Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
Кафедра математики
И.Е. Журавлева Н.Е. Цапенко
Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца
Учебное пособие
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
Москва 2015
УДК 517.926
Журавлева И.Е.
Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца : учебное пособие / И.Е. Журавлева, Н.Е Цапенко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2015. – 29 с.
Показана инвариантность полной системы уравнений Максвелла преоб- разованиям Лоренца. Получены электромагнитные инварианты преобразо- ваний. Приведён алгебраический вывод преобразований Лоренца как след- ствие однородности и изотропности пространства-времени. Дано решение начальной задачи на бегущие по длинной линии волны методом интеграла Фурье. В случае среды с переменной скоростью распространения рассмотре- но движение волнового фронта и выведено уравнение луча.
УДК 517.926
♥ И.Е. Журавлева, Н.Е Цапенко, 2015
2
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
Уравнения Максвелла .......................................................................... |
4 |
2. |
Инвариантность уравнений Максвелла.............................................. |
7 |
3. |
Алгебраический вывод преобразований Лоренца........................... |
13 |
4. |
Распространение волны по длинной линии ..................................... |
16 |
5. |
Волновой фронт и уравнение луча ................................................... |
20 |
6. |
Блуждающая волна в неоднородной среде ...................................... |
26 |
Библиографический список................................................................ |
28 |
3
1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Изучаемые в электродинамике электромагнитные явления описы- ваются определенного вида силовыми векторными полями. Векторы напряженностей этих полей связаны системой дифференциальных уравнений в частных производных Максвелла:
rot H = ∂D + j, |
(1) |
∂t |
|
rot E = − ∂B , |
(2) |
∂t |
|
div D = ρ. |
(3) |
Как следствие уравнения (2), |
|
div B = 0. |
(4) |
Как следствие уравнений (1), (3), плотность электрического заря- да ρ и вектор плотности тока проводимости j связаны соотношением
div j = − |
∂ρ , |
(5) |
|
∂t |
|
получившим название уравнения непрерывности.
Векторы электрической и магнитной индукций D и B выражаются через векторы напряженностей электрического и магнитного полей Е и Н посредством электромагнитных характеристик материальной среды:
D = ε a E, |
(6) |
B = μa H, |
(7) |
где εа и μа – в общем случае тензоры электрической и магнитной проницаемости.
Ток проводимости обычно разделяют на сумму собственно тока проводимости, связанного с напряженностью электрического поля по закону Ома, и так называемого стороннего тока от внешнего ис- точника, никак не зависящего от возбуждаемого им электромагнит- ного поля. Следовательно,
j = σE + jст ,
где σ – удельная объемная проводимость среды.
4
Равенства (2) и (4) позволяют представить индукцию магнитного поля в виде
Β = rot A, |
(8) |
а напряженность электрического поля – в виде
E = −gradϕ − |
∂A . |
(9) |
|
∂t |
|
Скалярное поле ϕ и векторное поле А называются соответственно скалярным и векторным потенциалами.
Для того чтобы записать уравнения для этих потенциалов, необ- ходимо привлечь материальные соотношения (6) и (7). Достаточно просто это проделать в случае однородной изотропной среды, т.е. когда проницаемость εа и μа суть постоянные скаляры. Действитель- но, внося представления (8) и (9) в уравнения (1) и (3), с учетом (6) и
(7) получим
|
∂ |
∂A |
|
|
|
rotrot A = −εaμa |
|
gradϕ + |
|
+ μa |
j, |
|
|||||
|
∂t |
∂t |
|
|
|
∂A |
|
ρ |
|
div gradϕ + |
|
= − |
|
. |
|
||||
|
∂t |
|
εa |
Или, принимая во внимание тождества
rotrot A = − A + graddiv A, * div gradϕ = ϕ,
можем записать
|
|
1 ∂2 A |
|
|
|
|
|
1 ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||||
A − |
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
= grad div A + |
|
|
|
|
∂t |
|
− μa |
j, |
|||||
c |
2 |
|
|
2 |
|
c |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
∂2ϕ |
|
∂ |
|
1 ∂ϕ |
|
|
ρ |
|
|||||||||
Δϕ − |
|
|
|
|
|
∂t2 |
= − |
|
divA + |
|
|
|
|
|
|
− |
|
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
с |
2 |
|
∂t |
c2 ∂t |
|
|
εa |
|
где c = |
1 |
|
εaμa |
имеет размерность скорости движения. |
|||
|
|
|
|
|
|||
________ |
|
|
|
|
|
||
* = |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
– оператор Лапласа. |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||
|
|
|
|
(10)
(11)
5
Так как векторный потенциал вводился посредством лишь одного равенства (8), то тем самым допускался произвол в определении его дивергенции. Поэтому можно потребовать обращения в нуль выра- жения в круглых скобках в правых частях уравнений (10), (11). Тогда
= − 1 ∂ϕ divA c2 ∂t ,
и для векторного и скалярного потенциалов получаются независи- мые волновые уравнения:
A − |
1 |
|
∂2 A = −μ |
|
j , |
|||
|
|
a |
||||||
|
c2 ∂t2 |
|
|
|
||||
Δϕ − |
1 |
∂2ϕ |
= − |
ρ |
. |
|||
|
εa |
|||||||
|
|
c2 ∂t2 |
|
|
6
2. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Рассмотрим систему уравнений Максвелла в свободном пространстве
rot H = ε |
0 |
∂E + j , |
(12) |
||
|
∂t |
|
|||
rot E = −μ |
∂H , |
(13) |
|||
|
|
|
0 ∂t |
|
|
div E = |
ρ |
, |
(14) |
||
|
|||||
|
|
|
ε0 |
|
где ε0 = 10−9 36π = 8,854 10–12 Ф/м; μ0 = 4π 10–7 = 1,257 10–6 Г/м – размерные постоянные, найденные экспериментально и называемые соответственно электрической и магнитной постоянными вакуума.
