шпаргалка по интегралам
.pdfНеопределенный интеграл
№ |
Новое понятие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Содержание |
|
|
||||||||
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совокупность всех первообразных F(x) для функции f(x) на промежутке (a; b), |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
неопределённый интеграл |
|
f (x)dx F (x) C , где |
|
— знак неопределённого интеграла, функция f(x) — |
||||||||||||||||||||||||
от функции f (x) |
|
подынтегральная функция, выражение f (x) dx — подынтегральное выражение, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
С — произвольная постоянная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 du C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1] |
||||||||||||||
|
|
|
|
du u C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[2] |
||||||||||||||
|
|
|
|
u n du |
|
u n 1 |
|
C, n 1; |
|
|
[3] |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ln|u| C ; |
|
|
|
|
|
|
|
[4] |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
au |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
au du |
C,a 0,a 1; |
[5] |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
eu du eu |
|
C ; |
|
|
|
|
|
|
|
[6] |
|||||||||||||||
|
|
|
|
sinu du cosu C ; |
|
|
[7] |
||||||||||||||||||||||
2 |
таблица простейших |
|
|
cosu du sinu C ; |
|
|
[8] |
||||||||||||||||||||||
|
интегралов |
|
|
|
|
|
du |
|
ctg u C ; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[9] |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
tg u C ; |
|
|
|
|
|
|
|
[10] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
arcsin u |
C, |
|
a u a, a 0; |
[11] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
ln|u |
|
|
u 2 a 2| C ; |
[12] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
1 |
|
ln |
|
u a |
|
C, |
a 0; |
[13] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
u |
2 |
2 |
|
|
2a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
u a |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
1 arctg u |
C, |
|
a 0; |
[14] |
|||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Основные методы интегрирования |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
метод непосредственного |
|
интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
(или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла |
|||||||||||||||||||||||||||
|
интегрирования |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
приводится к одному или нескольким табличным интегралам |
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
подведение под знак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) (x) |
dx f (t) dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
дифференциала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правило поправочного |
|
|
|
|
|
|
f (a x |
b) dx |
1 |
|
F (a x |
b) C (a, b — const) |
|
|||||||||||||||
|
коэффициента |
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Н.М. Пекельник |
- 1 - |
|
|
u и v — две функции аргумента х, имеющие производные u |
и v |
|
|||||
|
|
|
u dv u v v du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид интеграла |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
P(x) a bx |
dx ; P(x) sin kx dx ; |
u=P(x) |
|
|
|
|
|
|
|
P(x) coskx dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x) ln Q(x) dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирование |
P(x) arcsin(mx) dx ; |
ln(Q(x)); |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по частям |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P(x) arccos(mx) dx ; |
u= arcsin(mx); arccos(mx); |
|
||||||
|
|
P(x) arctg(mx) dx ; |
arctg(mx); arcctg(mx); |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x) arcctg(mx) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
возвратные |
sin( x ); |
или u=e kx |
|
||||
|
|
e kx sin( x ) dx ; e kx cos( x ) dx |
u= |
). |
|
||||
|
|
|
a x 2 dx |
cos( x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
a x |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1.Определить вид дроби, для интегрирования простейших дробей
воспользоваться соответствующей формулой:
|
dx |
ln | x a | C |
или |
|
dx |
|
(x a) k 1 |
C |
x a |
(x a)k |
k 1 |
2.Если числитель является дифференциалом знаменателя, то воспользоваться способом подведения под дифференциал;
3.Если дробь неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделить целую часть);
4.Если дробь правильная, то, разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители; представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей;
|
|
|
|
|
|
|
вид множителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид слагаемого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х – а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x a)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
Bk |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x a)k |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-a (x a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
p x q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C x D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 p x q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
интегрирование рациональных |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
p x q) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
M1x |
|
N1 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
M k x Nk |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 px q |
|
x2 |
px q k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Если |
дробь |
|
|
|
|
|
Cx D |
|
|
, |
то в |
|
знаменателе |
|
выделить полный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 px q |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
квадрат |
и |
сделать |
замену |
|
t x |
|
|
|
и |
|
перейти к |
сумме |
двух |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
интегралов, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Cx D |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
ln | x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
px q | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
px q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. |
|
|
Если |
|
дробь |
|
|
|
|
|
x2 |
px q k |
то |
|
|
воспользоваться |
|
формулой: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx =M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 px q |
|
k |
|
(t 2 |
a 2 )k |
|
|
|
|
2 |
|
|
(t |
2 a 2 )k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
q |
|
p 2 |
, |
|||||||||||||||
|
2(1 k)(t 2 |
a 2 |
)k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
I |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2k 3 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
k |
(t 2 a 2 )k |
2a |
2 (k |
1) |
