Учебники 80377
.pdfТаблица 8
Характеристика некоторых континуальных КЭ
|
Наименование КЭ |
Форма КЭ, система координат, векто- |
Компоненты напряжений в |
Функции перемещений |
|
|
ры степеней свободы в узлах |
точках |
|
|
Трехузловой тре- |
|
|
u=α1+α2x+α3z |
|
угольный КЭ |
|
|
|
|
плоской системы |
|
|
v=α4+α5x+α6z |
|
|
|
|
|
|
Четырехузловой |
|
|
u=α1+α2x+α3z+α4xz |
59 |
прямоугольный |
|
|
|
|
|
|
||
|
КЭ плоской сис- |
|
|
v=α5+α6x+α7z+α8xz |
|
темы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осесимметрич- |
|
|
|
|
ный пространст- |
|
|
u=α1+α2x+α3z |
|
венный КЭ тре- |
|
|
|
|
угольного сече- |
|
|
v=α4+α5x+α6z |
|
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
59
60
|
|
|
Продолжение табл. 8 |
|
|
|
|
|
|
Наименование КЭ |
Форма КЭ, система координат, векто- |
Компоненты напряжений в |
Функции перемещений |
|
|
ры степеней свободы в узлах |
точках |
|
|
|
|
|
|
|
Тетраэдр, про- |
|
|
u=α1+α2x+α3y+α4z |
|
|
|
|
|
|
странственное |
|
|
v=α5+α6x+α7y+α8z |
|
напряженное со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стояния |
|
|
w=α9+α10x+α11y+α12z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u=α1+α2x+α3y+α4z+ |
|
Параллелепипед, |
|
|
+α5xy+α6yz+α7xz+α8xyz |
|
пространственное |
|
|
v=α9+α10x+… |
|
напряженное со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стояние |
|
|
w=α17+α18x+… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 8 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Наименование КЭ |
Форма КЭ, система координат, векто- |
Компоненты напряжений в |
Функции перемещений |
|
|||||||
|
|
ры степеней свободы в узлах |
точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
u=α1+α2x+α3z+α4xz+ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+α |
x2+α z2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
Шестиузловой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольный КЭ |
|
|
v=α7+α8x+α9z+α10xz+ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+α11x2+α12z2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
u=α1+α2x+α3z+α4xz+ |
|
|||||||
61 |
|
|
|
+α |
5 |
x2+α z2+α x2z+α xz2 |
|
|||||
|
Восьмиузловой |
|
|
|
|
|
6 |
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольный |
|
|
v=α9+α10x+α11z+α12xz+ |
|
|||||||
|
КЭ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
+α |
|
x2+α |
|
z2+α |
x2z+α xz2 |
|
|||
|
|
|
|
13 |
14 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
16 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
2.2.4. Построение матриц жёсткости континуальных КЭ
Треугольный КЭ. Общий вид связи между узловыми перемещениями и силами в вершинах треугольника на рис. 27, б представляет собой матричное соотношение
{F}=[K]{U}, |
(2.10) |
подобное (2.1), где {F} и {U} по-прежнему векторы-столбцы сил и перемеще-
ний в узлах КЭ:
FxaFxb
{F}= Fxc ,Fza
FzbFzc
UaUb {U}= Uc
, (2.11)
VaVbVc
[K] – матрица жёсткости, подобная (2.4), которую необходимо построить. Условно принимается, что в матричном соотношении (2.10) силы {F} не-
известны, а шесть перемещений {U} узлов заданы.
Исходными соотношениями для решения поставленной задачи (определения коэффициентов Kij, формирующих матрицу [K]) являются соотношения Коши (1.19), уравнения закона Гука (табл. 7) и координатные функции (2.5) с коэффициентами αk (k=1…6) в соответствии с уравнениями (2.7).
Построение уравнений связи между известными перемещениями {U} и неизвестными силами {F} осуществляется в три этапа.
