Математика [РТФ, Покладова, 2 семестр] / ТП / Примеры №17
.pdfПримеры решения задач к практике №17
Скалярное поле. Градиент и производная по направлению.
Необходимые формулы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||
Градиент плоского скалярного поля z(x, y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
i |
j . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
grad z |
x |
y |
|
x |
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Градиент поля u(x, y, z) : |
|
grad u |
|
u |
, |
|
u |
|
, |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Производная функции z f (x, y) |
в направлении вектора a : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
grad z, a0 |
z cos |
|
z cos , |
|
где |
a0 |
|
|
|
а |
|
|
cos ,cos . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
и вектор a 5,12 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Даны: функция z(x, y) arcsin |
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, точка A |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: 1) |
grad z в точке А; |
2) производную в точке А по направлению вектора a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Найдем grad z в точке А , для этого вычислим z |
и |
z |
в точке А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Имеем: |
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 y 2 |
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
|
1 x2 y 2 |
x2 |
y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, |
grad z( A) i j 1, 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Для нахождения производной |
функции |
|
|
|
z f (x, y) |
|
в |
направлении |
вектора |
a 5,12 найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
5,12 |
|
|
|
|
|
5 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
единичный вектор a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
25 144 |
|
|
|
|
13 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z |
( A) grad z( A), a0 |
|
|
|
5 |
|
|
12 |
|
|
|
|
7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
13 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.
|
|
u x, y, z |
|
|
v x, y, z |
xy 2 |
|
|
||||||||||||
Найти угол между градиентами скалярных полей |
2x yz z3 , |
в точке |
||||||||||||||||||
z 4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М(0,2,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, y, z |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
Найдем |
|
градиент |
скалярного |
поля |
|
в |
точке |
М: |
|||||||||
|
|
u |
|
u |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad u |
, |
|
2, z,3z 2 y , |
grad u M 2, 1,1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, grad v |
|
v |
, v |
, |
v |
|
y 2 |
, |
2xy |
, |
4xy 2 |
, |
grad v M 4,0,0 . |
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
5 |
||||||||
|
x |
y |
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|||||||
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть – угол между векторами grad u (М) и grad v (М), |
|
grad u(M ) |
|
, |
|
grad v(M ) |
|
– длины этих |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
векторов. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
grad u(M ), grad v(M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
|
|
|
|
|
2 4 1 0 1 0 |
|
|
2 |
|
|
, следовательно, arccos |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
grad u(M ) |
|
grad v(M ) |
|
|
|
2 1 2 12 |
4 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное поле. Поток векторного поля. Необходимые формулы
Поток П (или К) векторного поля a Pi Qj Rk через поверхность S вычисляется с помощью поверхностного интеграла 2-го рода: