Введение в квантовую теорию поля. Ч. 2 (90
.pdfУчебное издание
Михеев Николай Владимирович Нарынская Елена Николаевна
Введение в квантовую теорию поля
Часть 2
Методические указания
Редактор, корректор М. В. Никулина
Компьютерная верстка Е. Н. Нарынская
Подписано в печать 08.09.2011. Формат 60 × 84/16. Бумага тип. Усл. печ. л. 2,32. Уч.-изд. л. 3,0.
Тираж 50 экз. Заказ .
Оригинал-макет подготовлен редакционно-издательским отделом Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова. 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра теоретической физики
Н. В. Михеев, Е. Н. Нарынская
ВВЕДЕНИЕ
В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
Часть 2
Методические указания
Рекомендовано Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению Физика
Яpославль 2011
УДК 539.12; 537.8 ББК В 315я73
М69
Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010/2011 учебного года
Рецензент:
кафедра теоретической физики ЯрГУ им. П. Г. Демидова
M69 Михеев, Н. В. Введение в квантовую теорию поля. Ч. 2.: методические указания/ Н. В. Михеев, Е. Н. Нарынская; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Яpославль: ЯрГУ, 2011. 44 с.
Данное издание представляет собой вторую часть методических указаний, посвященных введению в квантовую теорию поля. В указаниях подробно излагается методика квантования векторного и спинорного полей, теория построения пропагаторов квантовых полей.
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010700.62 Физика (дисциплина ”Введение в квантовую теорию поля”, блок СД), очной формы обучения.
Библиогр.: 8 назв.
Работа выполнена в рамках реализации Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы (Госконтракт № П2323), при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по программе “Развитие научного потенциала высшей школы” (проект № 2.1.1/13011) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-02- 00394-a).
УДК 539.12; 537.8 ББК В 315я73
c Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2011
Оглавление |
|
|
1. |
Квантование векторного массивного поля . . . . . . . . . . . |
3 |
2. |
Квантование спинорного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
3. |
Пропагаторы квантовых полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
43
Правая часть выражения (3.28) преобразуется к виду:
A Sp{(p γ) + m} = A m Sp I = 4mA. |
(3.30) |
Приравнивая результаты (3.29) и (3.30), находим коэффициент A:
A = 1.
Таким образом, матрица плотности спинорного поля, просуммированная по поляризациям, имеем вид:
|
(3.31) |
u(λ)(p) u¯(λ)(p) = (p γ) + m. |
λ
Матрицу плотности для фермионов (3.31) можно получить и непосредственными прямыми вычислениями. Для этого подставим в определение (3.25) явный вид биспинорных амплитуд (2.24) и, учитывая,
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¯(λ)(p) = (√ |
|
|
ϕλ +, −λ √ |
|
|
ϕλ +), |
|
|||||||||
E + m |
E − m |
|
||||||||||||||
получаем |
λ |
√E2 |
|
m2 ϕλ ϕλ + |
− |
(E m) ϕλ ϕλ + |
. |
|||||||||
ρμν (p) = |
|
|||||||||||||||
|
|
(E + m) ϕλ ϕλ + |
λ √ |
E2 |
− m2 |
ϕλ ϕλ + |
|
|||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
||
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание, что спинор ϕλ является собственной функцией оператора спиральности и удовлетворяет уравнению (2.47), а значит, имеет место равенство
λ |p| ϕλ = (σ · p ) ϕλ,
матрица плотности преобразуется к виду: |
|
m) ϕλ ϕλ + . |
|
||
ρμν (p) = |
(σ p ) ϕλ ϕλ + |
( E |
· |
(3.32) |
|
|
(E + m) ϕλ ϕλ + |
