Введение в математический анализ. Производная и ее приложения (110
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики
Введение в математический анализ. Производная и ее приложения
Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе 2
Волгоград 2011
Составили Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, А.П. Поздняков, И.П. Руденок
УДК 517(076.5)
Введение в математический анализ. Производная и ее приложения : методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе 2 [Электрон. ресурс]. Электронные текстовые и графические данные (273 кБ) / сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина и др. // Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет : официальный сайт. Волгоград : ВолгГАСУ, 2011. 19 c. Систем. требования: программное обеспе-
чение Adobe Reader 6.0. Режим доступа: http:// www.vgasu.ru/publishing/on-line/
№ гос. регистрации 0321100742
Содержатся краткие теоретические сведения, решения типовых примеров, индивидуальные задания.
Для студентов сокращенной формы обучения института дистанционного обучения всех специальностей техники и технологии по дисциплине «Математика».
План выпуска учеб.-метод. документ. 2011 г., поз. 26
Начальник РИО О.Е. Горячева Зав. редакцией М.Л. Песчаная
Редактор О.А. Шипунова
Компьютерная правка и верстка О.В. Горячева
Подписано в свет 10.03.11. Гарнитура Таймс. Уч.-изд. л. 0,6. Объем данных 273 кБ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» Редакционно-издательский отдел
400074, Волгоград, ул. Академическая, 1
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ |
4 |
1.1. Предел функции |
4 |
1.1.1. Основные определения |
4 |
1.1.2. Основные теоремы о пределах функций (правила вычисления пределов) |
5 |
1.2. Производная |
8 |
1.2.1. Понятие производной |
8 |
1.2.2. Производные основных элементарных функций |
8 |
1.2.3. Правила вычисления производных |
9 |
1.2.4. Производная сложной функции |
10 |
1.2.5. Производная неявной функции |
11 |
1.3. Исследование функции с помощью производной |
11 |
1.3.1. Возрастание и убывание функций |
11 |
1.3.2. Экстремумы функций |
11 |
1.3.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба |
12 |
2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ |
14 |
Список рекомендуемой литературы |
19 |
3
1.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ИРЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1.1.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1.1.1. Основные определения
Пусть y = f (x) — функция непрерывного аргумента х, и пусть х неогра-
ниченно приближается к х0. При этом говорят, что х стремится к х0, и пишут
х→ х0 .
Если х неограниченно возрастает, то говорят, что х стремится к положительной бесконечности, и пишут х → +∞. Если х неограниченно убывает, то говорят, что х стремится к отрицательной бесконечности и пишут х → −∞. Аргумент функции, изменяющийся таким образом, называют бесконечно большим.
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х0,
исключая, быть может, эту точку.
Число А называется пределом функции f (x) при х→ х0 , если для всех
значений х, достаточно мало отличающихся от числа х0, значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Коротко это записывают так:
lim f (x) = A.
x→x0
Если аргумент функции y = f (x) бесконечно большой, то пишут
lim f (x) = A
x→+∞
или
lim f (x) = A .
x→−∞
Функция f (x) называется бесконечно большой величиной при х→ х0 , ес-
ли она неограниченно возрастает по абсолютной величине при х→ х0 . При
этом пишут
lim f (x) = ∞.
x→x0
Если бесконечно большая функция y = f (x) при х→ х0 принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут соответственно
lim f (x) = +∞
x→x0
или
lim f (x) = −∞.
x→x0
Функция f (x) называется бесконечно малой величиной при х→ х0 , если
lim f (x) =0 .
