Введение в функциональный анализ (60
..pdfФедеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
В. А. Курчатов, В. Р. Ризаев
Введение в функциональный анализ
Методические указания
Казань, КГТУ
2008
Составители: доц. В. А. Курчатов доц. В. Р. Ризаев
Введение в функциональный анализ: методические указания / сост. В.
А. Курчатов, В. Р. Ризаев – Казань: Издательство |
Казанского |
Государственного технологического университета, 2008.- |
с. |
Изложены основные понятия функционального анализа для студентов магистратуры (Индекс учебной дисциплины – ЕН.01 Математика)
Подготовлены на кафедре высшей математики.
Печатаются по решению методической комиссии по циклу физико- математических дисциплин.
Рецензенты: проф. Ю. В. Малышев проф. Н. К. Нуриев
ВВЕДЕНИЕ
Методическая разработка знакомит студентов магистратуры КГТУ с основными понятиями функционального анализа, как естественного обобщения математического анализа, когда вместо числовой переменной используются переменные более сложной структуры – многокомпонентные вектора, матрицы и другие функции и операторы от них.
Методическая разработка предназначена студентам магистратуры КГТУ. Она будет полезна им при изучении операторов квантовой химии.
1. Банаховы пространства
Множество L элементов x, y, z,… некоторой природы называется линейным пространством, если для элементов пространства определены операции сложения и умножения на вещественное число, подчиненные обычным законам алгебры, установленными для сложения и умножения чисел.
Линейное пространство называется нормированным, когда для каждого элемента x пространства определено неотрицательное число x , называемое нормой, обладающее свойствами длины вектора. С
помощью норм вводится расстояние между элементами и, следовательно, наличие нормы позволяет определить сходимость
последовательности |
элементов |
{ xn } по |
норме. |
|
Говорят, |
что |
||||||||||||||||
последовательность { xn } сходится к элементу x, если |
|
xn − x |
|
|
|
|
→ 0 при |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
n → ∞, |
и символически |
это |
записывают |
так: lim |
xn = x , |
|
|
или |
||||||||||||||
xn → x , |
при n → ∞ . |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Линейное нормированное пространство называется полным, |
||||||||||||||||||
или |
|
банаховым (кратко |
В-пространством), если |
|
из того, |
что |
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
xn+ p − xn |
|
|
|
= 0, |
где |
p-любое |
натуральное |
число, |
следует |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходимость последовательности { xn } |
к элементу x, принадлежащему |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассматриваемому пространству.
Влинейном пространстве нормы можно вводить по-разному.
Вконечномерном линейном нормированном пространстве любые две нормы эквивалентны, т.е. из сходимости последовательности к элементу x по одной норме следует ее сходимость и по другой.
Мы будем рассматривать вещественные пространства, т.е. пространства, в которых допускается умножение элементов на вещественные числа. Если в пространстве определено умножение элементов на комплексные числа, то такие пространства называются
комплексными.
Приведем примеры банаховых пространств.
1.Множество вещественных чисел с нормой x = x , очевидно,
является пространством типа В.
2.Пространство n-мерных векторов x = (ξ1,...,ξn ) , в котором
сложение и умножение вектора на скаляр проводится по компонентам, представляет собой пространство типа В, если за
норму принять |
длину вектора |
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
ξ 2 + ... + ξ 2 , |
или |
длину |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
максимальной компоненты |
|
|
|
x |
|
|
|
= max |
|
ξi |
|
(n-мерные пространства с |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
такими нормами обозначим соответственно Rn |
и m ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Сходимость |
x |
= (ξ (k ) |
,...,ξ (k ) ) → x = (ξ ,...,ξ |
n |
) |
в |
|||||||||||||||||||
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
пространствах |
Rn и m |
означает покоординатную сходимость, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. ξ (k ) → ξ |
при k → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Пространство C [ a , b ] - множество непрерывных функций на
отрезке a ≤ x ≤ b , c нормой |
|
x |
|
= max |
|
x (t ) |
|
, является |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a≤t≤b |
|
|
|
|
пространством типа В. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сходимость элементов |
xk (t ) → x (t ) в пространстве C [ a , b ] |
||
есть |
равномерная |
сходимость |
функциональной |
последовательности { xk (t )} .
