Функциональный анализ и интегральные уравнения (90
..pdf647
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Липецкий государственный технический университет"
Кафедра высшей математики
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания к самостоятельной работе
Составители: В.А. Скопин, И.А. Седых
Липецк Изд-во Липецкого государственного технического университета
2012
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Липецкий государственный технический университет"
Кафедра высшей математики
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания к самостоятельной работе
Составители: В.А. Скопин, И.А. Седых
Липецк Изд-во Липецкого государственного технического университета
2012
ÓÄÊ 517.9(07) C-443
Рецензент д-р техн. наук, проф. А.М. Шмырин
C-443. Скопин, В.А. Функциональный анализ и интегральные уравнення [Текст]: метод. указ. к самостоятельной работе/ В.А. Скопин, И.А. Седых.Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. 17 с.
Методические указания составлены в соответствии с ФГОС-3 и пред-
назначены для студентов второго курса специальностей 010800 Механи-
ка и математическое моделирование , 351500 Математическое обеспече-
ние и администрирование информационных систем . Приведены основные
сведения о линейных интегральных уравнениях и методах их решения, а также необходимые сведения из функционального анализа. Рассмотрены, в частности, интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма, метод последовательных приближений и решение с помощью резольвенты. Приведены примеры решения конкретных задач и задания для самостоятельной работы.
Библиогр.: 6 назв.
c ФГБОУ ВПО Липецкий государственный
технический университет , 2012
Принцип сжимающих отображений
Метрическим пространством называют пару (X; ), ãäå X íåêî-
торое множество, а : X X ! R функция, называемая метрикой или расстоянием на X. По определению, она должна обладать следующими
свойствами:
(x; y) 0, (x; y) = 0 () x = y; (x; y) = (y; x); (x; y) (x; z)+ (z; y)
äëÿ âñåõ x; y; z 2 X.
Пример. 1. На множестве Rn всех упорядоченных наборов, состоящих из n действительных чисел, можно задать различные метрики, например
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1( |
x; y |
) = |
x |
y |
kj |
; |
2( |
x; y |
) = k=1 |
x |
y |
k) |
2 |
1=2 |
; |
1( |
x; y |
max x |
y |
kj |
: |
|
|
k=1 j |
k |
|
|
( |
k |
|
|
|
|
) = k=1;:::;n j |
k |
|
||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получаются метрические пространства, которые обозначают Rn1 , Rn2 , Rn1 соответственно.
2. Множество C[a; b] всех непрерывных функций x : [a; b] ! R с метрикой
(x; y) = 1(x; y) = max jx(t) y(t)j
t2[a;b]
является метрическим пространством.
Пусть X метрическое пространство с метрикой . Говорят, что
последовательность xn 2 X сходится к элементу a 2 X, åñëè (xn; a) ! 0 ïðè n ! 1. Заметим, что здесь (xn; a) числовая последовательность. Последовательность xn точек метрического пространства (X; ) называют фундаментальной, если
8" > 0 9N такое, что 8m; n > N (xm; xn) < ":
Метрическое пространство (X; ) называют полным, если каждая фундаментальная последовательность имеет в нем предел.
Пример. 1. Пространства Rn1 , Rn2 , Rn1, C[a; b] являются полными.
2. Пространство X = (0; 1) с обычной метрикой (x; y) = jx yj не является
полным, поскольку фундаментальная последовательность xn = 1=n 2 X не имеет в нем предела.
3
Пусть X è Y некоторые множества. Говорят, что на множестве X
задано отображение (оператор) A, принимающее значения в Y , åñëè êàæ-
äîìó x 2 X соответствует единственное значение
же самое часто обозначают как и говорят, что
X â Y . Отображение A : X ! Y называют непрерывным в точке x 2 X, если для любой последовательности xn ! x в пространстве X последовательность Axn сходится к Ax â Y . Отображение A : X ! Y называют непрерывным, если оно непрерывно в любой точке
называют неподвижной точкой отображения A : X ! X, åñëè Ax = x. Отображение A : X ! Y называют сжимающим, если 9 2 (0; 1) такое, что (Ax; Ay) < (x; y) ïðè âñåõ x; y 2 X.