1.Определение относительных деформаций. Подстановка функций (2.5)
вдифференциальные соотношения Коши (1.19) позволяет получить следующие значения относительных деформаций εх, εz, γxz:
ε |
x |
= ∂u = α |
2 |
; |
ε |
z |
= ∂v = α |
6 |
; |
γ |
xz |
= ∂u |
+ |
∂v |
= α |
3 |
+ α |
5 |
, |
(2.12) |
|
∂x |
|
|
∂z |
|
|
∂z |
|
∂x |
|
|
|
|
|||||||
где α2, α3, α5, α6 – коэффициенты в соответствии с (2.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε x |
|
|
|
||
Соотношения между столбцами деформаций |
{ε}= ε z |
и {U} могут |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ xz |
|
|
|
||
быть представлены в матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
{ε}=[В]{U}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
|
1 |
|
zb − zc |
zc − za |
za − zb |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
[B]= |
|
0 |
0 |
0 |
x |
|
− x |
|
x |
|
− x |
|
x |
|
− x |
|
(2.14) |
||
2S |
c |
b |
a |
c |
b |
a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
xc − xb |
xa − xc |
xb − xa |
zb − zc |
zc − za |
za − zb |
|
− матрица соотношений Коши. Размерность матрицы [B] м–1.
2.Переход от деформаций к компонентам напряжений. Относительные деформации связаны с напряжениями σх, σz, τxz уравнениями закона Гука:
σ x |
ε x |
|
||
{σ }= [D]{ε} или σ z |
= [D] ε z , {σ}=[D] [В]{U}, |
(2.15) |
||
|
|
|
|
|
τ xz |
γ xz |
|
где [D] – матрица закона Гука из табл. 7 для плоской деформации.
Рассмотрим уравнения (2.5), (2.7) и (2.12) – (2.15). Перемещения u, v являются линейными функциями координат, относительные деформации {ε}, как первые производные перемещений, постоянны на всей площади треугольника. Компоненты напряжений, связанные с деформациями матрицей констант [D], также не изменяются от точки к точке, т. е. являются постоянными в пределах
треугольного КЭ.
3.Определение узловых сил по известным напряжениям. Заключительный этап построения матрицы жёсткости КЭ связан с получением уравнений связи между матрицами-столбцами напряжений {σ} и узловых сил {F}. В связи с невозможностью реализовать обычные условия равновесия при построении матриц жёсткости континуальных КЭ используется принцип Лагранжа минимума потенциальной энергии системы. В МКЭ использование принципа Лагранжа выражается в виде следующего матричного соотношения, которое (применительно к плоским системам) записывается без вывода:
{F} = t∫∫S [В]Т{σ}dS, |
(2.16) |
где t=1 м – толщина КЭ в условиях плоской деформации, S – площадь КЭ, [В]Т
– транспонированная матрица [В] со следующей записью:
|
|
|
|
zb − zc |
0 |
xc − xb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
zc − za |
0 |
xa − xc |
|
|
|
Т |
|
1 |
za − zb |
0 |
xb − xa |
|
|
||
[B] |
= |
|
|
|
xc − xb |
zb − zc |
. |
(2.17) |
|
2S |
0 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
xa − xc |
zc − za |
|
|
||
|
|
|
0 |
xb − xa |
za − zb |
|
|
||
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
Для треугольного КЭ с постоянными напряжениями на всей площади треугольника ∫∫SdS=S выражение (2.17) принимает вид
|
|
|
|
|
|
|
{F} = St [В]Т{σ}. |
(2.18) |
|||||||
В развёрнутой записи соотношения (2.18) имеют следующий вид: |
|
||||||||||||||
Fxa |
= |
|
|
t |
[σ x (zb − zc ) + τ xz (xc − xb )], Fxb |
= |
|
|
t |
[σ x (zc − za ) + τ xz (xa − xc )], |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
Fxc |
= |
|
t |
|
[σ x (za − zb ) + τ xz (xb − xa )], Fza |
= |
|
t |
[σ z (xc − xb ) + τ xz (zb − zc )], |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
Fzb |
= |
t |
[σ z (xa − xc ) + τ xz (zc − za )], Fzc |
= |
t |
[σ z (xb − xa ) + τ xz (za − zb )]. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
В окончательном виде матричное соотношение между узловыми силами и перемещениями узлов треугольника представляет собой следующее выражение:
{F} = St [В]Т [D] [В] {U}=[K]{U}, |
(2.19) |
где |
|
[K]= St [В]Т [D] [В] − |
(2.20) |
−матрица жёсткости треугольного КЭ.
