Методы математической физики сб. задач
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОЛФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Сборник задач
Уфа 2005
УДК 53.51 ББК 22.311 М 54
Печатается по решению редакционно-издательского совета Башгоспедуниверситета
Методы математической физики: Сборник задач /сост. З.В.Гареева.
– Уфа: Изд-во БГПУ, 2005, – 20с.
Сборник содержит задачи и упражнения по основным разделам курса «Методы математической физики»: элементам теории поля, уравнениям математической физики, специальным функциям. В сборнике представлены как тренировочные задачи, направленные на закрепление основных формул и методов решения, так и комбинированные задачи, способствующие выявлению взаимосвязей между различными темами и разделами. В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения, в конце сборника даются ответы ко всем предложенным задачам.
Сборник задач предназначен для использования на практических занятиях по предмету «Методы математической физики», для самостоятельной работы студентов физико-математических специальностей вузов.
Составитель З.В. Гареева, к.ф.-м.н., ст.преподователь
Рецензенты: Е.С.Шиховцева, д-р ф.-м.н.; Ф.Г.Мукминов, д-р ф.-м.н.
© Издательство БГПУ, 2005
2
ВВЕДЕНИЕ
В сборнике задач “Методы математической физики” подобраны задачи и примеры по математической физике применительно к программе общего курса для студентов третьего курса физико-математического факультета. Материал сборника охватывает основные разделы курса: элементы теории поля, понятия об уравнениях математической физики, методы решения уравнений математической физики, специальные функции. В начале каждого раздела приводится необходимый справочный материал, предлагаются характерные задачи и ответы к задачам.
Особое внимание обращено на важнейшие разделы курса, наиболее часто применяемые на практике - элементы теории поля, построение и методы решения уравнений гиперболического типа. Сборник составлен на основе классических руководств по методам математической физики, содержит большое количество как оригинальных, так и типовых задач, направленных на получение прочных навыков для их решения.
3
1. Элементы теории поля
Градиент.
r∂u |
r |
∂uy |
r ∂u |
|
|
||
Вектор gradu = i |
|
x + j |
|
+k |
|
z |
называется градиентом скалярного поля |
|
∂y |
|
|||||
|
∂x |
|
∂z |
|
|||
u=f(P) в данной точке P. |
|
|
|
|
|||
Дивергенция. |
|
|
|
|
|
|
|
Дивергенцией векторного |
поля a(P) = ax i + ay j + az k называется скаляр |
diva = ∂∂axx + ∂∂ayy + ∂∂azz .
Вихрь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вихрем |
|
векторного |
|
поля |
|
a(P) = ax i + ay j + az k |
называется вектор |
||||||||||
r r |
∂a |
|
|
∂ay |
r |
∂a |
|
|
∂a |
|
r |
|
∂ay |
|
∂a |
|
|
rota = i( |
|
z − |
|
) + j( |
|
x |
− |
|
z ) +k |
( |
|
− |
|
x ) |
|
||
|
∂z |
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||
|
∂y |
|
|
∂z |
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
Задачи
1.1.Вычислить gradU, если U равно соответственно а) r, б) r2, в) f(r), где r = x2 + y2 + z2 .
1.2.Найти градиент скалярного поля U=cr, где с- постоянный вектор.
1.3.Вычислить grad c ×r 2 , где с- постоянный вектор.
1.4.Вычислить grad(xmyn).
1.5.Вычислить дивергенцию и вихрь вектора a, если a
равно соответственно а) r, b)rс, c)f(r) с, где с- постоянный вектор
1.6.Вычислить дивергенцию и вихрь градиента скалярного поля U.
1.7.Вычислить div(ar ).
1.8.Доказать, что div(a1+a2)=div(a1)+div(a2).
1.9.Вычислить div(ϕ a), где ϕ-скалярная, а- векторная функция поля.
1.10.Вычислить a) divb(r·a), б) div r(r·a), где a и b –постоянные векторы.
1.11.Вычислить расхождение в поле скоростей и ускорений в движении
v = v0 +ω ×r
твердого тела. dω . w = w0 + dt ×r +ω ×(ω ×r)
1.12. При какой функцииr ψr(r) будет div ψ(r) r=0 ? 1.13. Вычислить grad ( (a r) ).
