К определению собственных частот и форм колебаний жесткого двухопорного ротора (80
..pdfУДК 621.313.001.24 В. И. ЗАГРЯДЦКИИ, д-р техн. наук, Е. Т. КОБЯКОВ, канд. техн. наук, Ю. С. СТЕПАНОВ, д-р техн. наук,
Д.А. НОВИКОВ (Орловский ГТУ)
Копределению собственных частот и форм колебаний жесткого двухопорного ротора
Предложена обобщенная методика определения собст
венных частот и форм колебаний жестких двухопорных ро
торов, охватывающая все возможные варианты взаимного
расположения центра масс ротора и его опор в предположе
нии линейной упругости последних и соблюдении указанных в статье ограничений и допущений.
A generalized procedure of eigen frequencies and fluctua tion forms determination of inflexible double-seat rotors at cer tain restrictions and assumption is suggested. It takes into ac count all variants of mutual arrangement of rotor centre of grav ity and its supports, linear elasticity of the latters is supposed.
Свободные колебания жесткого ротора на податли вых опорах представляют практический интерес. Зна чения собственных частот критических режимов коле баний и определение форм колебаний необходимы для оптимизации параметров ротора при разработке конст
рукций жестких роторов торцовых электрических машин, при выборе рабочих скоростей вращения роторов техно логических машин, шпинделей шлифовальных станков и других механизмов промышленного назначения.
Аналогичные вопросы рассматривались в работе [1] применительно к жесткому ротору на податливых опорах, размещенных на его концах, где были даны лишь указа ния по составлению уравнения для определения частоты колебаний и не приводились развернутые расчетные вы ражения для определения собственных частот колебаний. Причем в качестве переменных величин, описывающих движение ротора, использовались координаты его кон цов. Это обстоятельство, по-видимому, и не позволило решить задачу с достаточной полнотой.
Подобный подход использовался и в работе [2], но анализ свободных колебаний жесткого ротора не прово дился. Было получено уравнение для определения крити-
ISSN 0042-4633. ВЕСТНИК МАШИНОСТРОЕНИЯ. 2007. № 3 |
33 |
ческих скоростей вращения в случае прямой синхронной прецессии. Другие формы движения не рассматривались.
В монографии [3] решается задача определения сво бодных колебаний жесткого ротора на упругоподатливых опорах, расположенных на его концах на основа нии методов теоретической механики [4] при следую щих допущениях.
Ротор считается абсолютно жестким и осесимметричным, что можно считать достаточно обоснованным, принимая во внимание форму и реальные соотношения размеров его конструктивных элементов. Этому требо ванию удовлетворяют роторы торцовых электродвига телей и шлифовальных станков. Предполагается, что опорные узлы роторов изотропные, причем при малых радиальных смещениях опорных шипов ротора зависи мости между силами и возникающими перемещениями имеют линейный характер:
(1)
где 7?j, /J2 — реакции опор; q , c2 — статические ко эффициенты жесткости; гх , г2 — радиальные переме
щения опорных сечений ротора. Сделаны следующие допущения:
отсутствие на роторе неуравновешенных масс; незначительное влияние внешнего трения при опре
делении частот свободных колебаний и критических скоростей вращения, что соответствует принятым в ра боте [5] допущениям;
продольные перемещения центра масс ротора при анализе поперечных колебаний принимаются пренеб режимо малыми;
угол отклонения оси ротора от исходного положения при его колебаниях также мал (для большинства кон струкций).
Перечисленные выше допущения для свободных ко лебаний жесткого ротора с опорами, размещенными на его концах [3], сохраняются и в случае одноконсольного ротора (рис. 1).
Поскольку деформациями вала, которые по сравне нию с перемещениями опорных сечений незначитель
'Уо
Рис. 1. Расчетная схема жесткого ротора
34
ны в условиях данной задачи, можно пренебречь, то для наглядности совместим центр масс ротора с центром диска. Важно лишь то, что центр масс жесткого ротора расположен по одну сторону от его опор.
Положение ротора массой т будем определять отно сительно неподвижной системы координатx^y^ZQ, в ко торой ось го направлена по оси подшипников, оси х0 и _у0 с учетом принятого допущения об изотропности опор могут быть выбраны произвольно [3].