−(σ |
p ) ϕλ ϕλ + |
|
|
· |
− |
− |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
Учитывая, что
ϕλ ϕλ + = I,
λ
выражение (3.32) может быть записано в терминах матриц Дирака γμ:
ρμν (p) = mI + E γ0 − (γ · p ) = m + (p γ). |
(3.33) |
Каждое из полей A1μ и A2μ описывается лагранжианом (1.7), а лагранжиан комплексного поля Wμ строится как сумма лагранжиа-
нов: |
|
|
|
|
|
L(W ) = |
L(A1) + L(A2) = |
m2 |
(1.12) |
||
= |
− |
1 |
Fμν (A1) Fμν (A1) + |
A1μ A1μ − |
|
|
|
||||
4 |
2 |
||||
|
− |
1 |
Fμν (A2) Fμν (A2) + |
m2 |
A2μ A2μ. |
|
4 |
2 |
Если учесть, что поля |
|
1μ и |
|
2μ выражаются через поля |
|
μ и |
μ |
|||||
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
W |
|
W |
cледующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(Wμ + Wμ ), |
|
|
|
|||
A1μ |
= √ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
= |
−i |
(W |
μ − |
W ), |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2μ |
|
√2 |
μ |
|
|
|
то лагранжиан (1.12) может быть записан в терминах комплексного
поля Wμ: |
1 |
|
L = − |
|
|
2 Fμν (W ) Fμν (W ) + m2 Wμ Wμ, |
(1.13) |
где комплексный тензор поля определён как
Fμν (W ) = ∂μ Wν − ∂ν Wμ .
В качестве независимых полевых переменных можно выбрать либо два вещественных поля A1μ и A2μ, либо одно комплексное поле Wμ.
При этом варьирование функции Лагранжа (1.13) по |
μ |
μ |
ν |
и |
||
|
|
|
W (∂ |
W ) |
|
|
Wμ (∂μWν ) приводит к уравнениям на поля Wμ и Wμ соответственно: |
||||||
∂μ Fμν + m2 Wν |
= |
0, |
|
|
(1.14) |
|
∂μ Fμν + m2 Wν |
= |
0. |
|
|
(1.15) |
Далее подробно рассмотрим уравнение (1.14) для векторного поля Wν . Дифференцируя это уравнение по 4-координате, получим, что
поле Wν удовлетворяет условию |
|
∂μWμ = 0, |
(1.16) |
с учётом которого уравнение (1.14) может быть записано в форме уравнения Клейна–Гордона
(∂μ2 + m2) Wν = 0. |
(1.17) |
40 |
5 |
Уравнение (1.17) является однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, его одночастичное решение может быть представлено в виде плоской волны де-Бройля
Wμ(x, p) = N εμ e−i(px). |
(1.18) |
Здесь N – нормировочный коэффициент, pμ – 4-импульс части-
цы, pμ = (E, p ), E = p 2 + m2, εμ – не зависящий от координат 4- вектор поляризации, который в общем случае может быть комплексным. Здесь и в дальнейшем у 4-векторов, стоящих внутри круглых скобок, тензорные индексы полагаются свёрнутыми последовательно, например: (px) = pμ xμ.
Подставляя в (1.16) функцию Wμ в виде (1.18), получаем условие,
которому удовлетворяет 4-вектор поляризации εμ: |
|
|
|||
|
|
|
(p ε) = 0. |
|
(1.19) |
|
|
Это равенство в системе покоя частицы, в которой A |
μ |
|
|
p |
|
|
= (A0, A), |
||
|
= (m, 0), принимает вид: |
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
m A0 = 0 |
→ A0 = 0. |
|
|
|
|
Таким образом, в системе покоя 4-вектор поляризации сводится к |
|||
3-мерному вектору |
|
|
(1.20) |
||
|
|
εμ = (0, ε ). |
|
В силу того, что мы уже выделили нормировочный коэффициент N в решении (1.18), не нарушая общности, можно считать, что вектор поляризации ε является единичным, то есть
| ε |= 1, |
(ε · ε ) = 1. |
(1.21) |
В общем случае существует три произвольных вектора ε, что соответствует трём дополнительным степеням свободы, в качестве которых выступает спин частицы в системе её покоя. Так как число степеней свободы определяется соотношением 2S + 1, где S – спин, то из наличия трёх степеней свободы находим, что спин в нашем случае равен единице:
2S + 1 = 3 → S = 1,
что и должны были получить.
