Математика.Лабораторный практикум(часть1)

>k1:=limit(f(x)/x,x=-infinity);

k1 := 0

>b1:=limit(f(x)-k1*x,x=-infinity); b1 := 1

>k2:=limit(f(x)/x,x=infinity);

k2 := 0

>b2:=limit(f(x)-k2*x,x=infinity);

b2 := 1

Прямая y =1 является двухсторонней горизонтальной асимпто-

той, так как k = 0 .

Подтвердим исследование графически. Построим график функции и его асимптоты. Задаём график функции f и асимптоту y =1 с

помощью функции plot.

>a:=plot([f(x),1],x=-10..10,y=-10..10,color=[red,blue], title='plot'):

Вертикальную асимптоту x=1 задаём с помощью функции implicitplot (строит график линии, заданной уравнением F(x, y) = 0 ) из пакета расширения plots:

>with(plots): >b:=implicitplot(x=1,x=-10..10,y=-10..10,color=blue):

С помощью функции display из пакета расширения plots выводим изображение на экран на одном рисунке.

>display([a,b]);

31

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции?

2.Какие способы задания функциональной зависимости Вы знаете?

3.Дайте определение непрерывной функции в точке и на некотором числовом множестве.

4.Что такое точка разрыва функции? Приведите классификацию точек разрыва.

5.Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

6.Какая функция называется невозрастающей, неубывающей, возрастающей, убывающей, монотонной?

7.Какой признак монотонности функции Вы знаете?

8.Что называется экстремумом функции? Сформулируйте необходимое, достаточное условия существования экстремума функции.

9.Какая функция называется чётной, нечётной, периодической?

10.Что такое промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции? Каким образом они находятся?

11.Что называется наклонной и вертикальной асимптотами графика функции?

12.Как находят вертикальные и наклонные асимптоты?

13.Имеет ли непрерывная функция на всей числовой прямой вертикальные асимптоты?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: научить студентов решать дифференциальные уравнения с использованием прикладных математических пакетов

MAPLE.

Задания

1.Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

2.Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

32

3.Найти решение задачи Коши для заданного уравнения и построить график интегральной кривой.

4.Найти общее решение дифференциального уравнения.

Варианты заданий

Вариант 1

1. y′ = y2 + 4 y + 2 . x2 x

2.y'= xy + x .

3. y'= y	+ x, y(1) = 0.
x
4. y'''−y'= 2x +3.

Вариант 3

1.y′ = 3y3 + 2 yx2 . 2xy2 + x3

2.y'−3xy = x .

	3. y'−	3y	= x, y(1) = −1.
		x

4. y''−2 y' = 5x + 2 .

Вариант 5

1.y′ = 3y3 +8yx2 . 2xy2 + 4x3

2.y'= − 2xy +5x2 .

	3. y'= −	2 y	+5x2 , y(1) = 0.
		x

4. y'''−y'= x2 + 2x .

1.y′ = x + y

x− y

2.y'= 2 xy −

3.y'= 2 xy −

4.y''−6 y'+5

Вариант 2

.

x32 .

x32 , y(−1) =1. y = x2 −1.

Вариант 4

			y2			y
	1.	y′ =			+6		+6 .
			x2			x
	2.	y'= 2		y	+ 2x4 .
				x
	3.	y'= 2		y	+ 2x4 , y(1) =1.
				x
	4.	y'''−2 y''+y'= 2x +5 .

Вариант 6

	1.	y′ =			y2					y	+12.
							+8
					x2					x
	2.	y'−			y				= ex (x +1) .
				x +		1
	3.	y'−			y				= ex		(x +1), y(0) =1.
				x +		1
	4.	y'''+y''= x .

33

Вариант 7

1.y′ = 3y3 +10 yx2 .

2xy2 +5x3

2.y' = 2xy +6x4 .

	3. y'=	2 y	+6x4 , y(1) = 2.
		x

4. y''+y'= 4 − x2 .

Вариант 9

1.y′ = 3y3 +6 yx2 . 2xy2 +3x3

2.y'= xy − x .

3. y'= y	− x, y(1) = 2 .
x
4. y'''−y'= 7x +3.

Вариант 11

1.y′ = 2 x2 + y2 + y .

xx

2.y'− xy = x sin x .

	3. y'−	y			π	=1.
			= xsin x,	y
		x
					2

4. y''+5y' = 4x2 +7 .

Вариант 13

1.y′ = 3 2x2 + y2 + y .

xx

34

Вариант 8

1.	y′ =		y2					y	+ 2 .
						+10
			x2				x
2.	y'−	3y			= 2x2.
		x
3.	y'−	3y			= 2x2			,	y(1) = 3 .
			x
4.	y''−2 y'= 2x2 +5.