1.14.Вычислить а) div(arr), б) div(rr ) .
4
rr r
1.15.Вычислить div( a ×(r ×b) ) .
1.16.Вычислить градиент потенциала электростатического поля,
образованного точечным зарядом u = e |
r = x2 + y2 |
+ z2 . |
|
r |
r |
|
|
1.17. Доказать div(rota) = 0 . |
|
|
где ar,br-постоянные |
1.18. Вычислить a) rot(ϕar), б) rot(rar), в) rot((rr ar)br) , |
|||
вектора, rr-радиус-вектор точки. |
|
|
|
1.19.Доказать, что rot(a1+a2)=rota1+rota2
1.20.Представить a ×gradϕ , где а- постоянный вектор, в виде вихря
некоторого вектора.
1.21. Вычислить n [grad(a n) −rot(a ×n)], где а- переменный вектор, n- единичный постоянный вектор.
2. Вводные понятия. Классификация уравнений с частными производными. Приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными
Задачи
Выяснить являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями с частными производными. Выяснить какие из них являются линейными (однородными, неоднородными), нелинейными, казилинейными
2.1.uxx2 +uyy2 −(uxx +uyy )2 = 0 .
2.2.ln(ux uy ) −ln(ux ) −ln(uy ) +5u −6 = 0 .
2.3.sin(uxx2 +uy ) +cos(uxx +uxy ) = 0 .
2.4.uxuxy2 +2xuuyy −3xyuy −u = 0 .
2.5.3uxy −6uxx +7uy −ux +8x = 0 .
2.6.uxy +uy +u2 − xy = 0 .
2.7.2 sin(x + y)uxx − x cos yuxy + xyux −3u +1 = 0 .
2.8. uxy + 2 |
∂ |
(ux2 +u) −6x sin y = 0 . |
|
∂x |
|||
|
|
2.9. uy uxx −3x2uuxy + 2ux − f (x, y)u = 0.
5
2.10. 2sin(x + y)uxx − x cos yuxy + xyux −3u +1 = 0 .
Определить тип следующих уравнений
2.11.uxx + 4uxy +uyy +ux +uy + 2u − x3 y = 0 .
2.12.2uxx + 2uxy +uyy +ux +uy − 2u = 0 .
2.13.uxx + 2uxy +uyy +ux +uy +3u − xy2 = 0 .
2.14.4uxx + 6uxy + 2uyy +uy + 2u = 0 .
2.15.12uxx + 3uyy + xy + uy − 2u = 0 .
2.16.uxx + 2uxy −6uyy +uy − 2u = 0 .
2.17.12uxx +12uxy + xyux + yuy = 0 .
2.18.uxx − 6uxy −3uyy + xux + yuy = 0 .
2.19.8uxy +uyy − 2xyu = 0 .
2.20*. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения (l + x)uxx + 2xyuxy − y2uyy = 0 и исследовать их зависимости от l, где l- числовой параметр.
Привести к каноническому виду следующие уравнения
2.21.x2uxx − y2uyy = 0 .
2.22.x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0, x > 0 .
2.23.uxx + 4uxy +5uyy = 0 .
3.Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач
3.1.(Малые колебания струны) Струна натянута с силой Т0 и находится в прямолинейном положении равновесия; ее концы неподвижно закреплены. В момент t=0 точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить краевую задачу для определения малых отклонений точек струны при t>0.
3.2.(Продольные колебания стержня) Упругий прямоугольный стержень выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент времени t=0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что поперечные сечения стержня все время остаются плоскими, поставить краевую задачу для определения смещений поперечных сечений стержня при t>0. Рассмотреть случаи, когда концы стержня:
а) закреплены жестко б) двигаются в продольном направлении по заданному закону
6
в) закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со стороны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и направленную противоположно смещению.
3.3.Вывести телеграфное уравнение.