Таким образом, векторное поле реализует присоединённое представление группы вращений, генераторами которой являются операторы
или с учетом свойства (1.41) |
|
0 = A p2 + B p4. |
(3.23) |
Решая совместно уравнения (3.22) и (3.23), находим коэффициенты
1
A = −1, B = p2
и выписываем матрицу плотности векторного поля в форме:
ρ(p)μ ν = −gμ ν + |
pμ pν |
. |
(3.24) |
m2 |
Подобным способом можно построить и матрицу плотности спинорного поля, которая определяется через биспинорные амплитуды u(p):
ρμν (p) = u(λ)(p) u¯(λ)(p). |
(3.25) |
λ |
|
Так как эта матрица также зависит только от 4-импульса частицы, ее можно представить в виде:
u(λ)(p) u¯(λ)(p) = A (p γ) + B I. |
(3.26) |
λ |
|
Домножим это равенство слева на ((p γ) − m) и, учитывая, что биспинорная амплитуда u(p) удовлетворяет уравнению Дирака (2.10), имеем
0 = ((p γ) − m) A (p γ) + ((p γ) − m) B I = ((p γ) − m) (B − m A).
Поскольку ((p γ) − m) = 0, получаем коэффициент B в виде:
B = m A. |
(3.27) |
Для определения коэффициента A вычислим след от правой и левой частей равенства (3.26)
Sp |
u(λ)(p) u¯(λ)(p) = A Sp{(p γ) + m}, |
(3.28) |
|
λ |
|
где учтена связь коэффициентов A и B (3.27).
Вычисление следа от левой части этого выражения приводит к следующему результату:
|
u(λ)(p) u¯(λ)(p) = |
|
(3.29) |
Sp |
u¯(λ)(p) u(λ)(p) = 4m. |
||
λ |
|
λ |
|
6 |
39 |
Imp0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 = −E |
p0 = |
|
+E |
Rep0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. Замыкание контура интегрирования при τ > 0
Легко увидеть, что результат (3.16) соответствует выражению (3.12), а результат (3.17) – выражению (3.14). Это позволяет объединить выражения для разных соотношений между x0 и y0 в одно и записать его в виде:
|
|
|
i |
C |
dp0 d3p |
ρ(p) e−ip0 (x0−y0) eip (x−y ). |
|
|
Φ(x)Φ(¯ y) = |
(3.18) |
|||||||
(2π)4 |
p2 − m2 |
Выражение (3.18) имеет вид 4-кратного интеграла по объему 4- импульсного пространства, однако интегрирование по p0 проводится по контуру C в комплексной плоскости переменной p0. Оказывается, можно “положить” этот контур на вещественную ось. Действительно, добавив к знаменателю в (3.18) бесконечно малую мнимую величину iε, замечаем, что полюса сдвигаются с вещественной оси (см. рис. 4). Правило смещения этих полюсов найдем, решая уравнение:
p2 − m2 + iε = 0
или
p20 − p 2 − m2 + iε = 0.
квантования векторного поля аналогична процедуре, проводимой при квантовании скалярного поля, и векторное поле также является оператором:
Wˆ μ(x) = p,λ |
√2EV |
aˆp,λ εμ(λ) e−i(px) + ˆbp,λ+ εμ(λ) ei(px) , |
(1.33) |
|
|
|
1 |
|
|
ˆ+ |
– операторы уничтожения и рождения массивной век- |
|||
где aˆp,λ и bp,λ |
торной частицы с импульсом p и поляризацией λ соответственно, подчиняющиеся следующим коммутационным условиям
+ |
ˆ |
ˆ+ |
] = δp, |
δλ,λ . |
[ˆap,λ, aˆp ,λ |
] = [bp,λ |
, bp ,λ |
Все остальные возможные коммутаторы этих операторов равны нулю.
Упражнения к главе ”Квантование векторного массивного поля“
Упражнение № 1.1 Найти три собственных вектора оператора проекции спина на произвольное направление.