Вариант 10

1.

y′ =

y2

−4

y

+5 .

x2

x

2.

y'=

2

y

+

4

.

x

x2

3.

y'= 2

y

+

4

, y(−1) = 3 .

x

x2

4. y''−6y'+5y = x2 +4 .

Вариант 12

1.y′ = x2 + y2 + y .

xx

2.y'= − xy + sin x.

3.	y'= −			y	+ sin x,	y(π) =	1 .
				x			π
4.	y'''−2 y''+y'= 2x2 +5 .
					Вариант 14
1.		′	3y3 +14 yx2
	y		= 2xy2 +7x			3 .

2.

y'= −

y

+ x2 .

2x

3.

y'= −

y

+ x2 ,

y(1) =1.

2x

4. y'''−y'= 7x +5.

Вариант 15

1.

′

x2 + xy −3y2

y

=

x2 −4xy .

2.

y'−4xy = −4x3 .

3.

y'−4xy = −4x3,

y(0) = −4 .

4.

y''−4 y' = 5x + 2 .

yex

Вариант 17

1.

y′

=

.

1+ex

2.

y' = −2xy + xe−x2 sin x .

3. y'= −2xy + xe−x2 sin x, y(0) =1. 4. y'''−y'= x2 + 4x .

Вариант 19

1.y′ = − xy ln x .

2.y'= 2xy +6x4 .

	3.	y'=	2 y	+6x4 , y(1) = 4.
			x
	4.	y''−3y'= 4 +4x − x2 .

Вариант 21

1.y′ = x2 + xy −5y2 .

x2 −6xy

2.y' = xy + x3 .

2.	y'= y cos x +sin 2x .
3.	y'= y cos x +sin 2x, y(0) = −1.
4.	y''−3y'−4y = x2 −1.

Вариант 16

1.y′ = 4 2x2 + y2 + y .

xx

2.y'= −xy − x3 .

3.

y'= −xy − x3,

y(0) = 3.

4.

y'''−2 y''+y'= x +5.

Вариант 18

′

xy2 + x

1.

y

=

4 − x2 .

2.

y'+

y

= 3x .

x

3.

y'+

y

= 3x,

y(1) =1.

4.

x

y'''+y''= 2x −5 .

Вариант 20

′

ex

1.

y

= (3 +ex ) y .

2.

y'−

3y

= 2x2 .

x

3.

y'−

3y

= 2x2 ,

y(1) = 5 .

x

4.

y''−5y'= 2x2 +3x −5.

Вариант 22

′

ex

1.

y

= (8 +ex ) y .

2.

y'= 2

y

−

3

.

x

x2

35

	3.	y'=	y	+ x3, y(1) = 3.
			x
	4.	y'''+y'= 7x2 + 2 .

Вариант 23

1.y′ = x2 + 2xy −5y2 . 2x2 −6xy

2.y'−3xy = x4 .

	3.	y'−	3y	= x4 , y(1) =5 .
			x
	4.	y''−5y'= 4x +8 .

Вариант 25

1.y′ = x2 +3xy − y2 . 3x2 −2xy

2.y'= xy + x5 .

	3. y'=	y	+ x5 , y(1) = 4.
		x

4. y'''−y'= 2x2 +3x .

3.

y'= 2

y

−

3

, y(−1) = 2 .

x

x2

4.

y''−6y'+5y = x2 +3x −4.

yex

Вариант 24

1.

y′ =

.

4 +ex

2.

y'= 2

y

+ 2x3 .

x

3.

y'= 2

y

+ 2x3, y(3) = −1.

x

4.

y'''−2 y''+y'= 2x +5 .

Вариант 26

′

xy2 + 4x

1.

y

=

16 − x2 .

2.

y'= 2

y

−

5

.

x

x2

3.

y'= 2

y

−

5

, y(−1) = 3.

x

x2

4.

y''−6 y'+5y = 4x2 −6x +5 .

Пример выполнения работы 4

1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

xy′ = x2 + y2 + y.

Введём дифференциальное уравнение

> de:= x*diff(y(x),x)=sqrt(x^2+(y(x))^2)+y(x);

d		= x2	+ y(x)2	+ y(x) .
x	y(x)
dx

Находим общий интеграл дифференциального уравнения

> dsolve(de,y(x));

	x2 + y(x)2	+	y(x)	− _ C1	= 0 .
	x2		x2

36

2. Найти решение задачи Коши и построить график интегральной кривой

y′ =	y	+ x2 , y(1) = 0.
	x

Введём дифференциальное уравнение

> de:=diff(y(x),x)-y(x)/x-x^2;
d				y( x )	2
de :=		y( x )	−		− x .
				x
dx

Записываем начальное условие и решаем задачу Коши.