На рис. 1 также имеется жестко связанная с ротором система координат xyz, в которой точка пересечения осей совмещена с центром масс С, а осям соответствуют осевые моменты инерции масс ротора: Jx,Jy,Jz, причем
•'х — •'у
Расстояния от центра масс С до секущих плоско стей, перпендикулярных к оси ротора и проходящих че рез центры An В опор, обозначим соответственно а и Ъ (а = СА, Ъ — СВ). При этом расстояние между этими се чениями / = Ъ — а.
Введем связанную с центром масс С поступательно движущуюся систему координат x\y\Z\, центр пересе чения осей которой проходит через точку С. Тогда по ложение ротора относительно этой системы координат вследствие вращательного движения будет определять ся углами Эйлера [4]: <р — угол собственного вращения; у — угол прецессии, 0 — угол нутации. Положение цен тра С определено координатами XQC, УОС- Координату Юс считаем постоянной в силу принятого допущения об отсутствии осевых перемещений.
В соответствии с теоремой о движении центра масс [4]
тхос |
= _ с 1 * 0 1 ~ С2Х02 |
(2) |
||
ту ос |
= |
~с\Уо\ ~ С2У02- |
||
|
где хд\, уoi и х02> У02 — координаты точек А и В, со ответственно. ,
Вращательной составляющей движения ротора во круг полюса (центра С) соответствуют динамические уравнения Эйлера [4]:
/хсох |
+ (Jz |
- |
Jy)(oy(s)z = |
Мх; |
|
|
Jyay |
+ (Jx |
~ |
Jz^axaz |
= |
My'\ |
(3) |
/.cb |
+ (/ |
- |
Jx)ax(ay |
= |
Mz, |
|
"Z^z |
|
|
|
|
|
|
где сох, (лу, mz — проекции вектора угловой скорости со вращения ротора вокруг полюса на главные централь ные оси инерции тела; Мх, Му, Mz — проекции на эти оси главного вектора — момента внешних сил относи тельно полюса.
На рис. 1 показаны составляющие угловой скорости — со j , со 2 , «з : ш3 направлена по линии узлов СК, со j и
со 2 — по осям Cz и Cz\ соответственно.
Для получения уравнений вращательной составляю щей движения в проекциях на поступательно движу щиеся оси системы координат x^y\Z\ воспользуемся
ISSN 0042-4633. ВЕСТНИК МАШИНОСТРОЕНИЯ. 2007. № 3
теоремой об изменении главного момента |
количества |
Тогда система уравнений (8) примет вид: |
|
||||||||||||||
движения системы [4]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dKx |
|
|
|
|
|
|
Kv |
= Л |
+ J; |
|
|
|
|
|
|
||
= |
MX]; |
|
|
|
|
кУх |
= |
Jxey |
Z"Z"y. |
|
|
|
(11) |
||||
dt |
|
|
|
|
J a |
QX] |
' У |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
z z |
|
|
|
|
||
dKv |
|
МУГ |
|
|
(4) |
|
Kz |
= Jzd>z |
= COllSt. |
|
|
|
|
||||
dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dKz |
= |
мц> |
|
|
|
Моменты внешних сил согласно системе уравнений |
|||||||||||
dt |
|
|
|
(4) по расчетной схеме, приведенной на рис. 1, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Кх , К , К — проекции вектора кинетического |
|
МХ] |
= С2У02Ь |
+ |
|
с]у0\а; |
|
|
(12) |
||||||||
|
МУ. = - С 2 Х 0 2 * - с , х 0 1 а , | |
|
|
||||||||||||||
момента относительно центра масс |
С на оси х\, |
у\, ц |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
соответственно. |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установим зависимости между Кх |
, К |
, Кг |
и про |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
екциями Кх, Ку, Кг вектора кинетического момента на |
У02 = Уос~ |
Ъ9V|; |
х02 |
= х0с+ |
bi |
У\ |
|
||||||||||
оси х, у, z, являющиеся главными центральными осями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Уо\=Уос~ |
aQx~, |
x0l =xoc+ |
al У\ |
|
|||||||||||||
ротора [4]: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
кх ~ Jx |
|
|
|
Из систем уравнений (2) и (4) с учетом систем (11) |
|||||||||||||
|
|
(5) |
и (12) получим систему дифференциальных уравнений |
||||||||||||||
Лу |
|
Jy(X)y, |
|
|
движения ротора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Kz = |
Jzaz- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
тхос |
+ схос |
+ г0у] |
= 0; |
|
|
|
|
|||||||
Тогда по теореме о проекции суммы векторов |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Кх = Kx(cos<$ cosy — sincp cos9 siny) — |
|
|
тУос |
+ |
Woe |
- |
rQXi |
= 0; |
|
|
|
(13) |
|||||
|
|
J*\ |
+ ^ И Л , |
~гУос+п\ |
|
=0; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> (6)
— Ay(sinq> siny — сощ cos0 cosy) — AjSinG cosy; К = Alsincp sinG + ATycos9 sin0 + AlcosG.