Решение.
Для нахождения собственных векторов оператора проекции спина на произвольное направление в пространстве, определяемое векторомn = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ), необходимо решить уравнение:
|
(λ) |
= λ ε |
(λ) |
, |
(1.34) |
(S · n) ε |
|
|
где ε (λ) = (ε(1λ), ε(2λ), ε(3λ)) – три собственных вектора, соответствующих трём собственным значениям λ.
Подставляя в (1.34) явный вид оператора спина (1.22) и вектора n, получаем матричное уравнение:
|
i cos θ |
− |
0 |
−i cos ϕ sin θ |
ε2(λ) |
= λ |
ε2(λ) |
. (1.35) |
||
|
0 |
|
i cos θ |
i sin ϕ sin θ |
|
ε1(λ) |
|
|
ε1(λ) |
|
|
−i sin ϕ sin θ |
i cos ϕ sin θ |
0 |
ε3(λ) |
ε3(λ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из (1.35), полученная система уравнений на координаты векторов ε (λ) является линейной и однородной, следовательно, отличное от нуля ее решение будет существовать только при условии
36 |
9 |
равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при координатах ε1(λ), ε2(λ), ε3(λ) векторов поляризации:
det |
|
i cos θ |
− −λ |
−i cos ϕ sin θ |
= 0. (1.36) |
|
|
|
−λ |
i cos θ |
i sin ϕ sin θ |
|
|
|
−i sin ϕ sin θ |
i cos ϕ sin θ |
−λ |
|
Раскрывая этот определитель и приравнивая его к нулю, находим, что параметр λ может принимать только три значения
λ = 0, ±1.
Для того чтобы построить векторы, соответствующие этим значениям параметра λ, необходимо вернуться к системе (1.35) и найти её решение при конкретных значениях λ.
Найдём вектор поляризации, соответствующий λ = 0. Для этого в системе (1.35) положим λ = 0 и далее будем опускать индекс λ у компонент вектора поляризации. Получаем систему уравнений
−i cos θ ε2 + i sin ϕ sin θε3 = 0,
i cos θ ε1 − i cos ϕ sin θ ε3 = 0,
−i sin ϕ sin θε1 + i cos ϕ sin θε2 = 0.
Решая эту систему, находим вектор поляризации в виде
ε (λ=0) = |
coscos θ |
ε3, |
cos θ |
ε3, ε3 . |
|
|
|
ϕ sin θ |
sin ϕ sin θ |
Используя условие нормировки (1.26),
ε ε3
(ε (λ=0) · ε (λ=0)) = 3 2 (cos2 ϕ sin2 θ + sin2 ϕ sin2 θ + cos2 θ) = 1, cos θ
находим третью компоненту вектора поляризации
ε3 = cos θ.
Окончательно вектор поляризации, соответствующий λ = 0, может быть записан в форме:
ε (λ=0) = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) . |
(1.37) |
Таким образом, вектор поляризации, соответствующий проекции спина на направление вектора n, совпадает с этим вектором n.
Imp0 |
|
|
|
|
C |
p0 = −E |
p0 = +E |
Rep0 |
Рис. 1. Контур интегрирования C в комплексной плоскости переменной p0
где интегрирование проводится по некоторой кривой C (рис. 1).
Как видно из (3.15), подынтегральная функция имеет два полюса
в точках p0 = |
p 2 + m2 = E и p0 = − |
p 2 + m2 = −E. Вычисле- |
ние интеграла |
(3.15) удобнее свести к интегрированию по замкнутому |
|
|
|
контуру, в этом случае интеграл легко вычисляется с помощью вычетов по теореме Коши. Однако замкнуть контур можно только в том случае, если при этом к уже имеющемуся интегралу (3.15) добавится слагаемое, равное нулю. Поэтому при τ > 0 замыкаем контур через нижнюю полуплоскость (рис. 2). В этом случае мнимая часть переменной p0 отрицательная, Im p0 < 0, и экспонента под интегралом будет убывающей:
e−i p0 τ = e−i Rep0 τ e−i i Imp0 τ = e−i Rep0 τ eImp0 τ .