Теорема 1 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение A : X ! X полного метрического пространства X в себя имеет ровно одну неподвижную точку x?, которую можно найти методом последовательных приближений: взяв любое x0 2 X, построить последовательность xn = A(xn 1), n = 0; 1 : : : . Тогда x? = lim xn ïðè n ! 1.
Следствие 1. Пусть X полное метрическое пространство, A; B : X ! X, и A сжимающее. Если B коммутирует с A (т.е. 8x ABx = BAx), то
B имеет неподвижную точку.
Доказательство. Согласно теореме, существует единственная точка x 2 X, такая что Ax = x. Тогда BAx = Bx. Íî ABx = BAx откуда ABx = Bx,
ò.å. Bx неподвижная точка отображения A. Тогда Bx = x в силу единственности неподвижной точки.
Следствие 2. Если X полное метрическое пространство A : X ! X и An сжимающее для некоторого n, то A имеет единственную неподвижную точку.
4
Доказательство. Поскольку A коммутирует с An, то, согласно следствию 1,
отображение A должно иметь неподвижную точку x0. В таком случае An(x0) = A(A(: : : A(x0))) = x0, ò.å. x0 неподвижная точка отображения An. Но такая точка x0 единственна, т.к. An сжимающее.
Задача 1. Пусть X = [1; +1) è Ax = x+ x1. Покажите, что A переводит X в себя и удовлетворяет условию jAx Ayj < jx yj ïðè x 6= y, но отображение
A не имеет в X неподвижных точек.
Задача 2. Докажите, что каждое из следующих уравнений имеет решение
и найдите приближенное значение решения с точностью до 10 2: |
|
||||||||||||||
1) |
|
p5 |
|
|
2) |
x5 + x3 |
+ 1 |
; |
|
|
|
|
|
||
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x = |
|
x + 1 |
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
20 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
3) x = |
1 sin x + 2; |
|
4) x = |
|
|
|
+ |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
2 + ln(x + 1) |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Метод последовательных приближений |
|
|||||||||||||
Рассмотрим оператор Фредгольма |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(A')(t) = f(t) + Zab K(t; s)'(s)ds; |
(1) |
ãäå ÿäðî K(t; s) непрерывно в замкнутом прямоугольнике Q = fa t; s bg
и поэтому M = supQ jK(t; s)j < 1. Также полагаем, что f(t) 2 C[a; b]. Функции K(t; s), f(t) и параметр 2 C считаются известными.
Оператор (1) непрерывно действует из C[a; b] в C[a; b]. Для
того, чтобы он был сжимающим, достаточно выполнения условия
j j < |
1 |
: |
(2) |
M(b a) |
Доказательство. Покажем, что оператор (1) действует из C[a; b] â C[a; b], ò.å. ÷òî åñëè '(t) 2 C[a; b], òî è g(t) = (A')(t) 2 C[a; b]. Действительно, пусть t произвольная точка отрезка [a; b] è t произвольное число такое, что t + t 2 [a; b]. Имеем
5
jg(t + t) g(t)j = |
|
|
|
|
ab K(t; s)'(s)ds f(t) |
|
|
|||||||||
= |
|
ab |
K(t + t; s)'(s)ds + f(t + t) |
|
||||||||||||
|
|
Z |
|
b |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j Za j |
K(t + t; s) |
|
K(t; s) |
'(s) |
ds + |
j |
f(t + t) |
|
f(t) |
: |
||
|
|
|
j |
|
jj |
|
j |
|
|
|
j |
|
||||
Пусть " > 0. Èç f 2 C[a; b] следует, что найдется 1 > 0, такое что |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
jf(t + t) f(t)j < "=2 ïðè |
j tj < 1: |
|
|
|
|
ßäðî K(t; s) непрерывно в замкнутом квадрате Q, и, следовательно, рав- |
|||||
номерно непрерывно в Q. Поэтому для выбранного " > 0 найдется 2 > 0 |
|||||
такое, что |
|
" |
|
|
|
jK(t + t; s) K(t; s)j < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (b |
|
a) |
j |
||
|
|
j |
ïðè t < 2 и любом s 2 [a; b]. Здесь = maxt2[a;b] j'(t)j < 1. Положим= min( 1; 2). Тогда при t <
jg(t + t) g(t)j j j 2 (b a)j j Za |
b |
ds + jf(t + t) f(t)j 2 |
+ 2 = "; |
||||||
|
" |
|
|
|
" |
|
|
" |
|
что и доказывает непрерывность функции g в любой точке отрезка [a; b].
