Решение задач по курсу общей физики. Процессы переноса (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

О.С. Еркович, А.Н. Морозов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ.

ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

Методические указания

Под редакцией С.П. Ерковича

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 53.01 ББК 22.3

Е718

Р е ц е н з е н т Т.А. Митюшкина

Еркович О.С., Морозов А.Н.

Е718 Решение задач по курсу общей физики. Процессы переноса / Под ред. С.П. Ерковича. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 24 с.: ил.

Приведен краткий обзор основных понятий и соотношений теории, необходимых для решения задач по разделу «Процессы переноса». Изложена методика решения типовых задач.

Для студентов первого курса всех специальностей.

УДК 53.01 ББК 22.3

Учебное издание

Еркович Ольга Станиславовна Морозов Андрей Николаевич

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

Редактор О.М. Королева Корректор Р.В. Царева

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 01.07.2009. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 300 экз. Изд. № 11.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА

Процесс перехода неравновесной системы к равновесному состоянию нередко осуществляется за счет процессов, называемых

процессами переноса.

Эти процессы возникают в случаях, когда термодинамическая система характеризуется неоднородностями плотности, температуры, скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества, потенциала электрического поля и т. п. Выравнивание неоднородностей приводит к возникновению явлений переноса.

Механизм возникновения явлений переноса связан с особенностями движения молекул газа: беспорядочное, сопровождающееся столкновениями, оно приводит к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в системе присутствует пространственная неоднородность температуры, концентрации компонентов, скорости упорядоченного движения отдельных слоев, то хаотическое тепловое движение молекул приводит к самопроизвольному выравниванию этих неоднородностей. В результате возникают потоки энергии, вещества, импульса упорядоченного движения частиц.

Диффузией называют процесс самопроизвольного выравнивания концентраций веществ в смесях. Она может наблюдаться в различных средах, причем ее скорость в значительной степени зависит от агрегатного состояния вещества.

Теплопроводностью называют процесс переноса теплоты, сопровождающийся выравниванием температуры в различных точках среды.

Вязкость, или внутреннее трение, приводит к обмену импульсами между различными элементами системы при их упорядоченном относительном движении. В частности, вязкое трение приво-

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

дит к появлению силы сопротивления при движении тела в жидкости или газе.

Одной из количественных характеристик процессов переноса является термодинамический поток J, численно равный количеству изучаемой физической величины, переносимому за единицу времени через выбранную поверхность.

Второй важной количественной характеристикой процесса пе-

реноса является плотность потока ~. Плотность потока физи- j

ческой величины численно равна ее количеству, переносимому в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную

где α — угол между направлением нормали к площадке S и векто-

ром плотности потока ~. j

Если состояние термодинамической системы можно рассматривать как близкое к равновесному и она характеризуется неоднородностью только одного термодинамического параметра Ω (только концентрации некоторого вещества или только температуры, или только скорости упорядоченного движения частиц среды),

то плотность возникающего в ней термодинамического потока ~ j

пропорциональна градиенту Ω в этой точке:

где β — коэффициент переноса, или кинетический коэффициент.

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Если пространственное распределение величины Ω зависит только от одной пространственной переменной x (так называемый одномерный случай), то процесс переноса идет только вдоль этого направления, и формула (1) приобретает более простой вид:

Выравнивание концентрации примесных молекул в системе называется диффузией. В изотропном веществе процесс диффузии описывается эмпирическим законом диффузии Фика:

где ~ — плотность потока частиц одного из компонентов смеси; jn

n — концентрация молекул этого компонента; D — коэффициент диффузии.

В одномерном случае уравнение (5) приобретает вид

Выравнивание температуры в системе сопровождается потоком

теплоты, плотность которого ~ определена эмпирическим законом j

теплопроводности Фурье:

где κ — коэффициент теплопроводности; T — абсолютная температура среды.

В одномерном случае

Внутреннее трение (вязкость) связано с возникновением сил трения между слоями вещества, перемещающимися параллельно друг другу с различными по модулю скоростями. Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.

Внутреннее трение описывается законом Ньютона (уравнением вязкости):

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где плотность потока импульса jp представляет собой механическое напряжение трения, численно равное касательной силе трения, действующей на единичную поверхность соприкосновения слоев; du — изменение скорости течения среды на расстоянии dx в направлении внешней нормали к поверхности слоя; η — динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения).

На практике кроме динамической вязкости η часто используется понятие кинематической вязкости

ν = ηρ ,

где ρ — плотность среды.

Кинетические коэффициенты могут быть определены как экспериментальным путем, так и методами физической кинетики с использованием представлений о характере движения микроскопических частиц среды.

2. ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

Примером приложения методов физической кинетики к исследованию процессов переноса может служить исследование кинетических коэффициентов – коэффициента диффузии D, коэффициента теплопроводности κ и динамической вязкости η — в газах.

Рассмотрим упрощенный случай одномерного процесса переноса. Пусть в пространстве существует неоднородность некоторой

dΩ оказывается dx

отличной от нуля, причем Ω = Ω (x, y, z) = Ω (x). В этом случае в пространстве создаются условия, которые приводят к некоторому процессу переноса, происходящему вдоль оси OX.