При этом в область интегрирования попадает только один полюс в точке p0 = E, который обходим по часовой стрелке, и интеграл легко вычисляется
|
e−iEτ |
(3.16) |
I = |
2E ρ(p)|p0=E |
При τ < 0 замыкаем контур в верхней полуплоскости (рис. 3), когда мнимая часть переменной p0 положительная, Im p0 > 0, и экспонента опять будет убывающей. В этом случае вклад в интеграл даёт полюс в точке p0 = −E, и интеграл также легко вычисляется
|
eiEτ |
(3.17) |
I = |
2E ρ(p)|p0=−E . |
10 |
35 |
Для того чтобы получить общее выражение для пропагатора любого типа поля, представим произвольное квантовое поле в виде
Φ(x) = p, λ |
√2EV |
aˆp,λ f (λ)(p) e−i(px) + ˆbp,λ+ f (λ)(−p) ei(px) . (3.4) |
|
1 |
|
Здесь f (λ)(p) – спиновая амплитуда в импульсном представлении,
ˆ+ |
– операторы уничтожения и рождения частицы |
операторы aˆp,λ и bp,λ |
с импульсом p и поляризацией λ, подчиняющиеся перестановочным соотношениям:
aˆp,λ aˆp+,λ |
aˆp+,λ aˆp,λ = δp, δλ, λ , |
(3.5) |
||||
ˆ |
ˆ+ |
|
ˆ+ |
ˆ |
δλ, λ . |
|
bp,λ bp ,λ |
bp |
,λ bp,λ = δp, |
|
Здесь выписаны только перестановочные соотношения с отличной от нуля правой частью. В выражении (3.5) знак “−” соответствует частицам с целым спином (бозонам), а знак “+” – частицам с полуцелым спином (фермионам).
Амплитуда f (λ)(p) для скалярного поля (спин = 0) равна 1, для комплексного векторного поля (спин = 1) роль этой амплитуды играет вектор поляризации ε(μλ), определяемый выражением (1.27), а для спинорного поля (спин = 1/2) в качестве амплитуды f (λ)(p) выступает биспинорная амплитуда u(λ)(p) (2.24).
Для вычисления пропагатора квантового поля нам потребуется сопряженное полевое решение, которое получается из решения (3.4) и может быть представлено в форме
Φ(¯ y) = p , λ |
√2E V |
aˆp ,λ f¯ (p ) e |
+ ˆbp ,λ f¯(λ )(−p ) e−i(p y) . (3.6) |
|
1 |
+ (λ ) |
i(p y) |
Здесь ¯ означает сопряжение по Эрмиту для бозонного поля и со-
Φ
пряжение по Дираку для фермионного поля.
Найдем сначала выражение для свертки двух полевых операторов, предполагая, что x0 > y0. Подставляя в определение (3.3) явный вид
Упражнение № 1.3 Найти нормировочный коэффициент в решении (1.18).
Решение.