Выясним теперь, при каких условиях оператор A будет сжимающим.
Имеем следующие оценки:
|
|
|
|
(A'1 |
; A'2) = amaxt b jA'1(t) A'2(t)j = |
|
||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
a t b |
a |
|
)( 1( ) 2( )) |
|
j j ( ) a t b j 1 |
2 j |
||||
( |
|
|
||||||||
max |
|
Z |
K t; s |
' |
s ' s |
ds |
|
M b a max ' (s) |
' (s) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
(A'1; A'2) j jM(b a) ('1; '2): |
(3) |
Из этого неравенства видно, что при выполнении условия (2) оператор A áó-
дет сжимающим. Из него же следует, что если ('n; ') ! 0, òî (A'n; A') ! 0, что означает непрерывность оператора A : C[a; b] ! C[a; b].
Решением интегрального уравнения ' = A' будем считать любую непрерывную на [a; b] фунцию ', которая обращает его в тождество. Из принципа
6
сжимающих отображений следует, что если удовлетворяет условию (2), то уравнение ' = A' имеет единственное решение '(x) 2 C[a; b] для всякой функции f(x) 2 C[a; b]. Последовательные приближения к решению можно найти по формулам 'n+1(t) = A('n(t)), n = 0; 1; : : : . Здесь в качестве '0
можно взять любую непрерывную на [a; b] функцию. Пример. Решить интегральное уравнение
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
'(t) = |
|
t + |
|
|
Z0 |
ts'(s)ds: |
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|||||||||
Решение. ßäðî K(t; s) = ts непрерывно на Q = f(t; s) : 0 t; s 1g è |
||||||||||||||||
M |
= |
max |
K(t; s) |
= 1; = |
1 |
|
; a = 0; b = 1; |
1 |
|
= 1; |
||||||
|
M(b |
|
|
|||||||||||||
|
Q j |
j |
2 |
|
|
|
|
|
|
a) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть условие (2) выполнено. Поэтому отображение, соответствующее уравнению (4), является сжимающим, и значит, уравнение можно решить методом последовательных приближений. Возьмем '0(t) = 0. Тогда
'1(t) = (A'0)(t) = 6t + |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 Z0 |
s'0(s)ds = 6t; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
t |
1 |
5 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
'2(t) = (A'1)(t) = |
|
|
t + |
|
|
Z0 |
s |
|
|
sds = |
|
t |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6 |
2 |
6 |
6 |
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
t |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||
'3(t) = (A'2)(t) = |
|
t + |
|
|
|
Z0 |
|
s |
|
s 1 + |
|
ds = |
|
t |
1 + |
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
2 |
|
6 |
6 |
6 |
6 |
62 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
'n(t) = (A'n 1)(t) = 6t 1 + 6 |
+ 62 |
|
|
+ : : : = t |
1 6n |
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
Поэтому '(t) = limn!1 'n(t) = t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если же взять '0(t) = t, òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
'1(t) = 6t + |
2 Z0 |
1 |
s2ds = t =) '2(t) = = 'n(t) = = t; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть, процесс решения значительно упрощается при выборе подходящего начального приближения.
