Преобразование сигналов измерительной информации Методические указания к лабораторным работам
..pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
СИГНАЛОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Методические указания к лабораторным работам
Рязань 2005
УДК 681.317.3
Преобразование сигналов измерительной информации: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад. / Сост. Г.А. Садовский. Рязань, 2005. 16 с.
Изучаются представление периодических сигналов рядом Фурье, интеграл Фурье, преобразование сигналов в линейных цепях (амплитудные и фазовые искажения сигналов прямоугольной и треугольной формы), рассматриваются спектры модулированных сигналов (АМ, ЧМ, ФМ, АИМ, ШИМ, ЧИМ).
Предназначено для студентов специальностей 1906 ”Инженерное дело в медико-биологической практике” и 1909 ”Информационно-измерительная техника и технологии”.
Библиогр.: 9 назв.
Частота, амплитуда, фаза, спектр, преобразование, синтез частотные, фазовые искажения, модуляция, демодуляция, глубина модуляции, индекс модуляции.
Печатается по решению методического совета Рязанской государственной радиотехнической академии.
Рецензент: кафедра информационно-измерительной и биомедицинской техники РГРТА (зав. кафедрой доцент В.И.Жулев ).
Преобразование сигналов измерительной информации
Составитель С а д о в с к и й Гардон Антонович
Редактор Е.В.Игнатова Корректор С.В.Макушина
Подписано в печать 06.05.05. Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1.0 Уч.-изд. л.1.0. Тираж 30 экз. Заказ .
Рязанская государственная радиотехническая академия. 390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
Редакционно-издательский центр РГРТА.
Лабораторная работа № 1. Преобразование сигналов в линейных цепях
Цель работы: изучение ортогонального представления сигналов, анализ и синтез сигналов рядом Фурье, преобразование сигналов в линейных цепях, амплитудные и фазовые искажения сигналов.
1.Теоретическая часть
1.1.Спектры периодических сигналов. Ряд Фурье
Для описания периодических сигналов широко используется |
||||||||
ортогональная система тригонометрических |
функций |
{cos kω0t,sin kω0t}. |
||||||
Тригонометрические функции ортогональны на периоде T |
основной частоты |
|||||||
ω0 = 2π / T . Норма тригонометрических функций : N0 =T |
при |
k =0; |
||||||
N k = |
T |
при |
k > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Описание сигналов тригонометрическими функциями называется |
||||||||
обобщенным рядом |
Фурье |
и представляет |
собой разложение |
сигнала |
на |
|||
спектральные составляющие: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
X ( t ) = a0 + ∑ak cos kω0t + ∑bk sin kω0t, |
|
(1.1.1) |
||||
|
|
|
k =1 |
k =1 |
|
|
|
|
где a0 |
- постоянная составляющая (среднее значение) сигнала, ak |
и bk |
- |
|||||
амплитуды соответственно косинусной и синусной составляющих k -й гармоники основной частоты.