Выпишем уравнения (12) и (13) в прямоугольной системе координат:
∂Hz |
− |
∂H y |
= ε0 |
∂Ex |
+ jx |
, |
||||
∂y |
|
∂z |
|
|
∂t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂H |
x − |
∂H |
z = ε0 |
|
∂Ey |
|
+ jy , |
|||
∂z |
∂x |
|
∂t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂H y |
− |
∂Hx |
= ε0 |
∂Ez |
+ jz |
, |
||||
∂x |
|
∂y |
|
|
∂t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂E |
z |
− |
∂Ey |
= −μ0 |
∂H |
x , |
|||
∂y |
∂z |
∂t |
|||||||
|
|
|
|
||||||
∂Ex |
− |
∂Ez |
= −μ0 |
∂H y |
, |
||||
∂z |
|
∂x |
|
|
∂t |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
∂Ey |
− |
∂E |
x = −μ0 |
∂H |
z . |
||||
∂x |
|
∂t |
|||||||
|
∂y |
|
|
|
Перейдем в этих уравнениях с помощью общего линейного пре- образования от системы отсчета (x, y, z, t) к новой системе отсчета
(x′, y′, z′, t′):
x′ = αx + βt, y′ = y, z′ = z, t′ = γx + δt.
7
Постоянные коэффициенты α, β, γ, δ определим исходя из требо- вания инвариантности уравнений Максвелла этим преобразованиям.
Частные производные преобразуются по правилам
∂ |
= α |
∂ |
+ γ |
∂ |
, |
∂ |
= β |
∂ |
+ δ |
∂ |
. |
|
∂x′ |
∂t′ |
|
∂x′ |
∂t′ |
||||||
∂x |
|
|
∂t |
|
|
Соответственно, в новых координатах покомпонентная запись уравнений Максвелла будет выглядеть так:
∂Hz |
− |
|
∂H y |
= ε0 |
δ |
∂Ex |
+ ε0β |
∂Ex |
+ jx , |
|
|
|
|
|||||||||
∂y′ |
|
∂z′ |
∂t′ |
∂x′ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂Hx |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
γ |
|
|
|||||
|
|
− |
|
|
(αHz |
+ ε0βEy ) = ε0 |
|
|
|
δEy |
+ |
|
Hz |
+ jy , |
||||||||
z |
x′ |
t′ |
ε0 |
|||||||||||||||||||
∂ ′ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂Hx |
|
|
∂ |
|
|
γ |
|
|
||||||
|
(αH y − ε0βEz |
) − |
|
|
= ε0 |
|
|
|
δEz |
− |
|
H y |
+ jz , |
|||||||||
x′ |
|
y′ |
|
t′ |
ε0 |
|||||||||||||||||
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Ez |
|
− |
∂Ey |
= −μ0 |
δ |
∂Hx |
|
− μ0β |
∂Hx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∂y′ |
|
|
∂z′ |
|
∂t′ |
|
|
∂x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂Ex |
|
− |
|
|
∂ |
|
(αEz − μ0βH y ) = −μ0 |
|
|
∂ |
|
|
|
δH y |
− |
γ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ez , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
z′ |
|
|
|
x′ |
|
|
t′ |
μ0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Ex |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|||||
|
|
(αEy + μ0βHz ) |
− |
|
|
= −μ0 |
|
|
|
|
|
δHz |
+ |
|
|
Ey . |
|||||||||||||||||||||||||
|
x′ |
|
y′ |
∂ |
t′ |
|
μ0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полагаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z |
= α |
|
|
z |
+ ε0β |
|
|
|
y |
|
= δ |
|
|
z |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
H ′ |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
H |
|
γ |
|
E |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y = α |
|
|
y |
|
+ μ0β |
|
|
|
|
z |
|
= δ |
|
|
y |
+ ε0 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
E′ |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
E |
|
|
γ |
|
H |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y |
= α |
|
|
y |
− ε0β |
|
|
|
z |
|
= δ |
|
|
y |
− μ0 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
H ′ |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
H |
|
γ |
|
E |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z = α |
