Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Е.С. Тверская, О.Ю. Чигирева

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Методические указания к выполнению домашнего задания

по курсу «Уравнения математической физики»

Под редакцией А.Н. Канатникова

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 517.946 ББК 22.311 Т26

Рецензент А.В. Аттетков

Тверская Е.С.

Т26 Решение краевых задач для уравнения Лапласа : метод. указания к выполнению домашнего задания по курсу «Уравнения математической физики» / Е.С. Тверская, О.Ю. Чигирева. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 48 с.: ил.

Методические указания содержат краткий теоретический материал, необходимый для выполнения домашнего задания по курсу «Уравнения математической физики» Подробно разобраны примеры решения задач, а также приведены задачи для самостоятельной работы и условия домашнего задания.

Для самостоятельной работы студентов 2-го курса, обучающихся по специальностям «Радиоэлектронные системы и устройства», «Технологии приборостроения», «Защита информации».

УДК 517.946 ББК 22.311

Учебное издание

Тверская Елена Сергеевна Чигирева Ольга Юрьевна

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Редактор В.М. Царев Корректор М.А. Василевская

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 10.08.2009. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,79. Тираж 500 экз. Изд. № 6.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1.КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

1.1.Уравнение Лапласа

Для описания стационарных процессов в физикe обычно используют уравнения эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа

u = 0,

где — дифференциальный оператор 2-го порядка, называемый

оператором Лапласа.

К этому уравнению приводят задачи о стационарном тепловом состоянии однородного тела, равновесном распределении электрических зарядов на поверхности проводника, установившемся движении несжимаемой жидкости и многие другие.

В прямоугольной декартовой, цилиндрической и сферической системах координат оператор Лапласа соответственно имеет вид

1.2. Гармонические функции и их свойства

Функция u C2(Ω) называется гармонической в области Ω, если она удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области.

Перечислим основные свойства гармонических функций.

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Свойство 1. Если гармоническая в ограниченной области Ω функция u C1(Ω), то

ZZ

∂n∂udσ = 0,

Σ

где Σ — гладкая поверхность, ограничивающая область Ω; →− — n

внешняя нормаль к Σ.

Свойство 2 (Теорема о среднем значении). Если функция u является гармонической в шаре ΩM0,R радиуса R с центром в точке M0 и непрерывна в замыкании ΩM0,R, то ее значение в центре шара равно среднему значению по сфере ΣM0,R:

1 ZZ

u(M0) = 4πR2 u(P ) dσ.

ΣM0,R

Свойство 3 (Принцип максимума). Если функция u 6≡const является гармонической в ограниченной области Ω и непрерывна вплоть до ее границы, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений только на границе Σ этой области.

С л е д с т в и е. Если функция u является гармонической в ограниченной области Ω и u C Ω , то

где Σ — граница области Ω.

Вчастности, если функция u принимает на границе Σ области

Ωпостоянное значение, равное нулю, то эта функция тождественно равна нулю во всей области Ω.

1.3. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа

Краевая задача для уравнения Лапласа состоит в нахождении функции u, удовлетворяющей в области Ω уравнению Лапласа и некоторому условию, заданному на границе Σ этой области. Такое условие называют граничным и в зависимости от его вида рассматривают следующие краевые задачи:

– первую краевую задачу, или задачу Дирихле, если задано граничное условие 1-го рода

u|Σ = f(P ), P Σ;

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

– вторую краевую задачу, или задачу Неймана, если задано

Обобщением основных краевых задач является смешанная краевая задача, в которой на разных частях границы Σ заданы граничные условия разных видов. Например, на одной части границы Σ задано граничное условие 1-го рода, а на другой ее части — граничное условие 2-го или 3-го рода.

Если область, в которой поставлена краевая задача, ограничена, то эта задача называется внутренней. Если эта область является частью пространства, лежащей вне некоторой ограниченной области, то краевая задача называется внешней, при этом помимо граничного необходимо задать условие, описывающее поведение искомой функции на бесконечности.

Далее основное внимание будет уделено вопросу о единственности решений первой и второй краевых задач, но прежде сформулируем их.

Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в ограниченной области Ω функцию u C(Ω), принимающую на ее границе Σ заданные непрерывные значения f(P ), P Σ.

Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в ограниченной области Ω функцию u C Ω , имеющую на ее границе Σ заданную непрерывную нормальную производную g(P ), P Σ.

Приведенные здесь формулировки внутренних краевых задач относятся как к трехмерному, так и двумерному случаям. А в постановках внешних краевых задач есть различия, связанные с условием, задающим поведение искомой функции на бесконечности.