x→x0
4
1.1.2. Основные теоремы о пределах функций (правила вычисления пределов)
Теорема 1. Предел постоянной величины равен этой величине: |
||||
|
|
lim С =С. |
(1) |
|
|
|
x→x0 |
|
|
Теорема 2. Если при х→ х0 функция f (x) |
бесконечно большая величи- |
|||
на, то |
1 |
— бесконечно малая величина; если ϕ(x) — бесконечно малая |
||
f (x) |
||||
|
|
|
величина, не обращающаяся в нуль в некоторой окрестности точки х0, то
1 |
— бесконечно большая величина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Символически это можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
если lim f (x) =∞, то lim |
|
1 |
|
= 0; если |
lim ϕ(x) =0 , то |
lim |
1 |
|
=∞. |
||||||||||||
|
f (x) |
ϕ(x) |
|||||||||||||||||||
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|||||||||
|
Теорема 3. |
Пусть |
|
существуют |
конечные пределы |
lim |
f (x) = A |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
x→x0 |
|
||
и lim ϕ(x) = В, |
тогда функции |
|
f (x) ±ϕ(х), |
f (x)ϕ(х), |
|
также имеют |
|||||||||||||||
ϕ(х) |
|||||||||||||||||||||
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пределы и справедливы формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim ( f (x) ±ϕ(х))= lim |
f (x) ± lim ϕ(х) = A ± B; |
(2) |
||||||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( |
f (x)ϕ(х))= lim |
f (x) lim ϕ(х) = AB; |
|
|
(3) |
|||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
lim Cf (x) =C lim |
f (x); |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
x |
→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
lim f (x) |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim |
= |
x→x0 |
|
|
= |
(если В≠0). |
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
lim ϕ( |
х) |
В |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
ϕ(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Формулы (2) и (3) справедливы для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций.
Теорема 4. Если k — любое натуральное число, то
lim ( f (x)) |
k |
|
|
k |
|
(6) |
||
|
= lim |
f (x) . |
|
|||||
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
Теорема 5 (первый замечательный предел). Функция |
sin x |
при х → 0 |
||||||
x |
||||||||
имеет предел, равный 1: |
|
|
|
|
|
|
||
sin x |
|
|
|
|
||||
lim |
=1. |
|
|
(7) |
||||
|
|
|
||||||
x→0 |
х |
|
|
|
|
|
5
Справедливы также формулы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim tg x |
=1; lim arctg x =1; lim |
arcsin x |
=1. |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→0 х |
|
|
|
|
x→0 |
|
х |
x→0 |
х |
|
|||
П р и м е р 1. Вычислить lim |
(3x2 −2x +7). |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Применяя теоремы о пределах (формулы (1), (2), (4), (6)), получим |
||||||||||||||||
lim |
( |
3x2 |
−2x +7 |
) |
=3 |
lim x |
) |
2 |
−2 lim x + lim 7 =3 22 −2 2 +7 =15. |
|||||||
x→2 |
|
|
|
|
(x |
→2 |
|
x→2 |
x→2 |
|
|
|||||
П р и м е р 2. Найти |
lim |
|
3x |
2 −1 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
6x2 −5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x→3 2x3 + |
|
|
|
|
Решение. Пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаме-
нателя не равен нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xlim→3(3x2 −1)=3 9 −1 = 26; |
xlim→3(2x3 +6x2 −5)= 2 27 +6 9 −5 =103 . |
|||||||||||||||
Пользуясь теоремой о пределе частного (формула (5)), получаем |
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
3x |
2 −1 |
|
= |
|
26 |
|
. |
|||||
|
|
3 + |
6x2 −5 |
103 |
||||||||||||
x→3 2x |
|
|
|
|||||||||||||
П р и м е р 3. Вычислить lim |
|
|
x −2 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
+3x −1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. По формуле (5) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
x −2 |
|
= |
|
|
|
0 |
= 0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
||||||||
x→2 x2 +3x −1 |
|
|
|
|
||||||||||||
П р и м е р 4. Найти lim |
x2 |
− |
2x |
+1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Предел знаменателя равен нулю и применять теорему о пределе частного нельзя. Так как знаменатель есть бесконечно малая величина при
х →3 , то по теореме 2 обратная величина |
1 |
|
есть бесконечно большая и |
||||||||||
x −3 |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
= ∞. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→3 x −3 |
|
x2 −2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
= lim |
( |
x2 −2x +1 lim |
1 |
= 4∞ =∞. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→3 |
x −3 |
x→3 |
|
)x→3 x −3 |
|
|||||
П р и м е р 5. Найти lim |
1 − |
x +1 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
Решение. Применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя и числителя равен нулю. В этом случае говорят о неопределен-
ности вида 00 , где 00 — символическая запись отношения двух бесконечно
6
малых величин, и вычисление предела сводится к раскрытию этой неопределенности.
