1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Начальным* моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:

k = M(Хk).

В частности,

1 = M(Х), 2 = M(Х2).

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D(Х) = M(Х2) — [М(Х)]2 можно записать так:

D(Х) = 2 - 12 (*)

*Начальный (отсчет M(Хk) идет от начала координат).

61

Теория вероятностей и математическая статистика

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X — М(Х).

Центральным* моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х - M(Х))k :

k = M[(Х - M(Х))k ] .

В частности,

1 = M[Х - M(Х)], (**)

2 = M[(Х - M(Х))2 ] (***)

*Центральный (отсчет идет от M(Х), являющегося центром, около которого рассеяны возможные значения случайной величины).

62

Теория вероятностей и математическая статистика

Легко получить соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например,

сравнивая (*) и (***), получим

2 = 2 - 12 .

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

			=		- 3 + 2 3						,
			3	3			2	1		1
	4	=		- 4		1	+ 6			2 + 3 4 .
		4		3				2	1		1

Моменты более высоких порядков применяются редко.

63

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Моменты, рассмотренные выше,

называют теоретическими.

В отличие от теоретических моментов,

моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

64