Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений (90
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра математического анализа
А. Н. Павленко
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»
Оренбург
2011
УДК 517.9 (076) ББК 22.161.6я7 П 12
Рецензент - кандидат педагогических наук Е. Н. Рассоха
Павленко, А.Н.
П12 Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений: методические указания / А. Н. Павленко; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2011. –
27с.
Вданной работе изложены основные сведения справочного характера по теории дифференциальных и разностных уравнений. Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлению подготовки 010300 – «Фундаментальные информатика и информационные технологии».
Методические указания изданы в рамках выполнения гранта Министерства образования и науки Российской Федерации (АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» − №3.1.1/13256).
УДК 517.9 (076) ББК 22.161.6я7
© Павленко А.Н., 2011 © ОГУ 2011
2
Содержание
Введение……………………………………………………………………… |
5 |
1 Обыкновенные дифференциальные уравнения…………………………. |
6 |
1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных урав- |
|
нений…………………………………………………………………………. |
6 |
1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, раз- |
|
решимые в квадратурах…………………………………………………….. |
8 |
1.3Уравнения, допускающие понижения порядка……………………….. 10
1.4Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго по-
рядка с постоянными коэффициентами…………………………………… |
10 |
1.5 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
|
первого порядка с постоянными коэффициентами……………………….. |
13 |
1.5.1Метод исключения……………………………………………………. 13
1.5.2Решение однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами с помо-
щью нахождения собственных значений и собственных векторов мат-
рицы системы………………………………………………………………… 13 1.5.3 Нахождение частного решения неоднородной системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами с помощью метода неопределенных коэффициентов… 14 1.6 Элементы теории устойчивости для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений и их систем…………………………………………………. 15 2 Разностные уравнения…………………………………………………….. 17
2.1Линейные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами……………………………………………………………... 17
2.2Элементы теории устойчивости для разностных уравнений…………. 20 3 Уравнения в частных производных………………………………………. 20
3.1Уравнения в частных производных первого порядка…………………. 20
3.2 |
Типы линейных уравнений в частных производных второго порядка |
21 |
3.3 |
Задачи для гиперболических и параболических уравнений………….. |
23 |
3
3.4 Некоторые задачи Дирихле для уравнения Лапласа………………….. 25
Список использованных источников………………………………………. 27
4
Введение
Настоящие методические указания составлены в соответствии с про-
граммой изучения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравне-
ния» студентами направления подготовки 010300 – «Фундаментальные ин-
форматика и информационные технологии». Данный предмет относится к дисциплинам общематематического и естественнонаучного цикла.
Разделы высшей математики, посвященные обыкновенным дифферен-
циальным уравнения, уравнениям с частными производными и разностным уравнениям, не только сами имеют многочисленные практические приложе-
ния, но и является необходимыми при изучении дисциплин «Физика» и «Вы-
числительная математика».
Следует отметить, что в данных методических указаниях приведены исключительно важнейшие определения и методы решения наиболее часто встречающихся задач. Такое изложение материала позволяет использовать указания для быстрого поиска необходимой информации при самостоятель-
ной работе студентов над домашними заданиями, индивидуальными зада-
ниями и т. д.
Настоящие методические указания могут быть использованы студен-
тами и других математических, физических и инженерных направлений под-
готовки.
5
1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных
уравнений
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)
первого порядка называется уравнение вида F x, y, y 0.
Замечание. ОДУ первого порядка обязательно в явном виде содержит y и может не содержать в явном виде x или/и y.
у f x, y - нормальный вид ОДУ первого порядка.
Таблица 1 - Решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
|
Определение. Непрерывно дифференцируемую функцию |
y y x будем назы- |
|
Решение |
вать решением ОДУ первого порядка на промежутке I , |
если при подстановке |
|
|
функции y y x в ОДУ получается верное тождество на I . |
||
|
|
|
|
|
Определение. Пусть y x,C - решение ОДУ пер- |
|
|
|
вого порядка, зависящее от произвольной постоянной C. |
|
|
|
Функция y x,C называется общим решением это- |
|
|
Общее |
го уравнения на области D R2, если: |
|
|
решение |
1) через каждую точку области D проходит единствен- |
|
|
|
ная интегральная кривая данного ОДУ; |
|
|
|
2) интегральные кривые y x,C целиком заполня- |
|
|
|
ют область D. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть y x,C - общее решение ОДУ первого по- |
|
|
Частное |
рядка. Если в общем решении мы вместо C подставим |
|
|
решение |
конкретное число, то получим частное решение данного |
|
|
|
ОДУ. |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Продолжение таблицы 1
Решение ОДУ первого порядка называется особым ре-
Особое
шением, если через каждую точку графика этого решения
решение
проходит более одной интегральной кривой.
Теорема Коши для ОДУ первого порядка. Пусть дана задача Коши
вида
y f x, y ,
y x0 y0.
Если функция |
f x, y и ее частная производная fy x, y непрерывны в |
|
некоторой окрестности точки |
M0 x0, y0 , то тогда в некоторой окрестности |
|
точки x x0 данная задача Коши имеет единственное решение. |
||
Определение. |
ОДУ |
n-го порядка называется уравнение вида |
Fx, y,y , y ,...,y n 0.
уn f x, y,y ,...,y n 1 - нормальный вид ОДУ n-го порядка.