Оценим (качественно) связь между параметрами, характеризующими движение молекул газа, и кинетическими коэффициентами.

Исходя из того, что молекулы газа совершают хаотическое тепловое движение, можно предположить, что вероятность движения молекулы в любом направлении одинакова. Поскольку движение молекулы как целого в пространстве характеризуется тремя степенями свободы, т. е. может происходить вдоль осей OX, OY и OZ,

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

причем частицы могут двигаться вдоль этих осей как в положительном, так и в отрицательном направлении, то плотность потока частиц в любом из этих направлений

где hvi — средняя скорость теплового движения молекул; n — концентрация молекул газа.

Таким образом, через единичную площадку S0, перпендикулярную оси OX, в единицу времени переносятся j молекул в положительном направлении оси и j молекул – в отрицательном. Перенос физической величины Ω вдоль оси OX означает, что молекулы, проходящие через площадку S0 в положительном и отрицательном направлениях оси OX, характеризуются различными значениями этой величины. Разность значений Ω, переносимых в противоположных направлениях, окажется мерой явления переноса.

Оценим величину Ω. Если средняя длина свободного пробега молекулы (расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями) равна hλi, то до прохождения через площадку S0 молекулы со времени последнего столкновения прошли в среднем расстояние hλi. Каждая из молекул, таким образом, характеризуется значением величины Ω, соответствующим усредненным характеристикам слоя, удаленного от площадки S0 на расстояние hλi. Если положение площадки S0 определяется значением координаты x, то молекулы, проходящие через нее в положительном направлении оси OX, «несут с собой» значение величины Ω, равное Ω (x − hλi). Аналогично молекулы, проходящие через площадку S0 в отрицательном направлении оси OX, характеризуются значением величины Ω, равным Ω (x + hλi). Таким образом, мы обнаруживаем, что равновесие термодинамической системы нарушилось: в ней возник поток величины Ω, равный

Учитывая, что длину свободного пробега можно считать малой по сравнению с характерными геометрическими размерами системы, можно разложить величины Ω (x − hλi) и Ω (x + hλi) в ряд

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тейлора с точностью до первого порядка разложения:

Ω(x − hλi) = Ω (x) − hλi dΩdx(x),

Ω(x + hλi) = Ω (x) + hλi dΩdx(x).

Оно может быть применено для описания процессов переноса

в газах при отсутствии в них макроскопического перемешивания. Среднюю длину свободного пробега молекулы hλi можно оценить, введя в рассмотрение определенную модель молекулы газа. Будем считать, что молекулы представляют собой упругие шарики, имеющие диаметр d0 и взаимодействующие между собой только при непосредственном соприкосновении. Перейдем в систему отсчета, связанную с одной из молекул, и рассмотрим ее столкновения с остальными «налетающими» на нее молекулами газа. За единицу времени молекула испытывает среднее число соударе-

ний hfi:

(11) где hvотнi — скорость относительного движения молекул газа; σ = πd20 — эффективное поперечное сечение молекулы; n — концентрация молекул.

Относительная скорость движения молекул 1 и 2 равна vотн = = v1 − v2, откуда, очевидно, что

vотн2 = v12 + v22 − 2v1v2 cos ϕ,

где ϕ — угол между скоростями v1 и v2 молекул 1 и 2.

Усредняя последнее соотношение с учетом того, что при хаотическом тепловом движении молекул

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Таким образом, среднее число соударений, претерпеваемых молекулой в единицу времени, определяется выражением

hfi = √2σn hvi .

Среднее расстояние, которое молекула проходит за единицу времени, численно равно hvi. Поэтому hvi = hfi hλi. Следовательно, средняя длина свободного пробега составляет

Чтобы в дальнейшем использовать уравнения переноса для описания конкретных физических явлений, необходимо уточнить физический смысл величины Ω и потока jΩ.

Рассмотрим диффузию примеси одного газа в другом, для простоты считая, что молекулы обоих газов приблизительно одинаковы, а их суммарная концентрация постоянна: n1 + n2 = n, где n1 и n2 — концентрации компонентов смеси. Последнее условие избавляет нас от необходимости описывать макроскопическое перемешивание компонентов смеси.

Физической величиной, перенос которой в данном случае осуществляется в процессе диффузии, можно считать относительную концентрацию одного из компонентов смеси:

Если концентрация диффундирующего газа зависит только от одной координаты, т. е. n1 = n1 (x), то и Ω = Ω (x). Подставим (13) в (10), тогда уравнение переноса можно переписать в виде

получив уравнение диффузии.

Сопоставляя эмпирически найденный закон Фика для одномерного случая (5а) и уравнения (14) , мы приходим к выражению для коэффициента диффузии:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

С учетом формулы (12) для длины свободного пробега и выражения для средней скорости молекулы

r

которое может быть получено с использованием распределения Максвелла, коэффициент диффузии допускает представление

r

где m — масса молекулы газа.

При описании теплопроводности в качестве переносимой величины Ω выступает энергия теплового движения молекулы газа:

где i — число степеней свободы молекулы, а температура среды зависит только от координаты x: T = T (x).

Подставив (18) в (10), получим уравнение теплопроводности

Сопоставляя уравнение (20) с эмпирическим законом теплопроводности Фурье (6а), для коэффициента теплопроводности по-