JxK. ~JzazK. +™OC+nQv, = 0 ,
где с = су + ci\ г — с\а + cjb; п — c-ib2 + c\cr.
Решение данной системы будет иметь вид:
Согласно кинематическим уравнениям Эйлера [4] |
|
|
|
хос |
= A cospt; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
юх |
= у |
sinG sin<p + |
6 cosy; |
|
|
|
|
вх |
= |
Csinpt; |
|
|
(14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ау |
= у |
sin9 cosy — 9 siny; У |
(7) |
|
|
|
Уос= |
Bsinpt; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
9„ |
= D cospt. |
|
|
|
||||||||
|
ю, = ф + у |
cos9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
У\ |
|
|
|
|
|
|||||
Рассматривая совместно системы уравнений (5), (6), |
Подставив уравнения (14) в систему уравнений (13), |
|||||||||||||||
получим систему однородных уравнений относительно |
||||||||||||||||
(7) и приняв во внимание осевую симметрию ротора и |
||||||||||||||||
пестоянных А, В, С, D: |
|
|
|
|
||||||||||||
незначительную величину угла нутации 9, получаем: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Кх |
— JX(Q cosy — yGsiny) + /^co^Gsiny; |
|
с-тр |
2 |
0 |
0 |
|
г |
|
А |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
К |
= JX(Q siny |
+ у Gcosy) — /,cozGcosy; У |
(8) |
0 |
|
с- тр |
-г |
0 |
, |
В _ |
0 .(15) |
|||||
К, |
• W |
|
|
|
|
|
0 |
|
-г |
n-Jxp |
-Jz<axp |
|
С |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n~^xP2 |
|
|
|
|||
При этом из третьего уравнения системы (3) с уче |
г |
|
0 |
-Jap |
|
|
D |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
том Mz = 0 следует: |
|
|
|
|
Приравнивая определитель системы уравнений (15) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ю, = у + у cosG = const. |
(9) |
к нулю, получим уравнение для определения частот |
|||||||||||||
|
собственных колебаний ротора: |
|
|
|
||||||||||||
Введем новые переменные: |
|
|
|
|
{с ~ тр)\(п |
- |
/хр2)2 - |
j \ v2zp2] |
- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
\)х |
— В cosy; |
Э„ |
= Gsmy. |
(Ю) |
|
- 2(с - |
тр2)г\п |
- Jxp2) |
+ И |
= 0. |
(16) |
||||
|
У\ |
|
|
ISSN 0042-4633. ВЕСТНИК МАШИНОСТРОЕНИЯ. 2007. № 3 |
35 |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что постоянная А есть начальное от |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
клонение центра масс ротора от оси подшипников ю |
||
|
|
(с - |
тр2)х |
= |
|
|
|
|
(17) |
при колебаниях, т. е. А = Rc (см. рис. 1), а постоянная |
||
|
|
|
|
п - Jxp + Jz<®zp |
|
|
D — начальное значение угла нутации, т. е. D = 0О. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что уравнения системы (26) могут быть |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получены |
из уравнений системы (25) заменой знака |
||
|
|
(с - тр2)2 |
= |
|
Г |
|
|
(18) |
значения pt, которое представляет собой угол поворота |
|||
|
|
n-Jxp |
|
~Jz(ozp |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости симметрии ротора относительно плоскости |
||||
Покажем, что выражение (17) соответствует прямой |
XQZQ, проходящей через ось ZQ подшипников. Знак ве |
|||||||||||
личины pt |
характеризует направление вращения плос |
|||||||||||
прецессии оси ротора вокруг оси подшипников, а вы |