Коэффициенты разложения определяются интегралом по периоду
a |
|
= |
1 |
T X ( t )dt, |
a |
|
= |
|
2 |
T X ( t )cos kω |
|
|
tdt, |
bk |
= |
2 |
T X( t )sinkω0tdt. (1.1.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
T 0∫ |
|
|
k |
|
|
T 0∫ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
T ∫0 |
|
||||||
|
|
Косинусные и синусные составляющие в (1.1.1) можно объединить. Тогда |
||||||||||||||||||||||
ряд Фурье принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( t ) = a |
0 |
|
+ ∑ C |
k |
cos( kω |
0 |
t +ϕ |
k |
|
|
(1.1.3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где Ck и |
ϕk – соответственно амплитуда и начальная фаза |
k -й гармоники. |
||||||||||||||||||||||
|
|
Разложив косинус суммы в (1.1.3), получаем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( t ) = a0 + ∑Ck (cos kω0t cosϕk − sin kω0t sinϕk ) . |
(1.1.4) |
|||||||||||||||||||
k =1
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a k |
= C k |
cos ϕ k , |
b k |
= −C k sin ϕ k . |
|
||||||
C k = ( a k2 |
+ b k2 |
), |
|
|
ϕ k |
= −arctg |
bk |
(1.1.5) |
|||
|
|
|
. |
||||||||
Ряд Фурье в комплексной форме принимает вид |
a k |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
X ( t ) = |
1 |
∑∞ |
С k e j k ω 0 t . |
|
|
(1.1.6) |
||||
|
|
|
|
|
2 |
k = − ∞ |
|
|
|
|
|
Значения комплексных коэффициентов Фурье |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
C k = |
|
T∫ |
X ( t )e |
− j k ω 0 t d t . |
|
|
(1.1.7) |
|||
|
T |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Соотношения (1.1.6 ) и (1.1.7 ) образуют пару преобразования Фурье (прямое и обратное) для периодических сигналов.
Особенности представления сигналов рядом Фурье
1.Спектр периодических сигналов дискретный.
2.Расстояние между спектральными составляющими равно частоте периодической последовательности сигналов.
3.Математический спектр простирается по всей оси частот от минус до плюс бесконечности.
4.Физический спектр имеет место на положительной полуоси частот (физически невозможно определить отрицательные частоты).
5.Размерность спектральных коэффициентов совпадает с размерностью представляемой физической величины.
6.Амплитудный спектр – четная функция частоты.
7.Фазовый спектр – нечетная функция частоты.
1.2. Спектры одиночных сигналов. Интеграл Фурье
Одиночный, непериодический сигнал X ( t ) можно представить в виде
периодической последовательности с периодом следования не меньшим длительности сигнала и разложить его в ряд Фурье согласно (1.1.7). Если непрерывно увеличивать период следования в пределе до бесконечности, то получается одиночный сигнал. При этом расстояние между спектральными составляющими стремится к нулю. Следовательно, спектр такого сигнала
становится сплошным. |
С ростом периода (T → ∞ ) |
приращение частоты |
2π / T стремится к |
бесконечно малой величине |
dω : 2π / T → dω . |
Частота близко стоящих гармоник переходит текущее значение непрерывной
частоты: kω0 →ω. Дискретная сумма |
заменяется интегралом. Подставив |
|
значение комплексных коэффициентов |
Ck , |
умножив и разделив на 2π |
|
|
|
3 |
|
|
с учетом сформулированных положений и T → ∞ выражение |
(1.1.7) |
||||
принимает вид |
|
∞ |
∞ |
|
|
|
1 |
|
|||
X ( t ) = |
∫e jωt |
∫ X ( t )e − jωt dtd ω . |
(1.2.1) |
||
2π |
|||||
|
− ∞ |
− ∞ |
|
||
|
|
|
|||
Внутренний интеграл имеет размерность преобразуемой физической величины, умноженную на размерность времени или деленную на размерность частоты, что отражает значения амплитуд спектральных составляющих, приходящихся на единичную полосу частот. Эта величина называется спектром сигнала, полностью описывает сигнал в частотной области, определяется функциональной зависимостью сигнала от времени и равна
|
∞ |
|
S ( ω ) = |
∫ X ( t )e − jωt dt . |
(1.2.2) |
|
−∞ |
|
В свою очередь |
сигнал, представленный во временной |
области, |
полностью определяется своим спектром. Сигнал формируется непрерывными спектральными составляющими со своими начальными фазами
|
1 |
∞ |
|
|
X ( t ) = |
∫ S ( ω )e jω t d ω . |
(1.2.3) |
||
2π |
||||
|
− ∞ |
|
||
|
|
|
Преобразования (1.2.2) и (1.2.3) называются парой преобразования Фурье для одиночных сигналов. Особенности спектров одиночных сигналов.