3.4.(Волны тяжелой жидкости в канале). В неглубоком горизонтальном канале длины l с прмоугольным поперечным сечением находится вода, глубина которой , отсчитанная от свободной покоящейся поверхности, равна h. Концы канала закрыты плоскими жесткими перегородками, перпендикулярными к его образующим. Направим ось x вдоль канала. При небольших возмущениях свободной поверхности в канале может возникнуть волновое движение воды, при котором
поперечные сечения, состоящие из жидких частиц будут, как целые, получать смещение ξ(x,t) вдоль оси x, а их высота будет получать отклонение η(x,t) от высоты h свободной покоящейся поверхности воды.
Пусть заданы начальные значения ξ(x,t) и η(x,t) в момент времени t=0. Поставить краевую задачу для определения ξ(x,t) и η(x,t) при t>0.
3.5.К струне, концы которой закреплены неподвижно, начиная с момента t=0, приложена непрерывно распределенная сила, линейная плотность которой равна F(x,t). Поставить краевую задачу для определения поперечных отклонений u(x,t) точек струны при t>0.
3.6.Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.
3.7.Два полуограниченных однородных упругих стержня с одинаковыми
поперечными сечениями соединены торцами и составляют один неограниченный стержень. Пусть ρ1, E1-плотность массы и модуль упругости одного из них, а ρ2, E2 – другого. Поставить краевую задачу для определения продольных отклонений поперечных сечений неограниченного стержня от их положений равновесия, если в начальный момент времени поперечным сечением стержня сообщены некоторые продольные смещения и скорости.
3.8.В некоторой точке неограниченной струны прикреплен шарик массы М, а к нему прикреплена пружинка с коэффициентом упругости k и осью, перпендикулярной к равновесному положению струны. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны. Рассмотреть также случай, когда
шарик испытывает сопротивление пропорциональное скорости с коэффициентом пропорциональности k*.
4.Уравнение колебаний струны
4.1. Метод Даламбера
Метод Даламбера широко используется для решения уравнений колебаний струны.
7
Для |
уравнения |
utt = a2uxx |
формула |
Даламбера |
имеет |
вид |
||
u(x,t) = |
ϕ(x + at) +ϕ(x - at) + |
1 |
∫xx-+atat |
ψ(z)dz . |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4.2.Задачи для бесконечной струны
Найти решение уравнения
4.1.1.utt = uxx , если u(x,0) = x2 ,ut (x,0) = 0
4.1.2.utt = 4uxx если u(x,0) = 0,ut (x,0) = x
4.1.3.если u(x,0) = 0,ut (x,0) = cos(x)
4.1.4.utt = uxx если u(x,0) = x,ut (x,0) = −x
4.1.5.utt=4uxx, u(x,0)=0;ut=e2x; u(x,t)-?
4.1.6.utt=16uxx, u(x,0)=sin(2x);ut=cos(2x); u(x,t)-?
4.1.7.utt=9uxx, u(x,0)= e2x ;ut=0; u(x,t)-?
4.1.8.utt=9uxx, u(x,0)=x+1;ut=0; u(x,t)-?
4.1.9.Найти форму струны, определяемой уравнением utt = a2uxx в момент
времени t=π/(2a), если u(x,0)=sin(x), ut(x,0)=1.
4.1.10. Найти форму струны, определяемой уравнением utt = uxx в момент времени t=π, если u(x,0)=sin(x), ut(x,0)=cos(x).
4.1.11.utt=uxx, u(x,0)=sin(x);ut=0; u(x,t)-?
4.1.12.utt=uxx, u(x,0)=sin(x);ut=x/(1+x2); u(x,t)-?
4.1.13.utt=uxx, u(x,0)=x ;ut=sin(x) ; u(x,t)-?
4.1.14.utt=uxx, u(x,0)=x ;ut=cos(x) ; u(x,t)-?
15.utt=uxx, u(x,0)=e-x ;ut=x/(1+x2) ; u(x,t)-?
16.Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, изображенным на рис.1. Построить (начертить) положение
струны для моментов времени tk = 4kca , где k=0,1,2,3,5. u
x
-c |
c |
рис.1.