4.Пространство L2 -множество интегрируемых c квадратом на
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1/ 2 |
||
отрезке a ≤ x ≤ b функций x(t) , с нормой |
|
x |
|
|
|
= |
∫ x2 (t )dt |
, |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
тоже является пространством типа В. Сходимость в этом |
|||||||||||
пространстве − сходимость в среднем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Операторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть X и Y – |
банаховы пространства. Говорят, что |
в |
|||||||||
пространстве X определен оператор Р со значениями в пространстве Y, |
|||||||||||
если каждому элементу |
x X |
соответствует |
элемент |
y Y . Для |
|||||||
обозначения оператора Р, действующего из пространства X в Y, |
|||||||||||
вводится символ P : X → Y . В |
частности, если Y – |
пространство |
|||||||||
вещественных чисел, то Р называется функционалом. |
|
xn → x |
|
||||||||
Оператор Р называется непрерывным, если из |
в |
||||||||||
пространстве Х следует, что P ( xn ) → P ( x) в пространстве Y. |
|
Оператор Р называется линейным, если: а) аддитивен, т.е.
б) непрерывен.
Линейный оператор обладает свойством однородности, т.е.
P (λ x) = λ P ( x) , λ = const.
Для линейного оператора условие непрерывности эквивалентно существование такой постоянной С, что для всех x X имеет место неравенство
P ( x) |
|
≤ C |
|
|
|
x |
|
|
|
. |
(2.1) |
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор Р, удовлетворяющий указанному условию, называют ограниченным. Справедливо и обратное утверждение: линейный ограниченный оператор непрерывен.
Наименьшая из постоянных С, для которых неравенство (2.1) справедливо, называется нормой линейного оператора Р. Следовательно, P = min C .
Итак:
P ( x) £ P × x .
Можно показать, что
P = sup P ( x) .
x≤1
Оба определения нормы линейного оператора Р эквивалентны. Множество линейных операторов P : X → Y образуют
линейное нормированное пространство L( X ,Y ) . Оно полно, если
полно пространство Y.
В качестве примера рассмотрим оператор
1
P ( x) = ∫K (s,t ) x (t )dt,
0
где K(s,t) – непрерывная функция, которая переводит пространство непрерывных функций C [ a , b ] в себя. Как видно,
|
|
|
= max |
1 |
|
K (s,t ) |
|
|
|
|
|
P |
|
∫ |
|
|
dt . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0≤s≤1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, сумма P + P двух линейных |
операторов P |
и P , |
||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
переводящих линейное нормированное пространство Х в пространство Y того же типа, снова есть линейный оператор. Сложение операторов подчиняется обычным свойствам сложения чисел, при этом
P + P |
|
|
|
£ |
|
|
|
P |
|
|
|
+ |
|
|
|
P |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6
Аналогично можно рассматривать произведение операторов.
Если линейный оператор P отображает нормированное пространство
1
Хв пространство Y, а линейный оператор P2 отображает
нормированное пространство Y в Z, то оператор P P = Q отображает |
|||||||||
|
|
|
|
2 ( |
|
) |
2 |
1 |
|
|
|
|
в Z: |
1 |
. Характерная |
|
|||
пространство |
Х |
Q ( x) = P |
P ( x) |
|
особенность |
||||
произведения |
операторов – некоммутативность, |
так |
как, вообще |
||||||
говоря, P P ¹ P P . |
Свойством |
дистрибутивности |
произведения |
||||||
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
операторов обладает, что следует из определения суммы и произведения операторов.
Очевидно
P P |
|
|
|
£ |
|
|
|
P |
|
|
|
× |
|
|
|
P |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Подобным образом вводится понятие билинейного оператора (В – оператора), который:
а) каждой упорядоченной паре элементов x1, x2 из пространства Х ставит в соответствии элемент y = B ( x1, x2 )ÎY ;
б) линеен по каждому аргументу при фиксированном другом; в) ограничен, т.е. удовлетворяет неравенству
B (x1, x2 ) £ C x1 × x2 .
Можно показать, что условие линейности и ограниченности по каждому аргументу равносильно непрерывности оператора В по совокупному аргументу.
Наименьшее из чисел С называется нормой билинейного оператора и обозначается B .
Билинейные операторы образуют линейное нормированное пространство, которое обозначим I ( X 2 ,Y ). Если полно пространство
Y, то пространства I ( X 2 ,Y ) билинейных операторов тоже полно.
7
Каждый элемент пространства I ( X 2 ,Y ) можно также рассматривать
как оператор, действующий из пространства Х в пространство линейных операторов L ( X ,Y ) , т.е. B L ( X , L ( X ,Y )) .
