m33255_2
.doc
2. ЗАМЕНА ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ В
ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Двойной интеграл от непрерывной функции z=f(x,y) заданный по области D можно вычислить по формуле (1) или по формуле (2). Результаты интегрирования будут одинаковы. Однако в одних случаях удобнее выполнять решение по формуле (1), в других - по формуле (2). В некоторых случаях область D приходится разбивать на части, т.к. граница области может задаваться аналитически различными функциями. При этом следует выбрать более удобный порядок интегрирования.
В учебных целях полезно один и тот же интеграл вычислить по обеим формулам, т.е. изменить порядок интегрирования.
Типовой пример.
Для двойного интеграла на плоскости x0y построить область интегрирования заданного интеграла. Изменить порядок интегрирования и вычислить площадь при заданном и измененном порядках интегрирования
Решение.
Вначале по пределам интегрирования определим область интегрирования. Полагая x равным пределам интеграла с переменной x, а y равным пределам интеграла с переменной y получим уравнения линий, ограничивающих эту область
.
Построив эти линии в системе координат, получим параболический сегмент АОВ, симметричный оси 0y.
y
B(-2,4) 4 A(2,4)
x
O
Рис. 4
Сначала вычислим двойной интеграл, интегрируя в другом порядке - сначала по переменной y, затем по переменной x.
Пределы внешнего интеграла y=0 и y=4 находим как наименьшее и наибольшее значения y во всей области АОВ. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно переменной x уравнение параболы
, .
Следовательно, получаем
.
Если вычислить отдельно левую часть равенства, то получим тот же результат (предоставляем это сделать самостоятельно).
Отметим, что двойной интеграл выражает собой площадь области D.
Итак, площадь области D равна кв. ед.
Задание 2. Построить на плоскости x0y область интегрирования заданного повторного интеграла и изменить порядок интегрирования. Вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.
№ |
Интеграл |
Ответ |
№ |
Интеграл |
Ответ |
1 |
|
|
16 |
|
|
2 |
|
|
17 |
|
12 |
3 |
|
9 |
18 |
|
|
4 |
|
6 |
19 |
|
|
5 |
|
|
20 |
|
|
6 |
|
|
21 |
|
|
7 |
|
|
22 |
|
|
8 |
|
|
23 |
|
|
9 |
|
6 |
24 |
|
6 |
10 |
|
|
25 |
|
|
11 |
|
|
26 |
|
|
12 |
|
|
27 |
|
|
13 |
|
8 |
28 |
|
9 |
14 |
|
4 |
29 |
|
6 |
15 |
|
|
30 |
|
|