(t 2 a 2 |
)k 1 |
|
a 2 |
|
|
2k 2 |
k 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Н.М. Пекельник |
- 2 - |
интегрирование 3 тригонометрических
функций
|
sin x cos x |
|
1 |
|
sin( )x sin( )x ; |
||||||||||||||
sin x cos x dx ; |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos x cos x dx ; |
cos x cos x |
|
1 |
|
cos( )x cos( )x ; |
||||||||||||||
sin x sin x dx |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
sin x sin x |
1 |
|
cos( )x cos( )x . |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
универсальная тригонометрическая подстановка |
||||||||||||||||||
|
t tg |
x |
; x 2arctg t; |
dx |
2 dt |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|||||
|
sin x = |
|
|
|
2t |
; cos x |
1 |
t 2 |
|||||||||||
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
t 2 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
если R (– sin x; cos x) = – R(sin x; cos x) – нечётна
R(sin x;cos x) dx |
относительно sin x, то |
|
|
|
t = cos x, dt = – sin x dx; sin2 x 1 t 2 , |
cos2x 2t 2 |
1; |
||
|
если R (sin x; – cos x) = –R (sin x; cos x) – нечётна относительно cos x, то
t = sin x, dt = cos x dx; cos2 x 1 t 2 ;
если R (–sin x; – cos x) = R (sin x; cos x) – чётная функция, то
t = tg x; x=arctg x; dx |
|
dt |
; sin2 x |
|
t 2 |
; cos2 x |
1 |
|
t 2 |
|
t 2 |
1 t 2 |
|||
1 |
1 |
|
k, n — хотя бы одно число нечётное
отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
k, n — чётные положительные
воспользоваться формулами понижения степени:
|
sin x cos x |
1 |
sin 2x ; sin2 |
x |
1 cos2x |
; |
cos2 x |
1 cos2x |
; |
|
|
|
2 |
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
sink x cosn x dx |
k, n — нечётные положительные |
|
|
|
|
||||
|
отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под |
||||||||
|
знак дифференциала; |
|
|
|
|
|
|
n — целое положительное число
применить подстановку t = sin x;
k — целое положительное нечётное число
применить подстановку t = cos x;
n+k — чётное отрицательное целое число
применить подстановку t = tg x
|
если n = 1, то tgx dx |
ln | cos x | |
C , ctgx dx |
ln | sin x | C |
||||
|
если n >1, то tg2 x |
1 |
|
1; |
ctg 2 x |
1 |
|
1, т.е. понизить |
tgn x dx , |
cos2 |
|
sin2 |
|
||||
|
x |
|
x |
|||||
ctg n x dx |
степень тангенса или |
котангенса непосредственно, отделяя один |
||||||
|
множитель и подводя его под знак дифференциала |
© Н.М. Пекельник |
- 3 - |
|
|
|
вид интеграла |
|
|
|
|
|
|
подстановка (формула) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. если числитель есть производная подкоренного |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трёхчлена, |
|
то |
следует |
|
|
|
сделать |
замену |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ax2 |
bx c , что приводит исходный интеграл к |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виду dt 2 |
t C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. если числитель не зависит от х, т.е. М = 0, то под |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знаком радикала выделим полный квадрат из |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадратного трёхчлена, в результате чего получим |
|||||||||||||||
|
|
|
Mx N |
|
|
квадратный |
двучлен, в |
зависимости |
от |
знака а |
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
исходный интеграл |
сводится |
|
|
к |
одной |
из |
формул: |
||||||||||||
|
|
|
ax |
2 |
bx c |
|
|
|
du |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin a C |
|
|
|
[11] |
|
или |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 u 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
du |
|
ln|u |
u 2 |
|
a 2| C [12]; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
если |
M 0, то |
под |
знаком |
радикала |
выделив |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полный квадрат, сделать подстановку t x |
b , при |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этом исходный интеграл разбивается на сумму двух |
|||||||||||||||
интегрирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
иррациональных функций |
|
|
|
|
p |
|
s |
|
|
|
|
|
|
m ax b |
|
|
|
|
|
ax b |
|
|
||
ax b |
q |
ax b t |
|
|
|
|
t |
, |
т.е. t |
m |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
R x, |
|
|
,..., |
|
dx |
|
|
|
cx d |
|
cx d |
|
|
||||||||||
|
|
cx d |
|
|
cx d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m — наименьшее общее кратное чисел q,…,t |
|
||||||||||||||
|
где R — рациональная функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p, q, …,s, t — целые числа |
|
x a sin t; |
|
dx a cost dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
R x, |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
a 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a cost; |
|
dx a sin t dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a tgt; |
dx a dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R x, |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a ctgt; |
dx |
a dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
; dx a sint dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R x, |
|
|
a2 dx |
|
|
cost |
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
; |
dx |
a cost dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
sin2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
tg |
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
1 sin2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin2 |
|
1 sin2 |
|
|
|
sin |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
связь между |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
1 cos2 |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
||
|
|
|
1 cos2 |
|
|
|
|
cos |
|
|
1 cos2 |
|
|
|
||||||||||
тригонометрическими |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
функциями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
1 |
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg 2 |
1 tg |
2 |
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ctg |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|||
|
|
|
1 ctg 2 |
1 ctg 2 |
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
© Н.М. Пекельник |
|
|
|
|
|
- 4 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выделив под радикалом полный квадрат и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сделав |
подстановку |
t x |
b |
, |
интегралы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
указанного вида приводятся к интегралам вида: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R x, a2 x2 |
dx , R x, |
a2 x2 dx , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R x, |
x2 a2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R(x; ax |
2 |
bx c )dx |
|
|
Подстановки Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
a>0, |
|
|
|
|
|
|