8
4.3. Задачи для полубесконечной струны
4.2.1.Найти решение уравнения |
u = a2u |
xx |
, |
0 ≤ x < ∞,0 < t < ∞, |
u(x,0)=x2, |
|||
ut=sin2x, u(0,t)=0. |
|
tt |
|
|
|
|||
|
|
|
решение уравнения utt=a2uxx, |
|||||
4.2.2. |
В |
области |
0 ≤ x < ∞,0 < t < ∞ |
найти |
|
|||
удовлетворяющие условиям u(x,0)=0, ut(x,0)=sinx, u(0,t)=0. |
|
|||||||
4.2.3. |
В |
области |
0 ≤ x < ∞,0 < t < ∞ |
найти |
|
решение уравнения utt=a2uxx, |
||
удовлетворяющие условиям u(x,0)=x2/(1+x2) , ut(x,0)=0, u(0,t)=0. |
utt=a2uxx, |
|||||||
4.2.4. |
В |
области |
0 ≤ x < ∞,0 < t < ∞ |
найти |
|
решение уравнения |
удовлетворяющие условиям u(x,0)=x2/(1+x2) , ut(x,0)= x2/(1+x2), u(0,t)=0. |
|||||||
4.2.5. |
В |
области |
0 ≤ x < ∞,0 < t < ∞ |
найти |
решение |
уравнения |
utt=a2uxx, |
удовлетворяющие условиям u(x,0)=0 , ut(x,0)= x2/(1+x2), u(0,t)=0. |
utt=a2uxx, |
||||||
4.2.6. |
В |
области |
0 ≤ x < ∞,0 < t < ∞ |
найти |
решение |
уравнения |
удовлетворяющие условиям u(x,0)=e-x , ut(x,0)= sin(x), u(0,t)=0.
4.2.7. Полуограниченная струна, закрепленная в конце, возбуждена начальным отклонением, изображенным на рис. 2. Начертить положение струны для моментов времени t = ac , t = 23ca ,t = 2ac , t = 27ac
u
x
c |
3c |
рис. 2.
4.2.8.utt=4uxx, u(x,0)=ln(x), ut(x,0)=0,u(0,t)=0, u(x,t)-?
4.2.9.utt=uxx, u(x,0)=0, ut(x,0)=sin(x),u(0,t)=0, u(x,t)-?
4.4.Задачи для конечного отрезка струны. Решение уравнения колебания струны методом Фурье
Согласно методу Фурье решение уравнения utt=a2uxx, удовлетворяющее начальным условиям u(x,0)=ϕ(x), ut(x,0)=ψ(x) и граничным условиям u(0,t)=0, u(l,t)=0 может быть представлено суммой бесконечного ряда
|
|
∞ |
|
πn at) + Bk sin( |
πn at))sin( |
πnx) , |
|
|
2 |
l ϕ(x)sin |
nπx |
|
|||
u(x,t) = ∑ |
(Ak cos( |
где |
an = |
dx , |
|||||||||||
l |
|
||||||||||||||
|
k =1 |
|
|
l |
l |
l |
|
|
∫0 |
l |
|||||
bn = |
2 |
∫0l |
ψ(x)sin |
nπx |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
nπa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Задачи
4.3.1. Струна, закрепленная на концах x=0, x=l, имеет в начальный момент форму параболы u = 4l2h x(l − x) . Определить смещение точек струны от оси
абсцисс, если начальные скорости отсутствуют (рис.1). u
h
0 |
l |
x |
рис.1.
4.3.2. Дана струна, закрепленная на концах x=0, x=l. Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной ОАВ, изображенной на рис.2. Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют.
u
A
h
O |
B |
x |
рис. 2.
4.3.3. Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках x=0, x=l, равны 0, а начальная скоростьвыражается формулой
u |
= v |
, если |
x − |
l |
|
< h и |
u = 0, если |
x − |
l |
|
> h . Определить форму струны для |
|
|
||||||||||
t |
0 |
|
2 |
|
2 |
t |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
любого момента времени t.
4.3.4.Струна, закрепленная на концах x=0, x=l, имеет в начальный момент форму u=h(x4-2x3+x). Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют.
4.3.5.Струна закреплена в точках x=0 и x=l. Начальная скорость выражается формулой
|
π(x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
l |
|
< h |
и |
|
|
l |
|
|
> |
h |
. Найти форму струны |
||||
u = cos |
v , если |
x − |
|
u |
= 0, если |
x − |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
h |
0 |
|
2 |
|
2 |
|
t |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для любого момента времени t.
10