||||||||||||
кости симметрии ротора, проходящей через его оси z и |
||||||||||||
ражение (18) — обратной прецессии. Для этого выпол |
||||||||||||
го неподвижной системы координат хоу0. |
||||||||||||
ним анализ форм колебаний ротора, для чего систему |
||||||||||||
уравнений (15) представим в виде |
|
|
При положительном значении угла поворота pt, при |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нятом в направлении против хода часовой стрелки (при |
||
0 |
|
0 |
|
г |
|
В |
-(с - тр )А |
|
взгляде со стороны положительного направления оси zo), |
|||
|
|
|
|
имеем прямое обращение наклоненной оси z ротора во |
||||||||
с - тр |
2 |
-г |
|
„ |
|
|
= |
|
• (19) |
|||
|
|
С |
0 |
круг оси го подшипников; при отрицательном значении |
||||||||
|
0 |
• |
||||||||||
-г |
п - Jxp |
-Jzaxp |
D |
|
0 |
|
угла pt — обратное обращение, т. е. по ходу часовой |
|||||
|
|
стрелки. |
|
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ |
структуры систем (25) и (26) показал, что |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (25) характеризуют прямую прецессию оси |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
п--~с |
-г |
2 |
|
|
|
ротора, а уравнения (26) — обратную, что отвечает урав |
|||
|
|
|
i- |
|
(20) |
нениям (17) и (18). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что начальное значение угла 0 (0Q) может |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть как положительным, так и отрицательным. Будем |
||
|
|
|
С = c |
- ^ |
Д; |
|
|
(21) |
считать 0Q положительным, если отклонение оси z от |
|||
|
|
|
|
|
носительно оси z\ таково, что проекция оси z на плос |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кость х\у\, |
т. е. z, направлена в сторону увеличения |
|
|
|
5 = |
JtaxP |
|
•А. |
|
(22) |
смещения RQ (рис. 2, а, в). В противном случае угол % |
||||
|
|
|
|
|
|
считаем отрицательным (рис. 2, б, г). |
с-тр 2 -(n-JxP )
В первом случае, учитывая выражение (17), из урав нений (20)—(22) имеем:
В = A; C=-D. |
(23) |
Во втором случае с учетом выражения (18) получим
Поэтому обратим внимание на то, что вращающий ся жесткий ротор с упругими опорными связями может иметь как при прямой, так и при обратной прецессии по две формы колебаний, каждой из которых соответ ствует своя собственная частота pt (/ — 1; 2; 3; 4).
В=-А; C=D. |
(24) |
УЦ |
1У\ |
|
Уо хос У\ |
|
|
|
|||
хос |
\|/ = у + pt |
|
|
3 |
, |
|
|
||||
Таким образом, движение ротора согласно системе |
|
|
|
|
|
||||||
к~^Г~у |
|
|
(с |
Ц1 ="ТЯ |
+ |
pt |
|||||
уравнений (14) в первом случае описывается |
уравне |
|
|
|
|
|
*1 |
||||
ниями |
|
|
•$£/ с о' |
*1 |
|
9Y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
хос |
= A cospt; |
|
/ \ p t |
о ' |
|
О |
б) |
|
|
хо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уос = A sm.pt; |
|
|
|
|
Уо. -ос | У1 |
|
|
|
|||
Qx |
= -Dsinpt; У |
(25) |
|
|
|
|
|
|
|||
0>)] |
= D cospt, |
|
|
|
|
|
|
Уос |
|
||
|
|
|
|
О |
|
г ' з „ |
|
|
х0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ЪV*Сш =уп + pt |
|
||||
во втором случае — уравнениями |
|
|
|
|
|
X] |
|||||
XQC = A cospt; |
|
|
|
|
|
Л |
г) |
|
|
|
|