> ic:=y(1)=0;dsolve({de,ic},y(x));
ic := y( 1 ) = 0
x2			1
		−
y( x ) =	2		2	x .

Строим найденную интегральную кривую

> plot((1/2*x^2-1/2)*x,x=-5..5,y=-5..5);

37

3. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′′−4 y′′+5y′−2 y = (16 −12x)e−x

Введём дифференциальное уравнение

> de:=(D@@3)(y)(x)-4*(D@@2)(y)(x)+5*D(y)(x)-2*y(x)-(16-12*x)*exp(-x); de := ( D( 3 ) )( y )( x ) − 4 ( D( 2 ) )( y )( x ) + 5 D( y )( x ) − 2 y( x ) − ( 16 − 12 x ) e( −x )

Находим общее решение и упростим полученное выражение

> simplify(dsolve(de,y(x)));

y(x) = xe(−x) + _ C1ex + _ C2e(2x) + _ C3ex x .

Контрольные вопросы

1.Что называется дифференциальным уравнением? Что называется порядком дифференциального уравнения?

2.Что называется частным, общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка? Что называется частным, общим интегралом дифференциального уравнения 1-го порядка?

3.Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

4.Какие типы дифференциальных уравнений 1-го порядка Вы знаете?

5.Как решаются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными?

6.Что называется линейным уравнением 1-го порядка? Какие методы их решения Вы знаете?

7.Как решаются однородные уравнения 1-го порядка?

8.Что называется частным, общим решением дифференциального уравнения n-го порядка? Что называется частным, общим интегралом дифференциального уравнения n-го порядка?

9.Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка?

10.Какие виды уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, Вы знаете?

11.Сформулируйте понятие линейного уравнения n-го порядка.

12.Как выписывается определитель Вронского? Сформулируйте признак линейной независимости системы решений линейного однородного уравнения n-го порядка.

13.Что называется фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения n-го порядка?

38

14.Структура общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.

15.Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

16.Что такое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами?

17.Как находится общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами?

18.Сформулируйте методы нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Цель работы: научить студентов использовать возможности прикладных математических пакетов MAPLE при вычислении кратных интегралов.

Задания

1.Вычислить повторные интегралы.

2.Вычислить кратные интегралы.

Варианты заданий

				Вариант 1
	2	x	2	x 2	x 2 +2 y 2
1.	а) ∫dx∫(2xy2 +3)dy ;		б) ∫dx ∫dy		∫(2z2 x −6 y)dz .
	0	0	0	−x	0
2.	а) ∫∫(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy;			D : x =1, y = x2 , y = − x.

D

б) ∫∫∫y2 z cos xyzdxdydz , где область D ограничена поверхностями

D

x = 0, x =1, y = 0, y = π, z = 0, z = 2.

39

Вариант 2

	4	x		1	x2	x+2 y
1. а) ∫dx∫(4xy2 −3x)dy ;			б) ∫dx ∫dy ∫(2 y2 x −3x)dz .
	1	0		0	−x	0
2. а) ∫∫(9x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;				D : x =1, y = −x2 , y = x.
	D
б)	∫∫∫2y2exydxdydz , D : x = 0, y =1, y = x, z = 0, z =1.
	D
				Вариант 3
	2	x2		2	x	x−3 y 2
1. а) ∫dx ∫(2 y2 +3xy)dy ;			б) ∫dx ∫dy ∫(2z2 x + 4y)dz .
	0	0		0	−x	0
2. а) ∫∫(36x2 y2 −96x3 y3 )dxdy;				D : x =1, y = 3 x, y = −x3.
	D
б)	∫∫∫xdxdydz; D : y =10x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0.
	D
				Вариант 4
	1	x	2		x2	x+6 y 2
1. а) ∫dx∫(2 y +5x2 y)dy ; б) ∫dx ∫dy ∫(2zx + 4y)dz .
	0	0	0		x	0
2. а) ∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;				D : x =1, y = x3, y = −3 x.
	D
б)	∫∫∫(3x + 4 y)dxdydz, D : y = x, y = 0, x =1, z = 5(x2 + y2 ).
	D
				Вариант 5
	1	x		1	x 2	4x −6 y
1. а) ∫dx∫(4 y2 −6x2 y)dy ;			б) ∫dx ∫dy ∫(2zx2 − 6 y)dz .
	0	0		0	x	0
2. а) ∫∫(27x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;				D : x =1, y = x2 , y = −3 x (x ≥ 0).
	D
б)	∫∫∫(1 + 2x3 )dxdydz, D : y = 9x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0.
	D

40