1.Спектр одиночных сигналов сплошной (непрерывный) и бесконечный.
2.Спектр в общем случае является комплексным.
3.Математический спектр простирается по всей оси частот от минус до плюс бесконечности.
4.Физический спектр имеет место на положительной полуоси частот.
5.Размерность спектра одиночных сигналов равна размерности
физической |
величины, деленной на размерность частоты. |
1.3.Синтез сигналов рядом Фурье
Периодическая последовательность импульсных сигналов может быть представлена (синтезирована) бесконечной суммой гармоник с амплитудами
Сk и фазовыми сдвигами ϕk
|
∞ |
|
X 1(t ) = С0 |
+ ∑Сk соs (kϖ 0t + ϕk ) . |
(1.3.1) |
Коэффициенты Сл |
л=1 |
|
(k = 0...∞) - вещественные амплитуды гармоник с их |
||
знаками – можно вычислить по спектрам одиночных сигналов:
4
|
С0 = |
1 |
S(0), |
Сл = |
2 |
S(kω0), |
ϕл = −kω0τ3 , |
(1.3.2) |
|
|
|
||||||
где τ3 - |
|
T |
|
T |
|
|
||
запаздывание (смещение) центра сигналов относительно начала |
||||||||
координат |
(t = 0) , |
равное |
в конкретном |
случае половине |
длительности |
|||
импульсов.
Спектры одиночных прямоугольного и треугольного импульсов
амплитудой Xь и длительностью τ |
соответственно равны |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
τ |
|
|
Xmτ |
|
sin |
2 |
τ |
||||
|
|
sin ω |
2 |
|
ω |
= |
|
|
|
ω |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S П |
(ω) = X mτ |
|
|
|
|
SТ ( ) |
|
2 |
|
|
|
2 . |
|||
|
τ |
; |
|
|
τ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1.3.3) |
|||||||||
|
|
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1.4. Преобразование сигналов в линейных цепях
Амплитудные и фазовые искажения в линейных цепях определяются их амплитудно-частотной (частотной) K (ω) и фазочастотной (фазовой) ϕ(ω) характеристиками. Амплитуды k-х гармоник изменяются в K (kω0) раз, а начальные фазы смещаются на ϕ(kω0) . Следовательно, на выходе линейной
цепи получаем |
новые |
значения амплитуд гармоник и фазовых |
сдвигов: |
||
С1k = Ck K (kω0), |
ϕ1k = ϕk |
+ϕ(kω0) . Синтезируемый сигнал принимает вид |
|||
|
|
n |
|
|
|
X 2(t) = С0 K (0) + ∑Ck K (kω0) cos(kω0t +ϕk +ϕ(kω0)) = |
|
||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
= С10 + ∑n |
С1k соs (kϖ 0t +ϕ1k ) . |
(1.4.1) |
||
|
|
k =1 |
|
|
|
Частотная и фазовая характеристики линейных цепей первого порядка |
|||||
|
K (ω) = |
1 |
, |
ϕ(ω) = −arctg (ωT 0) , |
(1.4.2) |
|
|
||||
|
|
1 +ω2T 02 |
|
|
|
где Т0 – постоянная времени цепи.
2.Моделирование искажений сигналов в линейных цепях
1.Установить параметры (целесообразно нормированные) прямоугольного и треугольного сигналов, расположенных в начале координат (при t=0): амплитуда А=1, период следования Т=1, длительность τ в пределах
5
(0.1….0.5)Т. При этом следует иметь ввиду, что в описании представлены формулы, а не операторы системы.
2.Ввести спектры прямоугольного и треугольного сигналов согласно (1.3.3).
3.Задать число определяемых гармоник в пределах n=10.....20.