Выполним тождественные преобразования, а именно, числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, т.е. перенесем иррациональность в знаменатель. Потом сократим полученную дробь на х и перейдем к пределу
lim |
1− x +1 |
0 |
|
= lim |
|
(1− x +1)(1+ x +1) |
= lim |
|
1− х−1 |
|
||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||
|
|
|
x(1+ x +1) |
|
|
|
x +1) |
|||||||||||
x→0 |
x |
0 |
|
|
x→0 |
x→0 x(1 |
+ |
|
||||||||||
|
|
= lim |
|
|
−х |
|
= lim |
|
−1 |
= −1 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→0 x(1+ x +1) |
x→0 1 |
+ x +1 |
2 |
|
|
|
|
|
Здесь сокращение на х законно, так как условие х → 0 предполагает х ≠ 0 .
П р и м е р 6. Найти lim |
2 − x . |
x→4 |
3 − 2x +1 |
Решение. Непосредственная подстановка значения х = 4 в заданную функ-
цию приводит к неопределенности вида 00 . Чтобы раскрыть ее, умножим
числитель и знаменатель на произведение (2 + x )(3 + |
2x +1) |
|
и затем со- |
||||||||||||||||
кратим дробь на множитель (4 – х), полагая, х≠4, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
2 − x |
= |
0 |
|
= lim |
|
(2 − x )(2 + x )(3 + 2x +1) |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|||||||
x→4 |
3 − 2x |
+1 |
|
0 |
|
|
x→4 (3 − 2x +1)(2 + x )(3 + 2x + |
|
|||||||||||
|
= lim |
(4 − х)(3 + 2x +1) |
= lim |
(4 − х)(3 + 2x +1) |
= |
3 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
−1)(2 + x ) |
|
x ) |
|
|
|||||||||||
|
x→4 (9 |
−2х |
x→4 2(4 − х)(2 + |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
П р и м е р 7. Найти lim |
|
2x3 − х +1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ 5x3 + 2x2 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечных пределов не имеют. В этом случае гово-
рят о неопределенности вида ∞∞ . Для ее раскрытия числитель и знаменатель разделим на х3, а затем перейдем к пределу
|
2x3 |
− х+1 |
|
|
∞ |
|
2 − |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
lim |
= |
= lim |
х2 |
|
х3 |
|
= |
. |
||||||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
5 |
||||||
x→∞ 5x |
+ 2x |
−1 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∞ |
5 |
+ |
− |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
х3 |
|
|
|
|
|
7
Здесь функции х12 , х13 и 2х являются бесконечно малыми при х → ∞
и их пределы равны нулю.
П р и м е р 8. Найти lim sin 2 3х.
x→0 5x2
Решение. Имеем неопределенность вида 00 . Раскроем ее, используя пер-
вый замечательный предел (теорема 5). Для этого преобразуем данное выражение и по формуле (7) получим
lim |
sin2 3х |
= |
1 |
lim |
sin 3х 2 |
1 |
lim |
sin 3х |
3 |
2 |
9 |
lim |
sin 3х 2 |
9 |
1 |
= |
9 |
. |
|||||||
5x2 |
|
|
|
= |
|
|
3x |
|
= |
|
|
3x |
|
= |
5 |
5 |
|||||||||
x→0 |
|
5 x→0 |
|
x |
|
5 x→0 |
|
|
|
|
5 x→0 |
|
|
|
|
|
|
1.2.ПРОИЗВОДНАЯ
1.2.1.Понятие производной
Производной функции y = f (x) в точке х называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда прираще-
ние аргумента стремится к нулю.
Для обозначения производной используют символы y′, f ′(x) , dydx .
Таким образом, по определению
y′= lim |
∆y |
= |
lim |
f (x + ∆x)− f (x) |
. |
∆x |
|
||||
∆x→0 |
|
∆x→0 |
∆x |
Нахождение производной называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в некоторой точке, называют дифференцируемой
вэтой точке.