Примером билинейного оператора, действующего из пространства C [0,1] в C [0,1] , является интегральный оператор вида
1 1 |
|
|
B( x1, x2 ) = ∫∫K (s,t,u) x1 |
(t ) x2 |
(u)dtdu, 0 ≤ s ≤ 1, |
0 0 |
|
|
где К(s,t,u) |
– |
непрерывная |
функция своих аргументов. Норма |
|||||||||||||
билинейного оператора оценивается по формуле: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
K (s,t,u ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
B |
|
≤ sup ∫∫ |
|
|
dtdu . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0≤s≤1 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
вводится |
определение |
i-линейного |
оператора |
||||||||||||
N I ( X i ,Y ), |
который |
является |
также элементом пространства |
|||||||||||||
L ( X , L ( x,..., L ( X ,Y ))) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тождественным |
оператором |
в |
пространстве |
L ( X ,Y ) |
||||||||||||
называется оператор |
|
I L ( X ,Y ) , |
для которого IP=PI=P при любом |
|||||||||||||
операторе Р из L(X,Y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оператор |
I x L( X , X ) , для |
которого I x (x) = x |
при |
всех |
||||||||||||
x X , называется тождественным в пространстве X . |
|
|
||||||||||||||
Аналогично |
определяется |
тождественный оператор |
I y в |
|||||||||||||
пространстве Y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор P−1 L(Y , X ) |
удовлетворяющий условиям |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P−1P = Ix и PP−1 = I y . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Необходимым и достаточным условием существования
обратного оператора является существование числа |
m ¹ 0, такого, |
||||||||||||||||||||
что |
|
P ( x) |
|
³ m |
|
|
|
x |
|
|
|
при всех x X . В этом |
случае |
|
P−1 |
|
|
|
£ |
1 |
. Из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
сказанного следует, что уравнение P ( x) = y, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
когда для оператора Р |
существует обратный, имеет при каждом y единственное решение
x = P−1 y . |
Поэтому |
важна |
|
|
|
следующая |
теорема |
Банаха. |
Пусть |
||||||||||
линейный ограниченный оператор Q переводит пространство Х типа |
|||||||||||||||||||
В в себя. |
Тогда, |
при |
|
Q |
|
|
|
= q <1 уравнение |
x=Q(x)+y |
имеет |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
единственное решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
если |
|
|
|
Q |
|
|
|
= q <1, то для оператора 1− Q |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
существует |
ограниченный |
обратный |
(I - Q)−1 , |
который |
можно |
представить в виде
(I - Q)−1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
||
= ∑ Qk , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I - Q)−1 |
|
|
|
£ |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
- q |
||
|
|
|
|
Заметим, что оператор, обратный линейному, – линеен.
3. Дифференцирование и интегрирование операторов
Оператор |
P : X → C |
дифференцируем по Фреше в точке х, |
если существует |
линейный |
оператор P`Î L ( X ,Y ) такой, что при |
x X |
|
|
P(x + x) − P(x) − P′(x) x = o( x) .
9
Оператор P` называют производной Фреше оператора Р, а выражение P′( x) x - дифференциалом Фреше в точке х.
Если же существует предел
′ |
1 |
|
|
|
|||
( x)h = lim |
|
|
, |
||||
P |
P |
( x + th) − P ( x) |
|||||
|
t→0 t |
|
|
|
|||
при всех h X , то оператор P′( x) |
называют производной Гато. |
Когда существует производная Фреше оператора Р, то существует и производная Гато, причем производная Фреше совпадает с производной Гато; обратное утверждение не всегда справедливо.
Производные Фреше и Гато более высоких порядков определяются последовательным дифференцированием оператора Р соответственно по Фреше и Гато.
Вторая производная P′′ оператора Р является элементом пространства билинейных операторов I (X 2 ,Y ); ее можно также
рассматривать и как элемент пространства L ( X , L ( X ,Y )) .
Аналогично определяются производные Фреше k-го порядка,
которые можно рассматривать, как элементы пространства I (X k ,Y ) ,
так и пространства L ( X , L ( X ,..., L ( X ,Y ))) .
Дифференцирование по Фреше обладает следующими свойствами:
1). постоянный оператор Π можно выносить за знак производной
(ΠP ( x))′ = ΠP′( x);
2). производная линейного оператора совпадает с ним: P′( x) = P;
3). когда Р и Q – дифференцируемые операторы, то
10