Вразвёрнутой записи матрица (2.20) имеет следующий вид:
|
|
|
Azbc2 + |
− Azaczbc − |
Azabzbc + |
− Bxbczbc |
Cxaczbc + |
−Cxabzbc − |
|
|
|
|
|
+Gx2 |
−Gxacxbc |
+Gxabxbc |
+Gxbczac |
−Gxbczab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
bc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Azac2 + |
− Azabzac − |
Cxbczac + |
− Bxaczac |
Cxabzac + |
|
|
|
|
|
|
+Gx2 |
−Gxabxac |
+Gxaczbc |
+Gxaczab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ac |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Azab2 + |
−Cxbczac − |
Cxaczab + |
− Bxabzab |
|
|
[K]= |
t |
|
|
|
+Gxab2 |
−Gxabzbc |
+Gxabzac |
|
|
|
|
|
|
. |
(2.21) |
||||||
4S |
|
|
|
Axbc2 + |
− Axacxbc − |
Axabxbc + |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+Gz2 |
−Gzaczbc |
+Gzabzbc |
|
|
|
|
|
|
|
|
bc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Axac2 + |
− Axabxac − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Gz2 |
−Gzabzac |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ac |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Axab2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Gzab2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
В матричном |
выражении (2.21) приняты следующие |
обозначения: |
|||||||
xab=xa−xb, xbc=xb−xc, xac=xa−xc, zab=za−zb, zbc=zb−zc, |
zac=za−zc; A, B, C, |
||||||||
G=E/2(1+ν) – коэффициенты, включающие параметры закона Гука. Для пло- |
|||||||||
ской деформации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
E(1− v) |
, B = |
E |
, C = |
Ev |
|
. |
(2.22) |
|
(1+ v)(1− 2v) |
2(1+ v)(1− 2v) |
|
(1+ v)(1− 2v) |
|
Размерность коэффициентов Kij – Нм-1, кНм-1.
Четырёхузловой прямоугольный КЭ. Исходной базой для построения матрицы жёсткости прямоугольного КЭ является схема на рис. 27, в и уравнения (2.8) функций перемещений с коэффициентами α1…α8 в соответствии с (2.9).
Для построения матрицы жёсткости необходимо получить соотношения [B], т. е. определить относительные деформации как частные производные уравнений (2.9) с подстановкой в них значений αk (k =1…8):
ε x = |
∂U |
= α2 + α4 z = |
U |
b |
−U |
a |
+ |
U |
d |
+U |
a |
−U |
b |
−U |
c |
z; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
lm |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∂V |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vb −Va |
|
|
|
|
Vd + Va −Vb −Vc |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ε z = |
= α7 + α8 x = |
+ |
|
x; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂U |
+ ∂V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
|||
γ xz = |
|
= α3 + α4 x + α6 + α8 z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂z |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U |
c |
−U |
a |
|
U |
d |
+U |
a |
−U |
b |
−U |
c |
|
|
|
|
V |
b |
−V |
a |
|
V |
d |
+V |
a |
−V −V |
c |
|
||||||||||||
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
b |
z, |
||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
lm |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lm |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где l и m – размеры сторон прямоугольника.
В матричной форме эти соотношения выглядят так:
|
|
|
|
|
|
|
U a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ub |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ε x |
U |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
||
|
|
|
{ε}= [B]{U}; |
{ε}= ε z , |
{U}= Ud |
; |
|
|
(2.24) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Va |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ xz |
Vb |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vd |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− m + z m − z − z z |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
[B]= |
|
0 |
0 |
0 0 |
− l + x |
− x |
|
l − x |
x |
, |
(2.25) |
|
S |
|
|||||||||||
|
|
− l + x |
− x |
l − x x − m + z m − z − z |
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
где S = lm − площадь КЭ.
Матрица [B] может быть представлена как матричное произведение:
[B]= [L] [Q], |
(2.26) |
где
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
m |
m |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
− S |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
− |
l |
|
0 |
|
|
|
l |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
S |
|
S |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
|
− |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||
[Q]= |
|
S |
S |
S |
|
S |
|
|
, |
(2.27) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
− m |
m |
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
− |
l |
|
0 |
|
|
|
l |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
S |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
− |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
S |
|
S |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
z |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[L] = |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
x |
. |
|
|
|
|
(2.28) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
x |
0 |
|
1 |
0 |
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица [Q] выражает связи между столбцами {α} и {U} ({α}=[Q]{U}) в соответствии с (2.19) и включает только постоянные величины. Матрица [L] выражает связи между {ε} и {α} в соответствии с (2.23): {ε}= [L]{α}.