4.Рассчитать вещественные значения коэффициентов Фурье С0 ,Сk и начальные фазы ϕk (амплитуды гармоник и их фазовые сдвиги, k=0…n) для прямоугольного и треугольного сигналов:
С0 = |
1 |
S(0); |
Ck = |
2 |
S(kω0); |
ϕk = −kω0τ3 , |
|
T |
T |
||||||
|
|
|
|
|
где τ3 - смещение (запаздывание) центра сигналов относительно начала координат (t=0), равное в данном случае половине длительности импульсов.
5.Построить гистограммы массивов коэффициентов Сk , Ck и фаз ϕk .
6.Синтезировать сигнал рядом Фурье:
|
n |
− |
|
X 1(t ) =C 0 + |
C k cos( k ω 0t +ϕ k ) . |
||
∑ |
|||
|
k =1 |
|
7. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи:
X 2(t)=C1 |
n |
С1 |
|
cos(kω0t +ϕ1 |
|
) . |
+ ∑ |
k |
k |
||||
0 |
k =1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при равной нулю фазовой характеристики цепи с целью оценки амплитудных искажений:
X 3(t ) =C 10 + |
n |
C 1k c o s (k ω 0t +ϕ k ) . |
∑ |
||
|
k =1 |
|
9. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при постоянном коэффициенте передачи ( K (ω) =1) и наличии только фазовых сдвигов в цепи с целью оценки фазовых искажений:
X 4(t)=C0 |
n |
Ck cos(kω0t +ϕ1k ) . |
+ ∑ |
||
|
k =1 |
|
10. Построить графики и сравнить исходные и синтезированные сигналы при разных значениях числа гармоник.
11. Рассчитать погрешности (дисперсии и средние квадратические отклонения) синтезированного сигнала на выходе цепи. Общая расчетная формула для оценки погрешностей
S 2 = 1 T∫( X1(t) − X (t))2 dt .
T 0
12.Изменяя длительности импульсов и постоянную времени цепи изучить зависимости искажений от сигналов от параметров цепи.
13.Повторить анализ преобразования, амплитудных и фазовых искажений
6
сигналов в линейной цепи второго порядка при различных значениях собственной частоты Ω и степени затухания β :
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 β |
ω |
|
|
|
|
||
K (ω) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
ϕ(ω) = −arctg |
Ω |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
2 |
||||||
|
|
|
ω |
2 |
|
2 |
|
ω |
2 |
1 − |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
+ 4 β |
|
|
Ω |
|
|
|
|||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Ортогональные и ортонормированные системы базисных функций. Типовые системы ортогональных функций.
2.Представление сигналов ортогональными системами функций и определение коэффициентов.
3.Представление сигналов рядом и интегралом Фурье. Области применения.
4.Принцип построения спектральных диаграмм базисных функций.
5.Основные принципы анализа и синтеза сигналов.
6.Частотные и фазовые характеристики линейных цепей.
7.Оценка амплитудных и фазовых искажений сигналов в линейных цепях.
Библиографический список
1.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988. С. 38-55, 184-202.
2.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. С. 16-67.
3.Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов. Л.: Энергоатомиздат, 1990.
4.Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.
М.: Наука, 1978.
5.Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Киев: Вища школа, 1983. С. 190-197.
6.Садовский Г.А. Аналитическое описание сигналов. Рязань: РРТИ,1987.
7.Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962. С. 9-33.
7
Лабораторная работа №2. Спектры модулированных сигналов
1.Теоретическая часть
1.1.Модуляция и демодуляция
Для передачи измерительной информации параметры сигнала-носителя подвергаются модуляции. Процесс управления (изменения) параметров несущего сигнала в соответствии со значением измеряемой (передаваемой, преобразуемой) величины называется модуляцией, управляющая величина - модулирующей, а сигнал-носитель - модулированным. Если модуляции подвергается только один параметр сигнала-носителя, имеет место однопараметрическая модуляция, в противном случае – многопараметрическая. Преобразователи, в которых осуществляется модуляция сигнала, называются модуляторами. Выделение модулирующей функции из модулированного сигнала – демодуляция, а преобразователи модулированного сигнала в модулирующий называются демодуляторами.