Внешняя задача Дирихле (в пространстве): найти гармоническую в области Ω0 = R3\Ω функцию u C Ω0 , принимающую

5

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

на ее границе Σ заданные непрерывные значения f(P ), P Σ, и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Внешняя задача Неймана (в пространстве): найти гармоническую в области Ω0 функцию u C Ω0 , имеющую на ее границе

Σзаданную непрерывную нормальную производную g(P ), P Σ,

иобращающуюся в нуль на бесконечности.

При постановке аналогичных задач на плоскости ставится условие ограниченности искомой функции на бесконечности.

Справедливы следующие утверждения.

1.Решение внутренней (внешней) задачи Дирихле (в пространстве, на плоскости) единственно.

2.Внутренняя (внешняя) задача Дирихле (в пространстве, на плоскости) разрешима при любой непрерывной функции f(P ).

3.Решение внутренней задачи Неймана (в пространстве, на плоскости) определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

4.Внутренняя задача Неймана разрешима при любой непрерывной функции g(P ), удовлетворяющей условию:

L

5. Решение внешней задачи Неймана в пространстве единствен-

но.

6.Внешняя задача Неймана в пространстве разрешима при любой непрерывной функции g(P ).

7.Решение внешней задачи Неймана на плоскости определено

сточностью до произвольной аддитивной постоянной.

8.Внешняя задача Неймана на плоскости разрешима при любой непрерывной функции g(P ), удовлетворяющей условию (1.1).

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

2.1.Оператор Штурма — Лиувилля

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию f(x) по правилу

оператор называют оператором Штурма — Лиувилля. Областью определения оператора L является D(L) = C2[a, b], а областью значений — E(L) = C[a, b].

Далее обозначим через Q множество функций f(x) C2[a, b], удовлетворяющих следующим однородным граничным условиям:

Можно показать, что оператор L, рассматриваемый в пространстве Q, является самосопряженным, т. е. для любых функций f, g Q справедливо равенство

Замечание. Вообще говоря, D(L) 6= E(L), поэтому использование в данном контексте термина «самосопряженный оператор» требует пояснений.

Рассмотрим линейное пространство L2[a, b] функций, интегрируемых на [a, b] с квадратом. Скалярное умножение и норма в этом пространстве задаются формулами (2.1) и (2.2), в которых интегралы понимаются как интегралы Лебега. Множество Q является

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

линейным многообразием в L2[a, b], и тождество (2.3) следует понимать как тождество в пространстве L2[a, b].

2.2. Задача Штурма — Лиувилля

где L — оператор Штурма — Лиувилля, λ — некоторая постоянная. Задачу (2.4), (2.5) называют задачей Штурма — Лиувилля. Она состоит в нахождении собственных значений и собственных функций оператора Штурма — Лиувилля, действующего в пространстве

Q.

Перечислим основные свойства собственных значений и собственных функций оператора L.

1.Каждому собственному значению соответствует с точностью до числового множителя только одна собственная функция.

2.Все собственные значения неотрицательны:

λn ≥ 0, n N {0}.

Замечание. Значение λ0 = 0 может быть собственным значе-

1= β2 = 0.

3.Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

4.Система собственных функций {Xn(x)}∞n=1 оператора L является полной в пространстве L2[a, b].

Каждую функцию f(x) L2[a, b] можно единственным обра- зом разложить в ряд Фурье по системе {Xn(x)}∞n=1:нием оператора L только при q(x) ≡ 0 и β

ряд сходится к f(x) по норме пространства L2[a, b], т. е. в среднем квадратичном.

Согласно теореме В.А. Стеклова, если f(x) Q, то ряд Фурье сходится к f(x) абсолютно и равномерно.

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Замечание. Постановка (2.4), (2.5) задачи Штурма — Лиувилля является общей и в зависимости от значений коэффициентов αi и βi, i = 1, 2 включает в себя девять частных случаев.

2.3. Примеры решения задач

Решение. Задача представляет собой частный случай общей по-

становки задачи (2.4), (2.5) при p(x) ≡ 1, q(x) ≡ 0, α1 = α2 = 0. Дифференциальное уравнение (2.6) является линейным одно-

родным. С учетом того, что λ > 0, общее решение этого уравнения может быть записано в виде

Найдем такие значения произвольных постоянных A и B (не равных нулю одновременно) и параметра λ, при которых решение (2.8) удовлетворяет граничным условиям (2.7). Подставляя (2.8) в (2.7), получим

линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных A и B. Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

приходим к следующему уравнению для определения собственных значений λ:

sin √λ l = 0.

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Уравнение (2.10) имеет счетное множество вещественных корней μn = πn, n N. Отсюда находим собственные значения