Транспонированная матрица [B] имеет вид:
|
|
|
− m + z |
0 |
− l + x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m − z |
0 |
− x |
|
|
|
|
− z |
0 |
l − x |
|
[B]Т = [Q]T [L]T = |
1 |
|
z |
0 |
x |
(2.29) |
|
|
|
|
|||
S |
|
0 |
− l + x |
− m + z |
||
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
− x |
m − z |
|
|
|
|
0 |
l − x |
− z |
|
|
|
|
0 |
x |
z |
|
|
|
66 |
|
|
|
Теперь не остаётся препятствий к тому, чтобы, руководствуясь соотношением (2.16), получить матрицу жёсткости четырёхузлового прямоугольного КЭ:
|
|
|
|
|
|
|
{F} = t∫∫S [В]Т{σ}dS= t∫∫S [В]Т [D] [В] {U}dS=[K]{U}, |
|
|
|
(2.30) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[K] = t∫[B]T [D][B]dS ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.31) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Am |
+ |
|
− |
|
Am |
|
+ |
|
Am |
|
− |
|
− |
|
Am |
|
− |
|
|
B |
|
|
|
C − G |
|
G − C |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3l |
|
|
6l |
|
6l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ |
Gl |
|
|
+ |
Gl |
|
|
|
− |
Gl |
|
|
− |
|
Gl |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3m |
6m |
|
|
|
3m |
|
6m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Am |
|
+ |
− |
Am |
|
|
− |
|
|
|
Am |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
6l |
|
|
|
|
|
|
G |
− C |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C − G |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6l |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Gl |
|
− |
Gl |
|
|
|
|
− |
Gl |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3m |
6m |
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am |
+ |
|
− Am |
+ |
|
C |
− G |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
G − C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Gl |
|
+ |
Gl |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
6m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
G − C |
|
|
|
C − G |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Gl |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
[K ]= t × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Al |
|
+ |
|
|
|
|
Al |
|
|
− |
|
|
− |
|
Al |
|
|
+ |
− |
|
|
Al |
|
|
|
− |
, (2.32) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
|
|
6m |
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
6m |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Gm |
|
|
|
− |
Gm |
|
|
|
|
|
|
+ |
Gm |
|
|
|
− |
|
Gm |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
6l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6l |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Al |
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
Al |
− |
− |
|
Al |
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Симмет − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
6m |
|
3m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Gm |
|
|
|
− |
Gm |
|
|
|
+ |
Gm |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
6l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6l |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Al |
|
+ |
|
|
|
|
|
Al |
|
− |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
6m |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Gm |
|
− Gm |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Al |
|
+ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Gm |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|||||
где А, В, С – жёсткостные характеристики в соответствии с (2.22) и G=E/2(1+ν). |
67
Восьмиузловой пря моугольный КЭ. Выше было рассмотрено построение матриц жёсткости простейших плоских КЭ: треугольника и прямоугольника с шестью и восьмью ст епенями свободы. Продолжим постр оение матриц жёсткости на примере более сложного КЭ – восьмиузлового прямоугольника с 16- ю степенями свободы в узлах. Покажем, что при любом уровне сложности КЭ процедура построения матрицы жёсткости остаётся одной и т ой же. Достаточно получить матрицу [B]=[L] [Q], и последующий математический процесс состоит только из перемножения, транспонирования готовых матриц и интегрирования в соответствии со следую щим выражением:
[K]=t∫∫S[B]T[D][B] dS = t∫∫S[Q]T [L]T [D][L] [Q] dS. |
(2.33) |
Запишем функции перемещений для восьмиузлового прямоугольника с 16ю степенями свободы в у злах (рис. 29):
u = α |
1 |
+ α |
2 |
x + α |
3 |
z + α |
4 |
xz + α |
5 |
x2 |
+ α |
6 |
z2 |
+ α |
7 |
x2 z + α |
8 |
xz2 |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
v = α |
|
+ α |
|
|
x + α |
|
|
z + α |
|
xz + α |
|
x2 + α |
|
z2 + α |
|
x2 z + α |
|
|
xz2 |
(2.34) |
||||||||||||
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 29. Восьмиузлов ой прямоугольник с 16ю степенями свободы в узлах; 1…16 – номера степеней свободы
68