Для того чтобы найти коэффициент нормировки, необходимо найти энергию поля, соответствующую решению (1.18). Энергия поля в общем случае определяется через компоненту T 00 тензора энергииимпульса и вычисляется по формуле (1.31). Компонента T 00 в случае комплексного векторного поля Wμ выражается через это поле следующим образом
T 00 = |
δL |
∂0 Wν + |
δL |
∂0 Wν − L, |
(1.42) |
δ ∂0 Wν |
δ ∂0 Wν |
где L – функция Лагранжа, определяемая выражением (1.13). Нетрудно показать, что функция Лагранжа (1.13) при подстановке
в нее решения уравнения движения в форме (1.18) обращается в нуль. Действительно, найдем выражение для тензора поля Fμν , используя (1.18):
Fμν = ∂μ Wν − ∂ν Wμ = −i N (pμ εν(λ) − pν εμ(λ)) e−i(px). |
(1.43) |
Аналогично для комплексно-сопряженного тензора: |
|
Fμν = ∂μ Wν − ∂ν Wμ = i N (pμ εν(λ) − pν εμ(λ)) ei(px). |
(1.44) |
Произведение тензоров Fμν и Fμν даёт |
|
Fμν Fμν = N 2 (pμ pμ εν(λ) εν(λ) − pν pμ εμ(λ) εν(λ) − |
|
− pμ pν εν(λ) εμ(λ) + pν pν εμ(λ) εμ(λ)), |
|
откуда, учитывая, что (p ε(λ)) = 0 и (ε(λ) ε (λ)) = −1, получаем |
|
Fμν Fμν = −2 N 2 m2. |
(1.45) |
Массовое слагаемое в лагранжиане (1.13) при подстановке в него
решения (1.18) сводится к выражению: |
|
m2 Wμ Wμ = m2 N 2 εμ(λ) εμ(λ) = −m2 N 2. |
(1.46) |
Подставляя результаты (1.45) и (1.46) в функцию лагранжа (1.13), получаем ноль
L = −12 (−2N 2 m2) − m2 N 2 = 0,
32 |
13 |
что и требовалось доказать.
Таким образом, для нахождения энергии векторного поля необходимо вычислить только два первых слагаемых в выражении (1.42). Учитывая, что
δL |
= −F0ν , |
δL |
= −F0ν , |
δ ∂0 Wν |
δ ∂0 Wν |
и используя результаты (1.43) и (1.44) при μ = 0, для компоненты T 00 получаем
T00 = −F0ν ∂0 Wν − F0ν ∂0 Wν
=−N 2 E {E εν(λ) − pν ε0(λ)} ε(νλ)
= |
(1.47) |
+ {E ε(νλ) − pν ε(0λ)} εν(λ) =
= 2 N 2 E2.
Подставляя результат (1.47) в (1.31), легко вычисляем энергию век-
торного поля:
E = 2 N 2 E2 dV = 2 N 2 E2 V. |
(1.48) |
Из требования, чтобы эта энергия равнялось E, находим искомый коэффициент нормировки
N = √ 1 . 2EV
2.Квантование спинорного поля
Вэтой главе мы рассмотрим квантование спинорного поля (поля Дирака) – поля со спином S = 1/2.
Напомним, что если поле подчиняется уравнению Клэйна–Гордона– Фока
(∂μ2 + m2) ψ = 0, |
(2.1) |
то ток вероятности, построенный на решении этого уравнения, имеет
вид
←→ jμ = i (ψ ∂μ ψ).
Нулевая компонента такого тока имеет вид
j0 = i (ψ |
˙ ˙ |
|
ψ) |
ψ − ψ |
|
(2.29), получаем окончательное выражение для энергии спинорного
поля в виде: |
|
|
|
|
ap,λ |
||
E = |
E |
ap,λ − a−p,λa−p,λ . |
|
p, λ |
|
|
|
3. Пропагаторы квантовых полей
При работе с квантовыми полями приходится иметь дело с упорядоченными произведениями операторов. Существует два типа таких произведений: хронологическое и нормальное.
Хронологическое произведение операторов – произведение, в котором операторы расположены так, что временные компоненты их аргу-
ментов убывают слева направо: |
|
|
|
T (Fˆ(x) Φ(ˆ y)) = |
ˆ ˆ |
при x0 > y0, |
|
F (x) Φ(y), |
(3.1) |
||
±Φ(ˆ y) Fˆ(x), при x0 < y0. |
Здесь xμ = (x0, x) и yμ = (y0, y) – 4-координаты, а знаки “+” и “−” относятся к бозонным и фермионным полям соответственно.
Нормальным произведением операторов называется произведение, в котором все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения:
+ ˆ |
+ ˆ |
|
|||
N (ˆa |
|
b) = aˆ |
|
b, |
(3.2) |
ˆ |
+ |
) = ±aˆ |
+ ˆ |
||
N (b aˆ |
|
b, |
|
где верхний знак “+” соответствует бозонам, а нижний знак “−” – фермионам. Отличительное свойство нормального произведения – равенство нулю вакуумного среднего от любого неравного нулю числа операторов, записанных в виде N -произведения
<0| N (· · · ) |0 >= 0.