Таблица 2 - Решения обыкновенного дифференциального уравнения n-
го порядка
|
Определение. n раз непрерывно дифференцируемую функцию y y x бу- |
|
Решение |
дем называть решением ОДУ n-го порядка на промежутке I , если при подста- |
|
|
новке функции y y x в ОДУ получается верное тождество на I . |
|
Общее |
y x,C1,C2,...,Cn |
|
решение |
||
Частное |
Пусть y x,C1,C2,...,Cn - общее решение ОДУ n-го порядка. Подставив |
|
в общем решении вместо C1, C2 ,…, Cn конкретные числа, получим частное |
||
решение |
||
|
решение данного ОДУ. |
7
Теорема Коши для ОДУ n-го порядка. Пусть дана задача Коши вида
y n f x, y, y ,...,y n 1 ,
y x0 y0,y x0 y1,
y x0 y2,
...........................
y n 1 x0 yn 1.
|
Если функция f x,y0, y1,...,yn 1 и ее частные производные |
||
fy |
x, y0, y1,...,yn 1 i |
|
непрерывны в некоторой окрестности точки |
0,n 1 |
|||
i |
|
|
|
M0 x0,y0, y1,...,yn 1 , тогда в некоторой окрестности точки x x0 данная за-
дача Коши имеет единственное решение.
1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого поряд-
ка, разрешимые в квадратурах
Таблица 3 - Обыкновенные дифференциальные уравнения первого по-
рядка, разрешимые в квадратурах
Название |
Вид ОДУ |
|
|
|
|
Метод решения |
|||
ОДУ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделение переменных и после- |
|||||||
|
|
дующее интегрирование. |
|||||||
|
y f x g y |
Общий интеграл: |
|
||||||
|
|
dy |
|
f x dx C. |
|||||
|
|
||||||||
Уравнение с |
|
g y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
разделяю- |
|
Возможна потеря решений. |
|||||||
щимися пе- |
|
Разделение переменных и после- |
|||||||
ременными |
|
дующее интегрирование. |
|||||||
|
M x P y dx N x Q y dy 0 |
Общий интеграл: |
|
||||||
|
|
|
M x |
Q y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dy C |
|
|
|
N x |
P y |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Возможна потеря решений. |
8
Продолжение таблицы 3
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена |
y ux |
и разделение перемен- |
|||||||||||||
|
y f x, y , если t 0 вы- |
ных с последующим интегрированием. |
|||||||||||||||||||||
|
Общий интеграл: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
полняется |
f tx,ty f x, y |
|
|
du |
|
|
|
ln |
|
x |
|
C. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1,u u |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможна потеря решений. |
|
||||||||||||||
Однородные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P x, y dx Q x,y dy 0, |
где |
Замена |
y ux |
и разделение перемен- |
|||||||||||||||||||
уравнения |
P x, y и |
Q x, y - однород- |
ных с последующим интегрированием. |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
ные функции с одинаковой сте- |
Общий интеграл: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
Q 1,u |
|
|
|
||||||||||||||
|
пенью однородности n, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du C. |
||||||||||
|
t 0 |
|
выполняется |
x |
P 1,u uQ 1,u |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P tx,ty tnP x, y |
и |
Возможна потеря решений. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Q tx,ty tnQ x, y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Уравнение в |
P x, y dx Q x,y dy 0, |
|
u x, y P x, y dx C1 y , |
||||||||||||||||||||
полных диф- |
где |
P |
|
Q |
|
|
u x, y Q x, y dy C2 x . |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ференциалах |
|
y |
x |
|
Общий интеграл: u x, y C. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Линейное |
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка y uv. |
|
|
|
||||||||||||
уравнение |
|
y p x y q x |
|
Общий интеграл: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
первого по- |
|
|
|
|
|
|
|
p x dx |
|
|
|
p x dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рядка |
|
|
|
|
|
|
|
y q x e |
|
|
|
|
|
|
dx C e |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y p x y q x ya |
|
Сведение к уравнению с разделяющи- |
|||||||||||||||||||
Уравнение |
|
|
мися |
переменными |
|
подстановкой |
|||||||||||||||||
Бернулли |
|
|
a 0, a 1 . |
|
y uv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможна потеря решений. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена |
p y , нахождение производ- |
||||||||||||||
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
ной от обеих частей уравнения. |
|||||||||||||||
|
|
y xy y |
|
Общее решение: |
y Cx C . |
||||||||||||||||||
Клеро |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
p 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Особое решение: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y xp p . |
9
1.3 Уравнения, допускающие понижения порядка
Таблица 4 - Уравнения, допускающие понижения порядка
Вид ОДУ |
|
|
Метод решения |
|||
|
|
|
||||
y n f x |
|
Последовательно проинтегрировать n раз |
||||
F x, y m , y m 1 ,...,y n 0 |
1 m n |
Замена z y m |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Замена |
p y , где p - функция от y, |
||
F y, y , y |
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
p p |
1.4 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами
Таблица 5 – Общее решение однородного обыкновенного дифференци-
ального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
ОДУ |
|
|
|
y py qy 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характери- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стическое |
|
|
|
|
2 p q 0 |
|
|
|
||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Корни |
Два простых действи- |
Один |
действитель- |
|
Два комплексно сопряжен- |
|||||||
|
тельных корня |
|
ный |
корень |
второй |
|
ных корня |
|||||
|
1, 2 |
|
кратности |
|
|
|
|
|
1,2 i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее реше- |
y C e 1x |
C |
e 2x |
y C x C |
|
e x |
|
y e |
x |
C1 cos x C2 sin |
||
ние |
2 |
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10