Уос = -A sinp?; |
|
Рис. 2. К анализу форм колебаний жесткого ротора: |
|
|
|
||||||
вх |
= Dsinpt; |
(26) |
а) А = Rc = В, D = 90 |
= -С; б) А = Rc |
= В, С = 90 = -D; |
||||||
0 |
= D cospt. |
|
в) А = Rc=-B, |
C=Q0 = D;z)A = Rc=-B, |
C=-9 |
0 |
= D; CK- |
||||
|
линия узлов; Cz' — проекция оси z на плоскость х\у\; ц/ — угол |
||||||||||
|
|
|
прецессии |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
ISSN 0042-4633. ВЕСТНИК МАШИНОСТРОЕНИЯ. 2007. № 3 |
Для определения собственных частот колебаний |
|
K2/o^p4 = I(i |
|
|
|
||||||||
вернемся к уравнениям (17) и (18), которые соответст |
|
1 + С |
|
||||||||||
венно представим в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
uh—4V(1 + ^ , |
|
||||||||
p4(mJx |
— mJz&z/p) |
+ (cJza>z/p — пт — cJx)p2 + |
|
(33) |
|||||||||
|
|
+ en ~ г2 = 0; |
|
|
(27) |
|
|
гЛ1+ * / ( ! +С)]' |
|
||||
p4(mJx |
+ mJzaz/p) ~ (cJzaz/p |
+ пт + cJx)p2 + |
Формула (32) в развернутой форме совпадает с из |
||||||||||
|
|
en- |
r2 = 0. |
|
|
(28) |
вестной формулой для случая прямой прецессии [2]. |
||||||
Введем следующие обозначения: |
|
Пример определения критических скоростей враще |
|||||||||||
1=Ъ- |
а\ |
|
|
|
|
ния одноконсольного жесткого ротора. Исходные дан |
|||||||
|
|
|
|
ные (взяты |
из работы [3]): с- = 81,15* 10б |
Н/м; с2 = |
|||||||
fi2 = с/т; |
|
|
|
|
= 64,75-106 |
Н/м; |
/ = 42 мм; т = |
12,28 |
кг; Jx = |
||||
rx |
= JJml2; |
|
^ |
у |
(29) |
= 1289 кг • см2; Jx = 678 кг • см2. |
|
|
|
||||
Л = с{с2/сг = (с\/с2 + с2/сх |
+ 2) ]; |
|
Приняв а = 23 мм и b = 65 мм, находим значения па |
||||||||||
С = |
JJJx- |
|
|
|
|
раметров, входящих в уравнения (32) и (33), используя |
|||||||
Тогда из уравнений (27) и (28), учитывая, что сп— г2 = |
обозначения (29): |
|
|
|
|
||||||||
Q2 = 1,188 • 107 с - 2 |
(Q * 3447 с- 1 ); п = 3,165 • 105 Н • м; |
||||||||||||
c\Cjl2, находим: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
г,2/п2 |
|
|
|
|
Я, =3,130; |
л = 2,468-Ю-1; |
£=1,901; |
||||
|
(/>7^)l,2=5 1 + |
|
|
|
|
|
Х. = 3,929-Ю-1. |
|
|
||||
|
|
|
1 - CfuJp- |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4л/(1-;со/р) |
(30) |
По формулам (32) и (33) находим: |
|
|
||||||
|
.и^1 гх[1 + Я./(1-?тг//»)]'. |
(ra^/n2)lP2 |
= 2,820-10-41 + 1,4494); |
||||||||||
|
|
(coJ/Q2)3P4 = 5,67710_1(1 + 9,5691 • Ю-1).
U I - - |
4л/(1 + ^ш //•) |
(31) |
|
?г[1 + х/(1 + ; © г / л Г
где X = n/{Q Jx) — безразмерный параметр.
Формула (30) соответствует прямой прецессии оси ротора, а формула (31) — обратной. Они позволяют найти четыре значения частоты р свободных колебаний для каждого значения угловой скорости сог вращения ротора. При этом необходимо задавать отношение wz/p.
Расчет собственных частот р-, колебания может быть представлен в удобной графической форме. Каждому значению р{ соответствует определенная форма колеба ний, которая определяется выражениями (20)—(24). Во всех четырех случаях определенным образом наклонен ная ось z ротора совершает вращательное движение во круг оси го (см. рис. 1) с собственной частотой р,- коле баний, зависящей от угловой скорости сог вращения ро тора, образуя при этом коническую поверхность.