Вдальнейшем при вычислении матричных элементов физических процессов возникает необходимость в вычислении свертки операторов двух полей, определенной через T и N произведения и называемой пропагатором квантового поля
|
|
|
(3.3) |
ϕ(x)ϕ¯(y) = T (ϕ(x) ϕ¯(y)) − N (ϕ(x) ϕ¯(y)). |
14 |
31 |
ный вид матриц Σi, αi, β. Для первого коммутатора получаем
σi |
O |
O |
[Σi, αj ] = |
σi |
σj |
O |
||
= σi σj − σj σi |
||
|
O |
|
= 2 i ijk |
σk |
O |
|
O |
σk |
O |
− |
σj |
O |
O σi |
σj |
|
O |
σj |
σi O |
σi σj − σj σi |
= |
O |
O |
|
[σi, σj ] |
|
|
|
= 2 i ijk αk.
=
iO j |
|
= |
[σ , σ |
] |
|
Очевидно, что второй коммутатор в выражении (2.46) равен нулю:
[Σi, β] = O σi |
O −I − |
O −I |
O σi |
|
= 0. |
||||
σi |
O |
|
I O |
I |
O |
σi O |
|
|
|
Таким образом, исходный коммутатор равен |
|
|
|||||||
ˆ |
1 |
|
pi pj [Σi, αj ] = |
1 |
|
pi pj |
|
|
|
[Sn, H] = |
2|p | |
2|p | |
2 i ijk αk = 0. |
|
Упражнение № 2.2 Найти собственные значения и собственные функции оператора (σ ·n), где n – вектор, определяющий направление движения частицы.
Решение.
Собственные функции и значения оператора (σ · n) определяются из уравнения
(σ · n) ϕ = λ ϕ, |
(2.47) |
где σi – матрицы Паули, n = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) – единичный вектор в направлении движения частицы.
Подставляя в (2.47) явный вид матриц Паули и вектора n, получаем матричное уравнение:
sin θ (cos ϕ + i sin ϕ) |
|
−− cos θ |
ϕ2 |
= λ |
ϕ2 |
, |
|
cos θ |
sin θ ( |
i sin ϕ + cos ϕ) |
ϕ1 |
|
ϕ1 |
|
|
или в виде системы уравнений: |
|
2= 0. |
|
|
|
||
sin θ e−i ϕ ϕ1 −1 |
(cos θ + λ) ϕ2 |
|
(2.48) |
||||
(cos θ λ) ϕ |
+ sin θ e−i ϕ ϕ |
= 0 |
|
|
|
Уравнение движения (2.7) – это уравнение Дирака в ковариантной форме. Оно может быть получено путём варьирования функции Лагранжа спинорного поля
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||
|
L = ψ ((pˆγ) − m) ψ |
|
|||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по полю ψ: |
|
|
δL |
|
∂L |
|
|
|
|||
|
∂μ |
|
− |
= 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
δ ∂μ ψ¯ |
∂ψ¯ |
|
|
|||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
+ |
γ0. |
Здесь ψ |
– функция, сопряженная по Дираку, ψ = ψ |
|
|||||||||
Варьирование функции Лагранжа (2.8) по полевой переменной ψ |
|||||||||||
|
∂μ |
δL |
− |
∂L |
= 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
δ ∂μ ψ |
∂ψ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
||
приводит к уравнению на функцию ψ |
|
|
|
||||||||
|
¯ |
|
|
|
− m) = 0. |
|
|
||||
|
ψ ((pˆγ) |
|
|
Здесь понимается, что оператор импульса действует на функцию ¯,
ψ
стоящую слева от него, по правилу:
¯ |
¯ |
|
ψ pˆμ = −i∂μ ψ. |
|
|
Решение уравнения (2.7) будем искать в виде плоских волн |
|
|
ψ(x, p) = N u(p) e−i(px). |
(2.9) |
Здесь N – нормировочный коэффициент, u(p) – биспинорная амплитуда, удовлетворяющая уравнению
((p γ) − m) u(p) = 0. |
(2.10) |
Будем искать функцию u(p) в виде:
u(p) = A |
χ |
, |
|
ϕ |
|
где ϕ и χ – спиноры, в общем случае зависящие от 4-импульса частицы:
ϕ = |
ϕ2 |
, χ = |
χ2 |
. |
|
ϕ1 |
|
χ1 |
|
28 |
17 |
Для того чтобы найти явный вид биспинорной амплитуды, подставляем волновую функцию (2.9) в уравнение (2.7) и получаем матричное уравнение
|
(σ · p ) |
−(E + m) I |
χ |
|
|
(E − m) I |
−(σ · p ) |
ϕ |
= 0. |
Или в виде системы уравнений на спиноры ϕ и χ:
(E − m) ϕ − (σ · p ) χ = 0
(2.11)
(σ · p ) ϕ − (E + m) χ = 0.