Непрерывный гармонический сигнал-носитель описывается функцией
X ( t ) = A0 sin( ω0 t + ϕ0 ),
где |
A0 −амплитуда, |
ω0 = 2πf0 −круговая |
(угловая) |
частота |
( f0 = 1 / T0 −циклическая |
частота, T0 −период), |
ϕ0 − начальная |
фаза – |
|
постоянные параметры гармонического сигнала. Изменению (модуляции) могут подвергаться амплитуда A −амплитудная модуляция (АМ), частота ω − частотная модуляция (ЧМ), фаза ϕ − фазовая модуляция (ФМ).
При импульсном сигнале-носителе параметрами являются амплитуда A0 , длительность импульсов τ0 , частота следования ω0 или период T0 , положение
импульсов относительно тактовых сигналов и др. Модуляция одного из параметров приводит к амплитудно-импульсной (АИМ), широтно-импульсной ( ШИМ) и частотно-импульсной (ЧИМ) модуляциям. Возможны и другие виды модуляции: фазоимпульсная (ФИМ), кодо-импульсная (КИМ) и т.д.
1.2. Амплитудная модуляция
При амплитудной модуляции (АМ) под действием управляющей функции f ( t ) изменяется амплитуда гармонического сигнала-носителя в заданных
пределах ∆А. Отношение изменения к начальному значению амплитуды называется глубиной модуляции: m = ∆A / A0 . Аналитическое описание АМ-сигнала
8
X AM ( t ) = A0 [ 1 + mf ( t )] sin ω 0 t . |
(1.2.1) |
При гармонической модулирующей функции f ( t ) = sin Ωt |
АМ-сигнал |
имеет вид |
|
X AM ( t ) = A0 [ 1 + m sin Ωt ] sin ω0 t . |
(1.2.2) |
По формулам преобразования произведения тригонометрических функций в суммы находим
X |
AM |
( t ) = A |
sin ω |
0 |
t + |
m |
A |
cos( ω |
0 |
− Ω )t − |
m |
A cos( ω |
0 |
+ Ω )t. |
(1.2.3) |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
2 |
0 |
|
2 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из полученного выражения видно, что при гармонической модуляции спектр модулированного сигнала содержит три составляющие: несущую частоту с постоянной амплитудой и две боковые (правую и левую) с амплитудами, зависящими от глубины модуляции. Частоты боковых отличаются от несущей на частоту модулирующей функции.
Следовательно, для передачи АМ-сигнала по каналам связи требуется ширина полосы пропускания, равная удвоенному значению модулирующей частоты. С целью сокращения полосы пропускания и снижения потребляемой передатчиком мощности разработаны методы передачи информации на одной боковой с последующим восстановлением полного сигнала на приемной стороне. Очевидно, что при сложной модулирующей функции, содержащей широкий спектр частот, в АМ-сигнале будут присутствовать соответствующие боковые частоты. Чтобы на приемной стороне выделить модулирующий сигнал (передаваемую информацию), несущая частота должна быть существенно выше модулирующей (на практике принимается обычно не менее чем десятикратное отношение).
1.3. Частотная модуляция
При частотной модуляции (ЧМ) под действием управляющей функции f ( t ) изменяется частота гармонического сигнала-носителя в заданных
пределах ∆ω , которая называется девиацией частоты. На приемной стороне для исключения амплитудных искажений в каналах связи частотномодулированный сигнал предварительно усиливается и ограничивается, а затем с помощью частотного детектора выделяется полезная информация. Частота ЧМ-сигнала определяется девиацией частоты и частотой модулирующей функции:
ω ( t ) = ω 0 + ∆ ω f ( t ). |
(1.3.1) |
При гармонической модулирующей функции ω( t ) =ω0 + ∆ω sin Ωt. Текущая фаза сигнала изменяется во времени по закону