Задача 3. Найти 4 последовательных приближения к решениям следующих уравнений:
7
a) |
'(x) = x + 2 |
Z0 |
1 |
|
||
xt'(t)dt; '0(x) = 1; |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
b) |
'(x) = x + 2 |
Z0 |
1 |
|
||
x cos( t)'(t)dt; '0(x) = 0; |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
c) |
'(x) = 1 + Z0 |
1 xt2'(t)dt: |
|
|||
|
Рассмотрим теперь интегральный оператор Вольтерра |
|
||||
|
|
|
(V ')(t) = f(t) + Zat K(t; s)'(s)ds: |
(5) |
Будем полагать, что f 2 C[a; b], ÿäðî K(t; s) непрерывно в замкнутом треугольнике = fa t b; a s tg, откуда M = sup jK(t; s)j < 1.
Теорема 3. Оператор (5) непрерывно действует из C[a; b] в C[a; b]. Для достаточно больших n оператор V n является сжимающим.
Доказательство. То, что оператор V непрерывно действует из C[a; b] â
C[a; b] доказывается аналогично случаю оператора Фредгольма.
Покажем, теперь, что некоторая степень оператора V есть сжимающее отображение. Имеем оценки
Z t
j(V '1)(t) (V '2)(t)j j j jK(t; s)jj'1(s) '2(s)jds j jM(t a) ('1; '2);
a
j(V 2'1)(t) (V 2'2)(t)j = j(V (V '1))(t) (V (V '2))(t)j
Z t Z t
j j jK(t; s)jj(V '1)(s) (V '2)(s)jds j j Mj jM ('1; '2)(s a)ds =
a a
= j j2M2 (t a)2 ('1; '2):
2
Аналогично получается, что
j |
(V n' |
)(t) |
|
(V n' |
)(t) |
|
|
nMn |
(t a)n |
(' |
; ' |
): |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
j j j |
|
|
n! |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V n' |
; V n' |
|
|
max (V n' |
)(t) |
|
(V n' |
)(t) |
j |
(' |
|
; ' |
2) |
; |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
2) = t [a;b] j |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(b a)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ãäå |
= |
|
nMn |
|
! |
0 ïðè |
n |
! |
+ |
1 |
: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j j |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Таким образом, при больших n станет < 1, и следовательно, отображение V n будет сжимающим.
Вспомним, что согласно следствию 2 теоремы 1, из того факта, что V n : C[a; b] ! C[a; b] сжимающее, следует, что V имеет единственную неподвижную точку. Таким образом, уравнение Вольтерра 2-го рода ' = V ' имеет единственное решение '(x) 2 C[a; b] для всякой функции
f(x) 2 C[a; b]. Последовательные приближения к решению можно найти
по формулам 'n+1(t) = V ('n(t)), n = 0; 1; : : : . В качестве '0 можно взять |
|||||
любую функцию из C[a; b]. |
|
||||
Задача 4. Методом последовательных приближений решить уравнения: |
|||||
a) |
'(x) = 1 + Z0 x(x t)'(t)dt; |
'0(x) = 1; |
|||
b) |
'(x) = x + 1 Z0 x '(t)dt; |
'0(x) = 1; |
|||
|
|
x2 |
x |
|
|
c) |
'(x) = |
|
+ x Z0 |
'(t)dt; |
'0(x) = x: |
2 |
Линейные операторы
Нормированным пространством называют пару (X; k k), ãäå X линейное пространство, а k k : X ! R норма на X, то есть функция, обладающая свойствами: kxk 0; kxk = 0 () x = 0; k xk = j jkxk для любого числа ; 8x; y 2 X kx + yk kxk + kyk. Нормированное пространство является метрическим относительно метрики (x; y) = kx yk. Если нормированное пространство X полно относительно этой метрики, то его называют банаховым пространством.
Пример. 1. На множестве Rn всех упорядоченных наборов, состоящих из n действительных чисел, введем покоординатные операции сложения эле- ментов Rn и умножения элементов Rn на действительные числа. Нетрудно видеть, что полученное множество станет линейным пространством относительно введенных операций. Рассмотрим на нем следующие нормы:
9