Эта система уравнений линейная и однородная, следовательно, нетривиальное решение системы существует только при условии равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при переменных
ϕ, χ:
|
(σ−· p ) |
−(E + m) I |
|
det |
(E m) I |
−(σ · p ) |
= 0. |
Раскрывая определитель и приравнивая его к нулю, получаем, что уравнение Дирака имеет решение при условии
E = ± p 2 + m2. (2.12)
Из равенства нулю определителя следует также, что уравнения в системе (2.11) линейно зависимые, а значит, одно из них можно исключить. Выражая из второго уравнения функцию χ, имеем
χ(p) = (σ · p ) ϕ(p).
(E + m)
Таким образом, в общем случае биспинорная амплитуда может быть записана в форме
(E+· m) |
ϕ(p) |
|
|
|
ϕ(p) |
(2.13) |
|
u(p) = A (σ p ) |
. |
||
|
|
|
|
Коэффициент A в решении (2.13) определяется из условия нормировки. Отметим, что можно использовать разные условия нормировки, мы будем использовать ковариантное условие:
u+(p) u(p) = 2E. |
(2.14) |
При этом произведение |
|
u¯(p) u(p) = 2m |
(2.15) |
Оператор энергии спинорного поля в терминах операторов aˆp,λ и
ˆp,λ преобразуется к виду: b
ˆ |
|
+ |
ˆ+ ˆ |
(2.44) |
E = |
p, λ |
E(p) (ˆap,λ aˆp,λ + bp,λ bp,λ − 1). |
||
|
|
|
|
Действие этого оператора на вакуум даёт энергию основного состо-
яния |
E)|0 > . |
Eˆ |0 >= (−2 |
p
Таким образом, вакуумная энергия бесконечная и отрицательная, в отличие от скалярного поля, где она была также бесконечной, но положительной.
Упражнения к главе ”Квантование спинорного поля“ Упражнение № 2.1 Вычислить коммутатор оператора спираль-
ности ˆ и оператора Гамильтона ˆ .
Sn H
Решение.
Для вычисления коммутатора используем явный вид оператора спиральности и оператора Гамильтона в импульсном представлении, где
ˆ |
является просто вектором p, |
|
|||
оператор импульса p |
|
||||
ˆ |
|
1 |
|
|
(2.45) |
Sn |
= |
2 |
(Σ · n), H = α |
· p + β m. |
Здесь вектор n = p/|p | – единичный вектор в направлении движения частицы.
Подставляя (2.45) в коммутатор, получаем
ˆ |
1 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
[Sn, H] = |
2|p | |
[Σ · p, α |
· p ] + |
2|p | |
[Σ · p, β] = |
|
|||
= |
1 |
|
pi pj [Σi, αj ] + |
|
m |
pi [Σi, β]. |
(2.46) |
||
2|p | |
|
2|p | |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим выделившиеся коммутаторы отдельно, используя яв-
18 |
27 |