Возможные формы колебаний жесткого ротора на упругих опорах представлены на рис. 2, где расположе ние осей дано в проекции на плоскость л^уо ПРИ взгляде со стороны положительного направления оси ZQ-
Заметим, что в случае невращающегося ротора, т. е. при mz = 0, в соответствии с уравнениями (30), (31) имеем только два значения собственных частот колебаний.
Значения критических скоростей вращения ротора легко находим по формулам (30) и (32), полагая, что az/p - 1:
(co>2)f2 |
= |
1-е |
|
|
|
|
|
|
|
1* |
1 |
4 л / ( 1 - 0 |
(32) |
|
|
|
|||
|
~rJl + \/(l-Q]2 |
|
Тогда |
co^Pj |
— не существует; |
ю*р2 |
= 2864,6 с - 1 |
||||||
кр |
27 355 |
мин |
- 1lv |
|
кр |
539,1 |
с" |
1 |
(nf = |
|
(л2 = |
); |
|
|
|||||||
£1 |
J J J |
МПГ1 ) , |
Ш J |
|
|
|
|
|||
= 5148 мин- 1 ); и*р4 |
s 3633 с - 1 (nf |
= 34 692 мин- 1 ). |
Для сравнения найдем собственные частоты колеба ний невращающегося ротора, используя уравнение (30) или (31):
0>2Ai2)i,2 =6.9645 • 10-1(1 Т 9,15116- Ю-1).
Тогда ^i s 838 с- 1 ; р2 = 3981 с- 1 .
Моменты инерции распределенных масс ротора целе сообразно определять экспериментально, для чего удобно пользоваться сдвоенным бифилярным подвесом [6]. По ложение центра масс ротора также предпочтительно на ходить опытным путем, поскольку недостаточно точное задание значений параметров а и Ь, определяющих по ложение центра масс С относительно опор, может вне сти заметную погрешность в результаты анализа.
Поэтому изложенная в данной статье методика рас чета собственных частот колебаний одноконсольного жесткого ротора, т. е. ротора, у которого центр масс рас положен по одну сторону от обоих его подшипников, легко обобщается в случай расположения центра масс С ротора между двумя его подшипниками.
Сопоставление результатов [3] показало, что уравне ния (30) и (31), а следовательно, и (32) и (33) остаются справедливыми для недеформируемого двухопорного ротора при любом размещении центра масс С относи тельно подшипников. Различие состоит лишь в том, что параметр (расстояние между подшипниками) в случае, рассмотренном в работе [3], определяется как сумма па раметров а и Ь, т. е. / = а + Ь, а в данном случае 1= Ь — а, что равносильно изменению знака параметра а.
ISSN 0042-4633. ВЕСТНИК МАШИНОСТРОЕНИЯ. 2007. № 3 |
37 |
Ill* |
(Окончание статьи. Начало см. на стр. 33) |
Таким образом, полученные формулы учитывают все возможные варианты расположения центра масс жесткого двухопорного ротора относительно его под шипников. Их можно применять и для жестких валов, не несущих присоединенных дисков, т. е. для вращаю щихся цилиндров, при соблюдении определенных ог раничений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.
2.Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение (Ленинградское отделение), 1976.
С.182-183.
3.Загрядцкий В. И., Кобяков Е. Т., Степанов Ю. С. Торцо вые асинхронные электродвигатели и совмещенные электроме ханические агрегаты. М.: Машиностроение-1, 2003. 287 с.
4.Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1986. 416 с.
5.Вибрация энергетических машин. Справочное пособие / Под ред. Н. В. Григорьева. Л.: Машиностроение, 1974. 464 с.
6.Кобяков Е. Т., Квятковский О. И., Шуев И. С. Экспери ментальное определение осевых моментов инерции тел и пло ских сечений методом колебаний. Орел: ОФ МИП, 1992. 20 с.
38 |
ISSN 0042-4633. ВЕСТНИК МАШИНОСТРОЕНИЯ. 2007. № 3 |