основном, но и в одном из своих возбужденных состояний (рис.1).
Пробег -частиц в воздухе незначителен и определяется приближенным эмпирическим соотношением
L 0,32E3/2 ,
где L - длина пробега, выраженная в см, E - энергия, в МэВ. Бета-распад свойствен ядрам независимо от значения массового числа. Периоды полураспада -активных ядер
варьируются в широких пределах от 10 2 с до 1018 лет. Различают три вида бета-распада: электронный , по-
зитронный - , электронный захват - K -захват.
Правило смещения для электронного распада
ZA X Z A1Y 01e ~.
В результате такого распада из материнского ядра вылетают электрон, антинейтрино (античастица нейтрино) и образуется дочернее ядро с увеличением зарядового числа на еди-
14
ницу. Весь процесс происходит так, что нейтрон самопроиз-
вольно превращается в протон по схеме
01n 11p 10e ~ .
Энергетический спектр электронов при -распаде, в отличие от - распада, является непрерывным, хотя стационарным состоянием ядер соответствуют квантовые энергетические уровни. Это связано с тем, что антинейтрино, возникающая при распаде нуклона, делит с электроном энергию в произвольной пропорции.
При позитронном распаде порядковый номер дочернего ядра на единицу меньше, чем материнского
ZA X Z A1Y 01e .
Процесс сопровождается испусканием позитрона и нейтрино по схеме
11 p 01n 01e .
Для свободного протона такой процесс невозможен по энергетическим соображениям, так как масса протона меньше массы нейтрона. В ядре же протон может заимствовать требуемую энергию от других нуклонов.
Третий вид радиоактивности связан с захватом ядром электрона из ближайшего к нему K -оболочки атома:
ZA X 01e Z A1Y .
В результате этого процесса один из протонов превращается в нейтрон, испуская при этом нейтрино:
11 p 10e 01n .
Данный вид -распада имеет существенное значение для тяжелых ядер, у которых K -оболочка расположена близко к ядру. Электронный захват сопровождается рентгеновским излучением. Место в электронной оболочке, освобожденное захваченным электроном, заполняется электронами из вышележащих слоев, в результате чего, возникает характеристическое излучение.
Гамма-излучение, представляющее собой коротко-
волновое электромагнитное излучение ( 10 3 |
1 ), |
15
происходит без изменения массового и зарядового числа ядер, сопровождая и -распады. Возникающие дочерние ядра оказываются в возбужденном состоянии, и снятие возбуждения ядер, т.е. переходы ядра из возбужденных состояний в основное состояние (рис. 2), приводит к излучению -квантов. Спектр -излучения всегда дискретный из-за дискретности ядерных уровней. Длину волны -кванта можно оценить с использованием формулы де Бройля:
c .
E
При прохождении радиоактивного излучения через вещество плотность его потока уменьшается. Закон ослабления пучка моноэнергетического -излучения имеет вид
I I0e x ,
где I и I0 - интенсивности гамма –излучения на входе и выхо-
де слоя поглощающего вещества толщиной x, - коэффициент линейного ослабления.
Ослабление гамма-излучения связано с тремя процессами: фотоэлектрическим поглощением, комптоновским рассеянием и генерацией электронно-позитронных пар.
Фотоэлектрическое поглощение (фотоэффект) – это процесс, при котором атом поглощает -квант и испускает электрон. Электрон выбивается из внутренних оболочек атома, что сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. С ростом энергии -кванта вероятность фотоэффекта понижается. Фотоэлектрическое поглощение существенно при энергиях -квантов W 0,5МэВ.
Комптоновским рассеянием называется упругое столкновение -квантов со свободными или слабо связанными электронами вещества, что приводит к рассеянию и уменьшению энергии -квантов.
При энергиях, превышающих удвоенную энергию покоя электрона 2m0c2 1,02МэВ, становится возможен процесс по-
16
глощения -излучения, связанный с образованием электрон- но-позитронных пар. Вероятность образования пар сравнивается с вероятностью комптоновского рассеяния.
Примеры решения задач
Пример 1. Какой изотоп образуется из ядра тория 232Th90
после четырех -распадов и двух -распадов?
Решение.
Так как -частица содержит два протона и два нейтрона,
то при -распаде зарядовое и массовое числа уменьшаются соответственно на две и четыре единицы. Согласно закону со-
хранения массы и электрического заряда, правило смещения
при -распаде представляется в виде:
|
|
ZA X ZA 42Y 24He. |
(1) |
где |
AX - материнское ядро, A 4Y - дочернее ядро. |
|
|
|
Z |
Z 2 |
|
|
При -распаде один из нейтронов превращается в про- |
||
тон |
0 n1 1p1 1e0 |
~ , общее число нуклонов не изменяется, |
а зарядовое число увеличивается на единицу. Электронный распад протекает по схеме
Z X A Z 1YA 1e0 ~ .
Определим какой изотоп образуется из ядра тория 232Th90
после четырех -распадов и двух -распадов:
23290Th 4 21682 Pb 2 21684 Po .
17