подстановка |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax 2 bx c t a x ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
с>0, |
|
|
|
|
|
|
подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax 2 bx c xt c ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
ах2+bx+c |
|
имеет |
различные |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
действительные |
|
корни |
х1 |
и |
х2, |
подстановка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax 2 bx c t(x x1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р — целое число, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
подстановка |
|
|
x t k , где k |
— наименьшее общее |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
кратное дробей m и n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
— целое число, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x m (a bx n )p dx |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
подстановка |
a bx n t s , где s — знаменатель дроби |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
p — целое число, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подстановка |
|
|
a bx n |
x n t s , |
где |
s |
— |
знаменатель |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
дроби р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(Mx N ) dx |
|
|
|
|
1 |
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
подстановка x |
|
|
; dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
t 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(x ) |
ax 2 bx c |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Н.М. Пекельник |
- 5 - |
0 du C ;
du u C ;
un 1
undu n 1 C ; n R /{ 1}
duu ln|u | C ;
au du au C ; lnà
eu du eu C ;
sinu du cosu C ;
cosu du sinu C ;
sindu2 u ctg u C ;
cosdu2 u tg u C ;
|
u2 a2 du u |
|
|
u2 a2 a2 |
|
C; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
u u2 a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a2 u |
2 |
|
du u |
|
|
a2 u2 a2 |
arcsin u |
C ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
arcsin u |
C ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
u du |
|
|
a2 u2 C ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
du |
|
|
|
|
|
ln|u u2 a2 | C ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
u du |
|
u2 |
a2 C ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
a |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
ln |
|
u a |
|
|
|
C ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
u2 a2 |
|
|
|
|
2a |
|
u a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
u du |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2ln|u |
|
a |
|
|
|
| C ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
u2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a arctg a |
C ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a2 u2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u du |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2ln|a |
|
u |
|
|
|
| C ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
a2 u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
tg u du sinu du ln|cosu | C ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ctg u du cosu du ln|sinu | C ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
du |
|
ln |
|
tg |
u |
|
C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sinu |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
du |
|
|
ln |
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
C ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cosu |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
© Н.М. Пекельник |
- 6 - |
|
|
функции |
|
|
производная |
|
|
|
|
дифференциал |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u v) u v |
d (u v) du dv |
[1] |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C |
|
|
|
|
|
C u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u) |
|
|
d (u v) v du u dv |
[2] |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Основные |
|
|
n |
|
|
|
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
арифметические |
|
|
C |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
операции |
u |
|
u v u v |
,v |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
vdu |
udv |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
[3] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C v |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
u |
n |
|
n |
|
|
1} |
|
y |
|
|
|
|
u |
n 1 |
|
|
|
d |
yn |
n un 1d u |
[4] |
||||||||||||||||
|
|
|
|
R \{ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
d u |
[5] |
|||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
2 u |
|
|
|
d |
|
|
u |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
u |
|
|
y |
|
2 |
1 |
u |
u |
|
|
|
d |
|
|
u |
|
|
|
d u |
[6] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
||||||||||
|
|
|
|
y au |
|
|
y au lna u |
d au au lna d u |
[7] |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y eu |
|
|
|
|
y eu u |
|
|
|
|
d eu eu d u |
[8] |
||||||||||||||||||||||||
|
|
y loga u |
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
d loga u |
d u |
[9] |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u lna |
|
|||||||
|
|
|
y lnu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d lnu |
d u |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y u |
|
u |
|
|
|
|
u |
[10] |
||||||||||||||||||||||||
|
|
y sinu |
|
|
y cosu u |
|
d(sinu) cosu d u |
[11] |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y cosu |
|
|
y sin u u |
d(cosu) sin u du |
[12] |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y tg u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d u |
|
||||||
|
|
|
|
|
y cos2u |
u |
|
|
d(tg u) cos2u |
[13] |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y ctg u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d u |
|
||||||||
|
|
|
|
y sin2 u u |
d(ctg u) sin2 u |
[14] |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y arcsinu |
|
|
y |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
u |
d(arcsinu) |
|
|
d u |
[15] |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u2 |
||||||||
|
y arccosu |
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
u |
d(arccosu) |
d u |
[16] |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 u2 |
1 u2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y arctg u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d u |
|
|||||||
|
|
|
|
y 1 u2 |
u |
|
d(arctg u) |
1 u2 |
[17] |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y arcctg u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d u |
|
||||||||
|
|
|
y 1 u2 u |
d(arcctg u) 1 u2 |
[18] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
© Н.М. Пекельник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 7 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|