|
|
|
z |
− μ0β |
|
|
|
|
|
y |
|
= δ |
|
z − ε0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
E′ |
|
|
E |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
E |
|
|
|
γ |
H |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда для коэффициентов преобразования необходимо следуют такие два равенства:
α = δ, β = c2 γ ,
8
где c = |
1 |
= 2,998 |
108 м/с. |
|
ε0 |
|
|||
|
μ0 |
|
Выразим с помощью обратного преобразования первоначальные компоненты электромагнитного поля через его новые компоненты:
H |
|
= |
1 |
|
(α |
H |
′ |
− ε0β |
E′ |
) |
, |
|||||
z |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
y |
|
|||||||
E |
|
|
= |
1 |
(α |
E′ |
− μ0β |
H ′ |
) |
, |
||||||
y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
||||||||
H |
|
= |
1 |
|
(α |
H |
′ |
+ ε0β |
E′ |
) |
, |
|||||
y |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
||||||||
E |
|
|
= |
1 |
(α |
E′ |
+ μ0β |
H ′ |
) |
, |
||||||
z |
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
y |
|
||||||||
где |
|
|
= α2 − c2 γ 2 . |
|
|
|
|
|
Для того чтобы получить в штрихованных переменных систему уравнений, в точности по виду совпадающую с исходной системой Максвелла, нужно еще положить
= |
1, |
E |
x = |
x |
x = |
|
x |
||||
|
|
E′ , H |
|
|
|
|
H ′ . |
||||
Теперь можем записать |
|||||||||||
rot′H ′ = ε0 |
∂E′ + |
1 |
|
(ε0βdiv′E′ + jx )i + jy j + jz k, |
|||||||
α |
|||||||||||
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|||
rot′E′ = −μ0 ∂H ′ |
− |
|
1 |
μ0βdiv′H ′i. |
|||||||
|
α |
||||||||||
|
|
|
|
∂t′ |
|
|
|
|
Учитывая вышеприведенные соотношения, нетрудно получить формулы преобразования дивергенций при переходе от новых коор- динат к старым. Они выглядят так:
div′E′ = αdivE − γ |
∂Ex |
|
∂Hz |
|
∂H y |
||||
|
|
+ μ0β |
|
− |
|
|
, |
||
|
∂t |
∂y |
|
∂z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
div′H ′ = αdivH − γ |
∂Hx |
|
∂Ez |
|
|
∂Ey |
|||
|
|
− ε0β |
|
− |
|
|
. |
||
∂t |
|
∂y |
|
∂z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание соответствующие уравнения исходной системы, получим
div′E′ = |
1 |
α |
ρ − |
v |
jx |
, |
|
2 |
|||||
|
ε0 |
|
c |
|
|
div′H ′ = 0 .
9
Здесь использовано обозначение v = − αβ .
Наконец, полагая
x |
= α |
( j |
x − |
ρ |
), |
y |
= |
j |
y |
, |
z = |
j |
z |
, |
||
j′ |
|
|
|
v |
j′ |
|
|
j′ |
|
|||||||
ρ′ = α |
− |
v |
jx |
+ ρ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приводим уравнения в штрихованных переменных к стандартной форме записи максвелловской системы для свободного пространства, а именно
rot′H ′ |
|
|
∂E′ |
j′, |
|
= ε0 ∂t′ + |
|||||
|
|
|
|
||
rot′E′ = −μ0 |
∂H ′ |
, |
|||
|
|
ρ′ |
|
∂t′ |
|
div′E′ = |
. |
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
ε0 |
|
|
Выпишем теперь окончательные выражения для коэффициентов
преобразования. Во-первых, из условия
= α2 − c2 γ 2 = 1,
находим
α = |
1 |
|
|
(v < c). |
1 − |
v2 |
|
||
|
|
|
||
|
c2 |
|||
|
|
Остальные коэффициенты выражаются через α как
δ = α, β = −αv, γ = −α v . c2
Произвольный параметр v имеет смысл относительной скорости движения систем отсчета.
Таким образом, преобразования пространственных координат и времени, относительно которых система уравнений Максвелла ока-
залась инвариантной, таковы: x′ = α(x − vt), y′ = y, z′ = z,
t′ = α |
− |
v |
x + t |
, |
|
c2 |
|||||
|
|
|
|
а обратные им –
10