1.2.2.Производные основных элементарных функций
Влюбой точке области определения основных элементарных функций справедливы формулы
(xn )′= nxn – 1, в частности ( x )′ |
= |
1 |
; |
|
(8) |
|||
(ax )′= axln a, в частности (ex )′ |
2 |
x |
|
|
|
|||
= ex; |
|
|
(9) |
|||||
(loga x)′ = |
1 |
, в частности (ln x)′ = |
1 |
; |
(10) |
|||
xln a |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
(sin x)′= cos x; |
|
|
|
|
(11) |
||
|
(cos x)′= – sin x; |
|
|
|
|
(12) |
8
(tg x)′ = |
1 |
|
; |
|
|
|
|
(13) |
||||||
cos2 x |
|
|
|
|||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(ctg x) = − |
|
|
|
|
; |
|
|
|
(14) |
|||||
sin2 x |
|
|
|
|||||||||||
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
||||||||
(arcsin x) |
= |
|
|
; |
(15) |
|||||||||
(arccos x) |
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
= − |
|
1 − x2 ; |
(16) |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
(arctg x)′= |
|
1 |
|
; |
|
|
(17) |
|||||||
1+ x2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
(18) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(arcctg x) = −1+ x2 . |
1.2.3. Правила вычисления производных
Пусть функции U =U (x) и V =V (x) дифференцируемы в точке х и С — постоянная величина. Тогда
|
|
|
|
C′= 0; |
|
|
|
|
|
|
(19) |
|||||
|
|
|
|
(CU )′=CU′; |
|
|
(20) |
|||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
±V |
′ |
; |
|
(21) |
|||
|
|
(U ±V ) = U |
|
|
|
|||||||||||
|
|
(UV )′ =VU′+UV ′; |
|
(22) |
||||||||||||
|
|
U |
′ |
|
′ |
|
−UV |
′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
U V |
|
, V ≠0. |
|
(23) |
|||||||||
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р 9. Найти |
′ |
если |
y = 7 |
x |
− |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
y , |
|
3 x . |
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Используя формулы (21), (9), (20), (8) получим |
|
|
||||||||||||||
y′=(7x )′ −5 |
|
1 ′ |
|
|
|
|
|
5 x− |
4 |
|
5 |
|
||||
x−3 |
= 7x ln 7 + |
3 =7x ln 7 + |
. |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3x3 |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 10. Найти производную функции y = x3 log5 x .
Решение.
′ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
y′=(x3 ) |
log5 x + x3 (log5 x)′ =3x2 log5 x + x3 |
|
= x2 |
|
3log5 x + |
|
. |
xln5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
ln5 |
Здесь использованы формулы (22), (10), (8).
9
П р и м е р 11. Найти производную функции y = 2 −cosx x .
Решение. Производную частного находим по формуле (23)
y′ = |
x′(2 −cos x) − x(2 −cos x)′ |
= |
2 −cos x − x sin x |
. |
(2 −cos x)2 |
|
|||
|
|
(2 −cos x)2 |
1.2.4. Производная сложной функции
Если y является функцией от u, а u зависит от x, то y также зависит от x. Пусть y = f (u) , а u = ϕ(x) . Тогда функция y = f (ϕ(x)) называется функ-
цией от функции или сложной функцией переменной х. Переменная u называется промежуточным аргументом, а х — основным.
Теорема 6. Если функция u = ϕ(x) дифференцируема в точке x, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u, то сложная функция y = f (ϕ(x)) дифференцируема в точке x и справедлива формула
y′ = f ′(u)ϕ′(x) .
Правило дифференцирования сложной функции может быть записано в другой форме:
y′x = yu′u′x , |
(24) |
здесь индексы u и x указывают, по какой переменной берется производная.
П р и м е р 12. Найти производную функции y = tg5x .
Решение. Данную функцию можно представить в виде y = u5 , u = tg x . Найдем
yu′ =(u5 )′ =5u4 ; u′x =(tg x)′= cos12 x .
Тогда по формуле (24)
y′x =5u4 cos12 x = cos2 x .
Замечание. Если число простейших функций, из которых составлена сложная функция, больше двух, то ее производная вычисляется последовательным применением фор-
мулы (24).
П р и м е р 13. y =arctglnsin x . Вычислить y′x .
Решение.
y′x = |
|
1 |
(lnsin x)′ = |
1 |
|
1 |
cos x = |
ctg x |
. |
|
+ln2 sin x |
1+ln2 sin x sin x |
|
||||||
1 |
|
|
1+ln2 sin x |
10